Mathématique m1461

Les zéros d'une fonction polynomiale du second degré

On appelle zéro, ou abscisse à l'origine d'une fonction |f|, la valeur de |x| pour laquelle |f(x)=0|. Une fonction peut avoir plusieurs zéros.

Retrouver les zéros d'une fonction polynomiale du second degré revient à trouver le ou les points d'intersection entre la parabole et l'axe des abscisses, d'où l'appellation d'abscisses à l'origine. Il se peut qu'elle n'ait qu'un seul zéro (la parabole est tangente à l'axe des abscisses), il se peut qu'elle ait deux zéros (la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points) ou il se peut que la parabole n'ait aucun zéro (la parabole ne coupe jamais l'axe des abscisses).

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Trouver les zéros d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale

Voici les méthodes pour trouver les zéros d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale |f(x)=ax^2+bx+c| :

Factorisation

-Technique du produit-somme

-Trinôme carré parfait

-Complétion du carré

Formule quadratique|\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

Il est important de bien comprendre le rôle entre le discriminant du trinôme |ax^2+bx+c| et le nombre de zéros de la fonction |f(x)=ax^2+bx+c|.

|b^2-4ac>0|La fonction polynomiale du second degré possède deux zéros distincts.
|b^2-4ac=0|La fonction polynomiale du second degré possède un seul zéro. On parle aussi de zéro double.
|b^2-4ac<0|La fonction polynomiale du second degré ne possède pas de zéro.

Factorisation

Lorsque l'on factorise un trinôme afin de déterminer les zéros d'une fonction polynomiale du second degré, il faut appliquer la règle du produit nul:

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.||a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a=0 \text{ ou } b=0||

 

Soit la fonction |f(x)=x^2-3x-10|.

Pour déterminer les zéros de cette fonction, on factorise le polynôme. La méthode la plus appropriée ici est la technique du produit-somme.

On cherche deux nombres |m| et |n| dont produit |m \cdot n| qui doit être égal à |-10| et dont la somme |m+n| doit être égal à |-3|.

En regardant les différents facteurs de -10, on obtient |m=-5| et |n=2|.

Ainsi: |x^2-3x-10 = x^2-5x+2x-10 \rightarrow x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)|.

Donc, |f(x)=(x-5)(x+2)|. Pour calculer les zéros de la fonction, on remplace |f(x)| par |0|.

|0=(x-5)(x+2)|

On applique maintenant la règle du produit nul.

On vérifie donc pour quels |x| chacun des facteurs vaut |0|.
|x-5=0 \Rightarrow x=5|
ou
|x+2=0 \Rightarrow x=-2|

Les deux zéros de la fonction sont donc |-2| et |5|.

 

Soit la fonction |f(x)=4x^2+12x+9|.

Pour déterminer les zéros de cette fonction, on factorise le polynôme. La méthode la plus appropriée ici est celle du trinôme carré parfait.

En effet, |f(x)=4x^2+12x+9 \rightarrow f(x)=(2x+3)^2|.

Pour calculer les zéros de la fonction, on remplace |f(x)| par |0|.

|0=(2x+3)^2|

On peut écrire explicitement le produit :
|0=(2x+3)(2x+3)|

Les deux facteurs du produit étant identiques, on peut conclure que la fonction possèdera un seul zéro.

On applique maintenant la règle du produit nul:
|2x+3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}|

Le zéro de la fonction est donc |-\frac{3}{2}|.

 

Soit la fonction |f(x)=x^2-8x+15|.

Pour déterminer les zéros on peut factoriser le trinôme grâce à la complétion du carré.

Avec cette méthode de factorisation, on obtient :
|f(x)=(x-3)(x-5)|

Il faut maintenant remplacer |f(x)| par |0|.

|0=(x-3)(x-5)|

On applique maintenant la règle du produit nul:
|x-3=0 \Rightarrow x=3|
ou
|x-5=0 \Rightarrow x=5|

Les deux zéros de la fonction sont donc |5| et |3|.

Formule quadratique

Intuitivement, la première étape que l'on exécute pour déterminer les zéros d'une fonction polynomiale du second degré est de remplacer |f(x)| par 0. Ensuite, on tente d'isoler la variable |x|. Malheureusement, dans une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale, il peut s'avérer hasardeux d'isoler cette variable. C'est ici qu'intervient la formule quadratique :||x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.||

Soit la fonction |f(x)=2x^2+3x-4|.

Dans l'équation de cette fonction |a=2|, |b=3| et |c=-4|.

On remplace dans la formule :
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{(3)^2-4\cdot2 \cdot -4}}{2 \cdot 2}|
|x_{1,2}= \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 32}}{4}|
|x_{1,2}= \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}|

À cette étape, on sépare la formule en deux parties, l'une utilisant le + et l'autre utilisant le -.
|x_1 =\displaystyle  \frac{-3 + \sqrt{41}}{4}|
|x_2 = \displaystyle  \frac{-3 - \sqrt{41}}{4}|

Il est préférable de laisser les zéros sous cette forme. Donc, les zéros sont |\displaystyle \frac{-3+\sqrt{41}}{4}| et |\displaystyle \frac{-3-\sqrt{41}}{4}|.

 

Soit la fonction |f(x)=-x^2+1-1|.

Dans cette équation, |a=-1|, |b=1| et |c=-1|.

On remplace dans la formule:
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2-4 \cdot -1 \cdot -1}}{2 \cdot -1}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{-2}|
|x_{1,2} = \displaystyle \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{-2}|

L'exemple s'arrête ici puisque ce qu'il y a sous la racine carrée  (le discriminant) est négatif. La fonction ne possède donc aucun zéro.

Trouver les zéros d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique

Pour déterminer les zéros d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique |f(x)=a(x-h)^2+k|, on peut isoler directement |x| ou encore utiliser la formule des zéros pour la forme canonique.

La formule pour les zéros d'une fonction polynomiale du second degré sous la forme canonique |f(x)=a(x-h)^2+k| est :||x_{1,2}= \displaystyle h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}.||

|\displaystyle - \frac{k}{a} >0|La fonction polynomiale du second degré possède deux zéros distincts.
|\displaystyle - \frac{k}{a}=0|La fonction polynomiale du second degré possède un seul zéro. On parle de zéro double.
|\displaystyle - \frac{k}{a} <0|La fonction polynomiale du second degré ne possède pas de zéro.

Soit la fonction |f(x)=2(x+1)^2-8|.

Pour trouver les zéros on peut utiliser la formule des zéros sous la forme canonique.

Dans cet exemple, |a=2|, |h=-1| et |k=-8|.

On remplace dans la formule :
|x_{1,2}= -1 \pm \displaystyle \sqrt{-\frac{-8}{2}}|
|x_{1,2} = -1 \pm \displaystyle \sqrt{\frac{8}{2}}|
|x_{1,2} = -1 \pm \displaystyle \sqrt{4}|
|x_{1,2} = -1 \pm 2|

À cette étape, on sépare la formule en deux parties, l'une utilisant le + et l'autre utilisant le -.

|x_1 = -1 + 2 = 1|
|x_2 =-1 -2 = -3|

Ainsi, les deux zéros de la fonction sont |-3| et |1|.

Voici une preuve de la formule quadratique:

Soit une fonction polynomiale du second degré sous la forme générale |f(x)=ax^2+bx+c|.

On remplace |f(x)| par |0|.

|0=ax^2+bx+c|

Il faut maintenant utiliser la complétion du carré.

On débute en mettant en évidence le |a|.
|\displaystyle 0 = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right)|

On peut diviser les deux membres de l'égalité par |a|, car ce dernier est non nul.
|\displaystyle 0 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}|

On poursuit en ajoutant et soustrayant le terme |\displaystyle \left( \frac{\frac{b}{a}}{2} \right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}| dans le membre de droite.

On obtient alors:
|\displaystyle 0 = x^2 + \frac{b}{a} + \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}|

Les trois premiers termes du membre de droite peuvent être factorisés puisqu'ils forment un trinôme carré parfait.
|0 = \displaystyle \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}|

On met les deux derniers termes sur un dénominateur commun.
|0 = \displaystyle \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}|

On soustrait la fraction de chaque côté de l'égalité.
|\displaystyle - \frac{4ac-b^2}{4a^2} = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2|

On distribue le |-| dans le numérateur de la fraction du membre de gauche.
|\displaystyle \frac{b^2-4ac}{4a^2} = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2|

On prend la racine carrée des deux côtés de l'égalité. Il ne faut pas oublier le |\pm| du côté gauche.
|\displaystyle \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = x + \frac{b}{2a}|

Il ne reste qu'une soustraction à effectuer.
|\displaystyle -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = x|

On peut mettre les deux fractions ensemble.
|\displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=x|

La démonstration est complète!

Les vidéos
 

 

Les exercices
Les références