Mathématique m1468

Les probabilités conditionnelles

On appelle probabilité conditionnelle la probabilité qu'un événement |B| se produise sachant que l'événement |A| s'est déjà produit. On la note |\mathbb{P}(B \mid A)| ou |\mathbb{P}_A (B)| et on la lit «probabilité que |B| se réalise sachant que |A| s'est produit».

La probabilité conditionnelle revient donc à retrouver la probabilité d'un second événement alors que l'on sait qu'un premier événement s'est déjà produit auparavant.

La formule pour calculer une probabilité conditionnelle est: ||\displaystyle \mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P}(A)}|| où |\mathbb{P}(B \cap A)| représente la probabilité de l'intersection des deux événements. De plus, il est nécessaire que |\mathbb{P}(A)>0|.

Remarque:
Dépendamment des événements en jeu, les lettres peuvent changer.


Il y a plusieurs façons de déterminer une telle probabilité.

Diagramme de Venn

Diagramme de Venn #1

On s'intéresse à la probabilité de piger un roi sachant que la carte est de carreau.

Il faut noter nos événements:
|A|: obtenir une carte de carreau;
|B|: obtenir un roi.


Ainsi, on s'intéresse à la probabilité de |B| sachant |A| que l'on note |\mathbb{P}(B \mid A)|.

On se représente la situation à l'aide d'un diagramme de Venn.
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On peut maintenant calculer notre probabilité.
|\displaystyle \mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P} (A)}|

Dans cet exemple, la probabilité d'être dans l'intersection est |\displaystyle \mathbb{P}(B \cap A) = \frac{1}{52}|. De plus, |\displaystyle \mathbb{P}(A) = \frac{13}{52}| puisqu'il y a 13 cartes de carreau sur un total de 52 cartes à jouer.

Ainsi:
|\displaystyle \mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{1/52}{13/52} = \frac{1}{52} \times \frac{52}{13} = \frac{1}{13}|.


Alors la probabilité de piger un roi sachant que l'on a pigé une carte de carreau de |\frac{1}{13}|.

Diagramme de Venn #2

Voici un diagramme de Venn dans lequel on a inscrit le nombre d'étudiants devant reprendre au moins un examen en: mathématiques, français et anglais.
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On veut savoir quelle est la probabilité qu'un élève qui refait son examen de français refasse également son examen de mathématiques.

Pour obtenir la réponse, il faut calculer une probabilité conditionnelle.

Notons nos événements:
|M|: examen de mathématiques;
|F|: examen de français;
|A|: examen d'anglais.


On veut la probabilité de |M| sachant |F|.

On commence en déterminant il y a combien d'élèves au total: 135 élèves.

On veut calculer |\mathbb{P}(M \mid F)|. On a donc besoin de |\mathbb{P}(M \cap F)| et de |\mathbb{P}(F)|.

|\mathbb{P}(M \cap F)| correspond à la probabilité qu'un élève refasse son examen de mathématiques et de français. Cette probabilité est de |\frac{17}{135}|.

On peut maintenant calculer notre probabilité conditionnelle.

|\displaystyle \mathbb{P}(M \mid F) = \frac{\mathbb{P}(M \cap F)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{17/135}{59/135} = \frac{17}{135} \times \frac{135}{59} = \frac{17}{59}|

Ainsi, la probabilité qu'un étudiant reprenne son examen de mathématiques étant donné qu'il reprend déjà son examen de français est de |\frac{17}{59}|.


Arbre de probabilités

Il est aussi possible de calculer une probabilité conditionnelle grâce à un arbre de probabilités.

Arbre de probabilités

On met 7 billes dans une urne. Il y a 4 billes vertes et 3 billes oranges. On tire deux billes sans remise. On s'intéresse à la probabilité de piger une bille orange sachant qu'on a tiré une bille verte au premier tirage.
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On peut trouver la probabilité demandée sans utiliser la formule vue plus haut. En effet, au deuxième tirage, la probabilité d'obtenir une bille orange après avoir eu une bille verte au premier tirage est de 3/6. On peut facilement conclure que la probabilité demandée est de |\frac{1}{2}|.

On peut aussi effectuer le calcul:
|\displaystyle \mathbb{P}(\small \text{obtenir une bille orange sachant que l'on a obtenu une bille verte au préalable)}=|
|\small \displaystyle \frac{\mathbb{P}(\text{Bille verte en premier et bille orange en second})}{\mathbb{P}(\text{Bille verte au premier tirage})} = \frac{4/7 \times 3/6}{4/7} = \frac{12}{42} \times \frac{7}{4} = \frac{84}{168} = \frac{1}{2}|

Ainsi, la probabilité demandée est de |\frac{1}{2}|.

Tableau à double entrée

Il est également possible de calculer une probabilité conditionnelle en utilisant un tableau à double entrée.

Tableau à double entrée:

Voici une étude réalisée dans un cinéma près de chez vous. L'étude s'intéressait aux films préférés des hommes et des femmes. Les choix étaient divisés en deux catégories: les films d'amour et les films d'humour.
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On voudrait connaître la probabilité que le film préféré soit un film d'amour sachant que c'est un homme qui a choisi.

Ceci revient à se demander ce que serait la probabilité d'avoir un film d'amour comme résultat sachant que la personne choisie est un homme.

Il y a 23 hommes qui aiment les films d'amour sur un total de 90 hommes.

Ainsi, la probabilité que le film préféré de l'homme choisi soit un film d'amour est de |\frac{23}{90}|.

Calculs avec les probabilités conditionnelles

La connaissance des probabilités conditionnelles permet d'effectuer plusieurs calculs.

Soit une expérience aléatoire comportant deux événements |A| et |B|. On sait que |\mathbb{P}(A)=0,4|, |\mathbb{P}(B)=0,7| et |\mathbb{P}(A \cap B)=0,2|.

Calculez |\mathbb{P}(A \mid B)| et |\mathbb{P}(B \mid A)|.

Pour calculer la première probabilité conditionnelle, il faut utiliser la définition d'une probabilité conditionnelle: |\displaystyle \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}|.

Ainsi:
|\displaystyle \mathbb{P}(A \mid B) = \frac{0,2}{0,7} \approx 0,29|.



Pour calculer la seconde probabilité conditionnelle, il faut utiliser la définition d'une probabilité conditionnelle: |\displaystyle \mathbb{P}(B \mid A) = \frac{\mathbb{P}(B \cap A)}{\mathbb{P}(A)}|.


Il est important de remarquer que |\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \cap A)|.

Ainsi:
|\displaystyle \mathbb{P}(B \mid A) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5.|


Il est également possible de faire d'autres calculs avec les informations mentionnées plus haut.

Est-ce que les événements |A| et |B| sont dépendants ou indépendants?

Pour répondre à cette question, il faut se souvenir que deux événements sont indépendants si |\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)|.

Il suffit de vérifier si la condition précédente est respectée.

|\mathbb{P}(A \cap B) \overset{?}{=} \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B)|

Malheureusement ce n'est pas le cas, |0,2 \neq 0,4 \cdot 0,7 = 0,28|.

Donc, on peut conclure que l'événement |A| est dépendant de l'événement |B|.

Est-ce que les événements |A| et |B| sont mutuellement exclusifs ou non mutuellement exclusifs?

Pour répondre à cette question, deux événements sont mutuellement exclusifs si |\mathbb{P}(A \cap B)=0|. Or, dans le cas présent ce n'est pas le cas. On peut donc conclure que les deux événements |A| et |B| sont non mutuellement exclusifs. 


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