Mathématique m1480

Les polygones réguliers

​​​​​​​​​Pour classer les polygones, on fait souvent référence aux mesures des côtés, des angles et des diagonales. Dans certains cas, les mesures des côtés et des angles d'un polygone seront toutes identiques. 

On nomme polygone régulier un polygone dont tous les côtés et tous les angles ont la même mesure.

De par la définition, on se rend compte que plus un polygone régulier contient de côté, plus il se rapproche de l'allure d'un cercle​.

 
 

Il est possible de co​nnaître le nom des principaux polygones réguliers selon leur nombre de côtés en consultant la fiche sur la classification des polygones.​

Mesure d'un angle intérieur

Si on veut trouver la mesure d'un seul angle intérieur d'un polygone régulier, il suffit de diviser la somme des mesures des angles intérieurs par le nombre d'angles qu'il contient.

||\begin{align}\text{Mesure d'un angle intérieur}&= \frac{\text{somme des angles intérieurs}}{\text{nombre de côtés du polygone}}\\
&= \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}\end{align}||
avec |n=| nombre de côtés du polygone.

 Voici la valeur d'un angle intérieur d​'un heptagone régulier.

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||\begin{align*}
\text{Mesure d'un angle intérieur} &= \displaystyle \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} \\
&= \frac{(7-2) \cdot 180^\circ}{7} \\
&\approx 128,57^\circ 
\end{align*}||

Apothème

Les polygones réguliers sont tous formés par rapport à un centre et à un apothème.

L'apothème est un segment perpendiculaire aux côtés du polygone qui relie le centre du polygone avec le milieu des côtés qui le compose. 
Pour la résolution de problèmes qui font référence à ces notions, il peut être intéressant d'utiliser la relation de Pythagore​.

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Dans l'exemple précédent, on remarque qu'il y a autant d'apothèmes que de côtés dans un polygone régulier. Par ailleurs, on peut associer ces apothèmes avec la hauteur des triangles qui composent les polygônes réguliers. 

Décomposition en triangles

​Peu importe le polygone régulier avec lequel on travaille, on peut toujours le décomposer en triangles.

​Tous les triangles ainsi formés sont des triangles isocèles dont la hauteur correspond à l'apothème du polygone régulier. 
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En effet, ces triangles sont isocèles, car les sommets d'un polygone régulier sont situés à égale distance du centre de celui-ci.

Polygone inscrit dans un cercle
Pour bien illustrer l'aspect isocèle des triangles, il est possible de tracer un polygone régulier inscrit dans un cercle. On remarque alors que les côtés des triangles représentés par les segments pointillés sont en fait des rayons du cercle. 

Puisque les rayons d'un cercle sont tous égaux, alors les triangles seront tous isocèles. En considérant de plus que la base de ces triangles correspond aux côtés du polygône régulier, on peut affirmer que tous ces triangles sont isométriques.
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Puisqu'ils sont isocècles et isométriques, on peut déduire la mesure des angles de ces triangles.

Angle au centre d'un polygone régulier

Un angle au centre d'un polygone régulier est la valeur de l'angle formé en reliant le centre d'un polygone régulier avec une paire de sommets consécutifs. On peut aussi voir l'angle au centre comme l'angle de l'apex d'un des triangles isocèles qui composent un polygone régulier.

||\text{Valeur d'un angle au centre} =\frac{360^\circ}{n}||
où |n= | nombre de côtés du polygone régu​lier.

En regroupant tous les angles au centre d'un polygone régulier, on obtient un angle plein de |360^\circ|. Puisque les triangles isocèles qui composent un polygone régulier sont isométriques, on déduit que chaque angle au centre a la même mesure.

Quelle est la mesure de l'angle au centre du décagone régulier ci-dessous?
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1. Identifier l'angle plein formé par les angles au centre
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2. Appliquer la formule
||\begin{align*}
\color{green}{\text{valeur de l'angle au centre}} &= \displaystyle  \frac{360^\circ}{n} \\
&= \displaystyle \frac{360^\circ}{10} \\
&= \color{green}{36^\circ}
\end{align*}||

​Maintenant que l'on connaît la valeur de l'un des angles du triangle isocèle entrant dans la composition du polygone régulier, on peut déduire la mesure de ces deux autres angles. 

Angles des triangles isocèles

Pour y arriver, on doit se servir des deux caractéristiques suivantes concernant les triangles isocèles.

- La somme des angles intérieurs d'un triangle est |180^\circ|.
- Un triangle isocèle est également isoangle​.
Concrètement, on peut résumer le tout dans un exemple et appliquer le même principe à tous les autres polygones réguliers.​

Quelles sont les mesures des angles du triangle ci-dessous considérant que le polygone suivant est régulier ?
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1. Trouver la mesure de l'angle au centre
||\begin{align*}
\color{green}{\text{mesure de l'angle au centre}} &= \displaystyle \frac{360^\circ}{10} \\
&= \color{green}{36^\circ}
\end{align*}||
2. Déduire la mesure des deux autres angles
Puisque c'est un triangle et qu'il est isocèle,
||\begin{align*}
180^\circ &= 2 \cdot \color{fuchsia}{\text{mesure de l'angle}} + 1 \cdot \color{green}{\text{mesure de l'angle au centre}}\\
180^\circ &= 2 \cdot \color{fuchsia}{\text{mesure de l'angle}} + 1 \cdot \color{green}{36^\circ}\\​
144^\circ &= 2 \cdot \color{fuchsia}{\text{mesure de l'angle}}\\​
\color{fuchsia}{72^\circ} &= \color{fuchsia}{\text{mesure de l'angle}}
\end{align*}||

Il est à noter qu'on aurait également pu trouver la mesure d'un angle intérieur du polygone régulier pour ensuite la diviser par deux. Toujours en se servant du fait que les triangles présents à l'intérieur d'un polygone régulier sont isocèles et isométriques, cette démarche est tout aussi valable. 

Parmi tous les polygones réguliers, seul l'hexagone est décomposable en triangles équilatéraux​.

L'hexagone régulier
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Pour démontrer que |\triangle{ABI}| est bel et bien un triangle équilatéral, on va déterminer la mesure de chacun des angles.

1. Mesure de |\color{fuchsia}{\angle AIB}| (angle au centre)
||\begin{align*}
\color{fuchsia}{m\angle{AIB}} &= \displaystyle \frac{360^\circ}{6} \\
&= \color{fuchsia}{60^\circ}
\end{align*}||
2. Mesure de |\color{red}{\angle IAB}| (Moitié d'un angle intérieur)
​||\begin{align*}
\color{red}{m\angle IAB} &= \displaystyle \frac{1}{2}\left( \frac{(n-2)\cdot180^\circ}{n}\right) \\
&= \displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{(6-2)\cdot180^\circ}{6}\right) \\
&= 60^\circ
\end{align*}||
3. Mesure de |\color{blue}{\angle ABI}|
Puisque la somme des angles intérieurs d'un triangle est de |180^\circ|, on peut utiliser la relation suivante:
||\begin{align*}
180^\circ &= \color{fuchsia}{m\angle AIB} + \color{red}{m\angle IAB} + \color{blue}{m\angle ABI}\\
180 ^\circ &= \color{fuchsia}{60^\circ} + \color{red}{60^\circ} + \color{blue}{m\angle ABI} \\
60^\circ &= \color{blue}{m\angle ABI}
\end{align*}||
4. Conclusion
Puisque les trois angles ont une mesure de |60^\circ|, alors il s'agit d'un triangle équiangle, donc équilatéral.

Axes de symétrie

​Puisque les mesures des angles et des côtés sont isométriques, il est possible de tracer plusieurs axes de symétrie dans un polygone régulier.

Un polygone régulier possède autant d'axe de symétrie que son nombre de côtés. Ainsi, un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie tandis qu'un hexagone régulier en possède six.
 

Comme point de repère pour tracer les axes de symétrie, on peut se fier aux sommets du polygone et au point milieu de chacun des côtés.

Il est possible de construire l'ensemble des axes de symétrie d'un polygone régulier:
La construction des axes de symétrie dans les polygones réguliers
Les vidéos
Les exercices

Les références