Mathématique m1489

L'aire et le volume des solides au moyen d'expressions algébriques

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Les valeurs d'aire et de volume d'un solide peuvent être exprimées au moyen d'expressions algébriques. Dans ce cas, les mesures nécessaires aux calculs sont exprimées par des monômes ou des polynômes. Pour permettre la résolution de ce type de problème, on utilise un maximum de deux variables pour définir les différentes mesures.

L'expression de l'aire d'un solide au moyen de variables

L'aire d'un solide est obtenue en effectuant l'addition de l'aire de chacune de ses faces. Par ailleurs, il est possible d'utiliser les formules d'aire associées au solide étudié, mais il est également possible d'utiliser les formules d'aire des différentes figures​ correspondant à ces faces.

Dans cette section, la démarche sera un peu différente étant donné que certaines mesures sont manquantes. Dans ce cas, elles sont remplacées par des variables ou des expressions algébriques. Parfois, ces expressions algébriques sont fournies dans leur intégralité alors qu'à d'autres moments, il faudra traduire mathématiquement les informations de l'énoncé pour les trouver. Finalement, en se basant sur les formules d'aires, on est en mesure d'obtenir une expression algébrique simplifiée.

Afin de minimiser le coût de production des boîtes utilisées pour le transport de marchandises, les ingénieurs responsables de ce département savent que les boîtes, généralement en forme de prisme à base rectangulaire, doivent avoir une hauteur de 5 unités et que la largeur doit mesurer deux unités de moins que le triple de la mesure de la profondeur.

À la lumière de ces informations, détermine l'expression algébrique associée à l'aire totale d'une boîte.

1. Si possible, représenter la situation par un dessin
m1489i06.PNG 
2. ​Identifier les expressions algébriques
À l'aide de la mise en situation, on peut déduire les informations suivantes.
|\begin{align}\color{red}{h} &= \color{red}{5 \ ​\text{unités}}\\
\color{blue}{p} &= \color{blue}{x}\\
\color{green}{l} &= \color{green}{3x - 2}\end{align}|

Ainsi, on obtient le dessin suivant:
m1489i07.PNG 
3. Utiliser la formule appropriée
||\begin{align} A_T &= A_L &&+&& 2 \cdot A_b\\
&= (P_b \cdot \color{red}{h}) &&+&& 2 \cdot (\color{green}{l} \cdot \color{blue}{p})\\
&= (\color{green}{(3x - 2) + (3x - 2)} + \color{blue}{x + x}) \cdot \color{red}{5}&&+&& 2 \cdot ((\color{green}{3x-2}) \cdot (\color{blue}{x}))\end{align}||
4. Simplifier l'expression algébrique
||\begin{align} A_T &= (\color{green}{(3x - 2) + (3x - 2)} + \color{blue}{x + x}) \cdot \color{red}{5} &&+&& 2 \cdot ((\color{green}{3x-2}) \cdot (\color{blue}{x}))\\
&= (8x - 4) \cdot \color{red}{5}&&+&& 2 \cdot (3x^2 - 2x)\\
&= 40x - 20 + 6x^2 - 4x&&&&\\
&= 6x^2 + 36x -20&&&& \end{align}||​
5. Interpréter la réponse
L'expression algébrique de l'aire totale du prisme est |6x^2 + 36x - 20​|

​​​D'un côté pratique, l'utilisation d'expressions algébriques pour représenter les mesures des arêtes permet de généraliser et de résoudre un plus grand nombre de problèmes. Dans le même ordre d'idées, on peut appliquer ce raisonnement avec le concept du volume.

L'expression du volume d'un solide au moyen de variables

Tout comme l'aire, le volume peut s'exprimer au moyen d'une expression algébrique si ses mesures sont exprimées avec des variables ou des expressions algébriques. Ainsi, il est important de se référer aux formules des volumes des solides afin de bien déterminer les opérations qui serviront à construire la démarche.

Dans le but de conserver les mêmes proportions pour les contenants de bonbons en forme de cône, les marchands tiennent à ce que la hauteur mesure trois unités de plus que le quadruple de la mesure du rayon.

Avec ces informations, détermine l'expression algébrique associée au volume de ces contenants.

1. Si possible, représenter la situation par un dessin
m1489i08.PNG 
2. Identifier les expressions algébriques
Selon les informations données, on pose
|\begin{align} \color{blue}{r} &= \color{blue}{x}\\
\color{red}{h} &= \color{red}{4x + 3}\end{align}|

Ainsi, on peut redessiner le cône de la façon suivante:
m1489i09.PNG 
3. Utiliser la formule appropriée
||\begin{align} V &= \frac{A_b \cdot \color{red}{h}}{3}\\\\
&=\frac{(\pi \cdot \color{blue}{r}^2) \cdot \color{red}{h}}{3}\\\\
&= \frac{(\pi \cdot \color{blue}{x}^2) \cdot (\color{red}{4x+3})}{3}\end{align}||
4. Simplifier l'expression algébrique
||\begin{align} V &= \frac{(\pi \cdot \color{blue}{x}^2) \cdot (\color{red}{4x+3})}{3}\\\\
&\approx \frac{3,14\color{blue}{x}^2 \cdot (\color{red}{4x+3})}{3}\\\\
&\approx \frac{12,56x^3 + 9,42x^2}{3}\\\\
&\approx 4,19x^3 + 3,14x^2\end{align}||
5. Interpréter la réponse
L'expression algébrique qui est associée au volume est |4,19x^3 + 3,14x^2|.​​

​​​En associant des expressions algébriques et des variables aux différentes mesures, cela permet d'obtenir les dimensions de tous les solides qui respectent les contraintes énoncées au début du problème.

Avec un petit peu plus d'informations, on peut arriver à trouver la valeur numérique ​associée à la variable utilisée.

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Les exercices
Les références