Mathématique m1496

L'exponentiation de nombres entiers

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Même si on connait les propriétés et les définitions des exposants, il existe plusieurs façons de les appliquer en fonction de la base utilisée. On peut toujours s'en remettre à la définition des exposants et des racines​ afin de bien démarer sa démarche. 

L'exposant est un nombre naturel

||a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \ \text{fois}}||​​​ ||\text{où }\ a \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Dans le cadre des nombres entiers, il faut porter une attention particulière au signe de la base et aux parenthèses qui lui sont associée. 

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |7^5|?
||\small \begin{align} \color{red}{7}^\color{blue}{5} &= \underbrace{\color{red}{7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7}}_{\color{blue}{5 \ \text{fois}​}}\\
&=16 \ 807 \end{align}||
​Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}8^4|?
||\small \begin{align} \text{-}\color{red}{8}^\color{blue}{4}&= \text{-}(\color{red}{8}​)^4 \\
 &= \text{-}(\underbrace{\color{red}{8 \cdot 8 \cdot 8\cdot 8}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}})\\
&=\text{-}(4 \ 096) \\
&= \text{-} 4 \ 096\end{align}||
​Exemple 3
Quelle est la puissance de |(\text{-}8)^4|?
||\small \begin{align} (\color{red}{\text{-}8})^\color{blue}{4} &= \underbrace{\color{red}{(\text{-}8) \cdot (\text{-}8) \cdot (\text{-}8) \cdot (\text{-}8})}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}}\\
&=4 \ 096\end{align}||​


Dans l'encadré ci-haut, on remarque que la base de l'exemple 2 est |\small 8| alors que celle de l'exemple 3 est |\text{-}8|. On remarque que le résultat est sensiblement le même, seul le signe change. Pour bien faire la différence entre ces deux exemples, il est important de se fier aux parenthèses et au nombre de fois où la base est multipliée par elle-même. Le truc ci-dessous permet ainsi d'anticiper le signe d'une puissance.

Lorsqu'une base est négative (ex:|(-a)^n|)

Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera positive.

Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera négative.

Lorsqu'une base est positive (ex:|-a^n|)​

Peu importe la parité de l'exposant, la réponse sera négative. 

L'exposant est un nombre entier négatif

Nombre entier en écriture fractionnaire
|| a = \frac{a}{1}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{Z}^*||
Définition
||\displaystyle \small \begin{align} a^{\text{-}n} &= \left(\frac{a}{1}\right)^{\text{-}n}\\\\
&= \left(\frac{1}{a}\right)^n\end{align}​|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Dans le cas d'un exposant de valeur négative, son impact sur la base demeure la même: elle est inversée​. Par la suite, il suffit de porter une attention particulière au signe de la base et au nombre de fois qu'elle est multipliée par elle-même. 

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |\text{-}3^{\text{-}3}|?
||\small \begin{align} \text{-}\color{red}{3}^\color{blue}{\text{-}3} &=\text{-}(\color{red}{3})^{\text{-}3}\\
&=\text{-}\left(\frac{1}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&= \text{-}\underbrace{\left(\frac{1}{\color{red}{3}} \cdot \frac{1}{\color{red}{3}}\cdot \frac{1}{\color{red}{3}}\right)}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\text{-}\left(\frac{1}{3 \cdot 3 \cdot 3}\right)\\\\
 &=\text{-} \frac{1}{27}\end{align}||

Exemple 2
Quelle est la puissance de |(\text{-}5)^{\text{-}4}|?
||\small \begin{align} (\color{red}{\text{-}5})^\color{blue}{\text{-}4} &=\left(\frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&= \underbrace{\frac{1}{\color{red}{\text{-}5}} \cdot \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}\cdot \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}} \cdot \frac{1}{\color{red}{\text{-}5}}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\frac{1}{\text{-}5 \cdot \text{-}5 \cdot \text{-}5 \cdot \text{-}5}\\\\
 &= \frac{1}{625}\end{align}||

En ce qui concerne le lien que l'on peut établir entre la parité de la réponse et celle de la base, on peut se référer au truc présenté à la section précédente.

L'exposant est un nombre fractionnaire

||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{Z},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Une fois de plus, les parenthèses utiilsées pour identifier la base jouent un rôle crucial dans le calcul de la puissance. 

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |(\text{-}16)^{\frac{1}{2}}|?
||\small \begin{align} (\color{red}{\text{-}16})^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{2}}} &=\sqrt[\color{blue}{2}]{\color{red}{(\text{-}16})^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractonnaire} \\
&= \sqrt{\text{-}16} && \\
&= \emptyset \end{align}||

​Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}8^{\frac{\text{-}2}{3}}|?
||\small \begin{align} \text{-}\color{red}{8}^{\frac{\color{magenta}{\text{-}2}}{\color{blue}{3}}} &= \text{-}\left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^{\frac{\color{magenta}{2}}{\color{blue}{3}}}&& \text{définition de l'exposant négatif}\\\\
&=\text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{\left(\frac{1}{\color{red}{8}}\right)^\color{magenta}{2}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\
&=\text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{8}} && \text{définition de l'exposant 2} \\\\
&= \text{-}\sqrt[3]{\frac{1}{64}} && \\\\
&=\text{-} \frac{1}{4}\end{align}||

Comme le présente ​l'exemple 1, il existe des nombres qui font partie des |\mathbb{Z}| pour lesquels il est impossible de calculer la racine. ​

Les vidéos
Les exercices
Les références