Mathématique m1497

L'exponentiation de nombres réels

​Dans le cas des nombres réels, on utilise généralement deux formes d'écriture pour les représenter: la notation décimale et la notation fractionnaire. 

Dont la base est un nombre réel ​​à notation décimale

L'exposant est un nombre naturel

​||a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \ \text{fois}}||​​​ ||\text{où }\ a \in \mathbb{R}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Comme l'encadré précédent le rappelle, la définition même de l'exponentiation ne change pas, même si la nature de la base varie. Par contre, les calculs deviennent parfois un peu plus complexes.

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |0,8^3|?
||\small \begin{align} \color{red}{0,8}^\color{blue}{3} &= \underbrace{\color{red}{0,8 \cdot 0,8 \cdot 0,8}}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}​}}\\
&= 0,512\end{align}||
​Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}0,25^4|?
||\small \begin{align} \text{-}\color{red}{0,25}^\color{blue}{4}&= \text{-}(\color{red}{0,25}​)^4 \\
 &= \text{-}(\underbrace{\color{red}{0,25\cdot 0,25\cdot 0,25\cdot 0,25}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}})\\
&\approx \text{-}(0,003 \ 9) \\
&\approx  \text{-} 0,003\ 9\end{align}||
​Exemple 3
Quelle est la puissance de |(\text{-}1,45)^2|?
||\small \begin{align} (\color{red}{\text{-}1,45})^\color{blue}{2} &= \underbrace{\color{red}{(\text{-}1,45) \cdot (\text{-}1,45)}}_{\color{blue}{2 \ \text{fois}​}}\\
&=2,102 \ 5\end{align}||​


Dans l'encadré ci-haut, on remarque que la base de l'exemple 2 est |\small 0,25| alors que celle de l'exemple 3 est |\small \text{-}1,45|. On remarque que le résultat est sensiblement le même, seul le signe change. Pour bien faire la différence entre ces deux exemples, il est important de se fier aux parenthèses et au nombre de fois où la base est multipliée par elle-même. Le truc ci-dessous permet ainsi d'anticiper le signe d'une puissance.

Lorsqu'une base est négative (ex:|(\text{-}a)^n|)

Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera positive.

Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera négative.

Lorsqu'une base est positive (ex:|\text{-}a^n|)​

Peu importe la parité de l'exposant, la réponse sera négative. 

​De plus, on peut remarquer qu'avec la notation décimale, la multiplication fait en sorte que la réponse finale possède généralement plus de décimales que la base de la notation exponentielle de départ. Pour éviter de perdre de la précision, il est préférable, lorsque possible, de transformer la notation décimale en notation fractionnaire pour ensuite effectuer les calculs nécessaires.

L'exposant est un nombre entier négatif

||\begin{align} a^{\text{-}n} &= \left(\frac{a}{1}\right)^{\text{-}n}\\\\
&= \left(\frac{1}{a}\right)^n\end{align}​|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*​||

Dans le cas où la base est un nombre réel à notation décimale, il faudra faire attention pour respecter les conventions d'écriture d'une fraction.

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |0,3^{\text{-}3}|?
||\small \begin{align}\color{red}{0,3}^\color{blue}{\text{-}3}
&=\left(\frac{1}{\color{red}{0,3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&=\left(\frac{10}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{convention d'écriture d'une fraction}\\\\
&=\underbrace{\left(\frac{10}{\color{red}{3}} \cdot \frac{10}{\color{red}{3}}\cdot \frac{10}{\color{red}{3}}\right)}_{\color{blue}{3 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\left(\frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{3 \cdot 3 \cdot 3}\right)\\\\
 &=\frac{1000}{27}\end{align}||

Exemple 2
Quelle est la puissance de |(1,5)^{\text{-}4}|?
||\small \begin{align} (\color{red}{1,5})^\color{blue}{\text{-}4} &=\left(\frac{1}{\color{red}{1,5}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\
&=\left(\frac{10}{\color{red}{15}}\right)^{\color{blue}{4}} && \text{convention d'écriture d'une fraction}\\\\
&= \underbrace{\frac{10}{\color{red}{15}} \cdot \frac{10}{\color{red}{15}}\cdot \frac{10}{\color{red}{15}} \cdot \frac{10}{\color{red}{15}}}_{\color{blue}{4 \ \text{fois}​}}&& \text{définition de l'exponentiation}\\\\
&=\frac{10\cdot 10 \cdot 10 \cdot 10}{15 \cdot 15 \cdot 15 \cdot 15}\\\\
 &= \frac{10 \ 000}{50\ 625}\\\\
&= \frac{16}{81} &&\text{réduction d'une fraction} \end{align}||

L'exposant est un nombre fractionnaire

​||a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|| ||\text{où }\ a \in \mathbb{R},\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et} n \in \mathbb{N}^*||

Même si on travaille avec des nombres réels à notation décimale, la définition même de l'exponentiation par un nombre fractionnaire ne change pas. 

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |0,16^{\frac{1}{2}}|?
||\small \begin{align} (\color{red}{0,16})^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{2}}} &=\sqrt[\color{blue}{2}]{\color{red}{0,16}^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\
&= \sqrt{0,16} && \\
&= 0,4 \end{align}||

​Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}3,28^{\frac{2}{3}}|?
||\small \begin{align} \text{-}\color{red}{3,28}^{\frac{\color{magenta}{2}}{\color{blue}{3}}} &= \text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{\color{red}{3,28}^\color{magenta}{2}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\
&=\text{-}\sqrt[\color{blue}{3}]{3,28\cdot 3,28} && \text{définition de l'exposant 2} \\\\
&\approx \text{-}\sqrt[3]{10,758} && \\\\
&\approx\text{-} 2,21\end{align}||

Le seul inconvénient dans ce genre de calculs est la perte de précision. Pour l'éviter, on peut d'abord passer de la notation décimale à la notation fractionnaire pour ensuite faire les calculs appropriés. Pour ce faire, on peut se baser sur la section suivante.  ​ ​

Dont la base est un nombre réel à notation fractionnaire

L'exposant est un nombre naturel

​||\small\begin{align}\left(\frac{a}{b}\right)^n &= \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b}}_{n \ \text{fois}}\\
&= \frac{a^n}{b^n}\end{align}||​​​ ||\text{où }\ {a,\ b} \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Par ailleurs, les parenthèses ont également leur importance dans la notation exponentielle dont la base est sous forme fractionnaire.
||\small\frac{a}{b}^n = \frac{(a^n)}{b}||
alors que
||\small \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}||
En utilisant les définitions et les propriétés des exposants, l'exponentiation d'une fraction est en fait la division de deux notations exponentielles puisqu'on peut distribuer l'exposant sur chacun des éléments de la fraction.

​Exemple 1
Quelle est la puissance de |\left(\frac{2}{3}\right)^3|?
||\small\begin{align} \left(\color{red}{\frac{2}{3}}\right)^\color{blue}{3} &= \frac{2^3}{3^3}\\\\
&= \frac{8}{27}\end{align}||
​Exemple 2
Quelle est la puissance de |\text{-}\left(\frac{5}{4}\right)^4|?
||\small\begin{align} \text{-}\left(\color{red}{\frac{5}{4}}\right)^\color{blue}{4} &= \text{-}\left(\frac{5^4}{4^4}\right)\\\\&=\text{-}\left(\frac{625}{256}\right) \\\\ &=\text{-} \frac{625}{256}\end{align}||
​Exemple 3
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2|?
||\small\begin{align} \left(\color{red}{\text{-}\frac{\sqrt{2}}{3}}\right)^\color{blue}{2} &=\frac{(\text{-}\sqrt{2})^2}{3^2}\\\\&=\frac{2}{9}\end{align}||​


Dans l'encadré ci-haut, on remarque que la base de l'exemple 2 est |\frac{5}{4}| alors que celle de l'exemple 3 est |\text{-}\frac{\sqrt{2}}{3}|. On remarque que le résultat est sensiblement le même, seul le signe change. Pour bien faire la différence entre ces deux exemples, il est important de se fier aux parenthèses et au nombre de fois où la base est multipliée par elle-même. Le truc ci-dessous permet ainsi d'anticiper le signe d'une puissance.

Lorsqu'une base est négative (ex:|\left(\text{-}\frac{a}{b}\right)^n|)

Lorsque l'exposant est un nombre pair, il y a donc un nombre pair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera positive.

Lorsque l'exposant est un nombre impair, il y a donc un nombre impair de multiplication de nombres négatifs. Ainsi, la puissance sera négative.

Lorsqu'une base est positive (ex:|\text{-}\left(\frac{a}{b}\right)^n = \text{-}\left(\frac{a^n}{b^n}\right)|)​

Peu importe la parité de l'exposant, la réponse sera négative. 

L'exposant est un nombre entier négatif

||\small\begin{align}\left(\frac{\color{red}{a}}{\color{magenta}{b}}\right)^{\text{-}n} &= \left(\frac{\color{magenta}{b}}{\color{red}{a}}\right)^n\\\\ &= \frac{\color{magenta}{b}^n}{\color{red}{a}^n}\end{align}|| ||\text{où }\ {\color{red}{a},\color{magenta}{b}} \in \mathbb{R}^* \quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||

Une fois de plus, les définitions et les propriétés des exposants allègent la démarche et les calculs.

Exemple 1
Quelle est la puissance de |\text{-}\left(\frac{\color{red}{6}}{\color{magenta}{5}}\right)^{\text{-}2}|?
||\small\begin{align} \text{-}\left(\frac{\color{red}{6}}{\color{magenta}{5}}\right)^\color{blue}{\text{-}2} &=\text{-}\left(\frac{\color{magenta}{5}}{\color{red}{6}}\right)^{\color{blue}{2}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\text{-}\left(\frac{\color{magenta}{5}^\color{blue}{2}}{\color{red}{6}^\color{blue}{2}}\right)&&\text{définition de l'exponentitation}\\\\ &= \text{-}\left(\frac{25}{36}\right) \\\\ &= \frac{\text{-}25}{36}\end{align}||

Exemple 2
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\frac{\color{red}{3}}{\color{magenta}{7}}\right)^{\text{-}3}|?
||\small\begin{align} \left(\text{-}\frac{\color{red}{3}}{\color{magenta}{7}}\right)^\color{blue}{\text{-}3} &=\left(\text{-}\frac{\color{magenta}{7}}{\color{red}{3}}\right)^{\color{blue}{3}} && \text{définition de l'exposant négatif} \\\\ &=\frac{(\text{-}\color{magenta}{7})^\color{blue}{3}}{\color{red}{3}^\color{blue}{3}}&&\text{définition de l'exponentitation}\\\\ &= \frac{\text{-}343}{27}\end{align}||

L'exposant est un nombre fractionnaire

​||\begin{align}\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}} &= \sqrt[n]{\left(\frac{a}{b}\right)^m}\\\\ &= \frac{\sqrt[n]{a^m}}{\sqrt[n]{b^m}}\end{align}|| ||\text{où }\ {a,\ b}\in \mathbb{R}^*,\quad m \in \mathbb{Z}\quad \text{et}\quad n \in \mathbb{N}^*||


​Exemple 1
Quelle est la puissance de |\left(\text{-}\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{3}}|?
||\small\begin{align} \left(\color{red}{\text{-}\frac{1}{27}}\right)^{\frac{\color{magenta}{1}}{\color{blue}{3}}} &=\sqrt[\color{blue}{3}]{\color{red}{\text{-}\frac{1}{27}}^\color{magenta}{1}} && \text{définition de l'exposant fractionnaire} \\\\
&= \frac{\sqrt[\color{blue}{3}]{(\text{-}1)^\color{magenta}{1}}}{\sqrt[\color{blue}{3}]{27^\color{magenta}{1}}} && \text{propriétés des racines}\\\\
&= \frac{\text{-}1}{3} \end{align}||
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