Mathématique m1508

L'écart type

​​​​​​Une autre mesure fréquemment utilisée pour comparer les données d'une même distribution entre elles est l'écart type. ​

L’écart type, habituellement noté |s| lorsqu’on étudie un échantillon et |\sigma| lorsqu’on étudie une population, est défini comme étant une mesure de dispersion des données autour de la moyenne.

En d'autres mots, plus l'écart type est grand, plus les données sont éloignées de chaque côté de la moyenne et vice versa pour un écart type qui est petit. Tout comme la variance, l’écart type peut se calculer peu importe si la distribution étudiée est une population ou un échantillon.

|s= \sqrt{\frac{\sum(x_{i}-\overline{x})^{2}}{n-1}}|
ou
|\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x_i-\mu)^2}{N}}|

|\sum| qui signifie qu’il faut effectuer une somme successive de plusieurs éléments.

|x_i| représente la |i^\text{e}| valeur de la distribution.

|\overline{x}| représente la moyenne de l’échantillon et |\mu| la moyenne de la population.

|n| représente la taille de l’échantillon et |N| la taille de la population.

Puisque sa définition et sa formule ressemblent beaucoup à celles de la variance, la démarche pour calculer l'écart type y est très similaire.​​ 

Ainsi, on peut résumer le calcul de l'écart type à l'égalité suivante:

|\text{écart type} = \sqrt{\text{variance}}|

​Pour illustrer le tout, l'exemple suivant est en fait la suite de celui présenté dans la fiche de la variance​.

Pour analyser la température d'une journée, on note la température en degrés Celsius à chaque heure et on obtient la distribution suivante:

-5, -4, -4, -3, -3, -2, -1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 11, 12.

1) Calcul de la variance
Selon les calculs faits dans la fiche de la variance, on obtient que
|s^2 = 30,04^\circ \text{C}^2|

2) Calcul de l'écart type selon |\text{écart type} = \sqrt{\text{variance}}|
|s = \sqrt{30,04^\circ \text{C}^2} \approx 5,48^\circ \text{C}|

Ainsi, l’écart type de cette distribution est égal à environ  |5,48^\circ \text{C}|.

Pour en savoir plus sur l'interprétation d'une telle mesure, n'hésite pas à consulter la section suivante.

​Après plusieurs recherches et analyses, un mathématicien du nom de Gauss a établi que, parmi toutes les distributions possibles, certaines d'entre elles démontraient une dispersion des données qui tendait à suivre une loi spécifique. On nomme aujourd'hui cette loi, la loi de Gauss ou la loi normale. On parlera ainsi de distribution normale.

En résumé, il a démontré qu'environ 68% des données d'une distribution normale sont regroupées à ± 1 l'écart type de la moyenne et qu'environ 95% des données de ces distributions sont situées à ± 2 fois l'écart type par rapport à la moyenne. 

Pour en savoir plus, n'hésite pas à consulter ce site.

Les vidéos
Les exercices
Les références