Mathématique m1514

Aire et volume de solides tronqués

​​​​​​​​​​​​​​Malgré tous les polyèdres et les corps ronds qui existent, ceux-ci ne suffisent pas pour représenter toutes les situations. Il est cependant possible d'utilser un solide connu pour ensuite en enlever une partie. Dans ce cas, on fait référence à des solides tronqués.

​​

​​Comme il est mentionné dans la définition d'un solide tronqué​​, un plan est utilisé pour couper le solide initial. Pour assurer une certaine logique dans les propos qui suivent, seuls les cas où le plan utilisé pour scindé le solide est parallèle à la base de ce dernier seront analysés.

​​ Voici une illustration représentant des cônes tronqués par un plan:m1514i01.PNG

​Dans ce dessin, on voit que le premier couple de cônes est créé selon un |\color{blue}{\text{plan}}| qui e​st parallèle à la |\color{green}{\text{base}}| du cône et ce sont ces genres de cônes tronqués qui seront étudiés.

​Or, dans le deuxième couple de cônes, le |\color{red}{\text{plan}}| n'est pas parallèle à la |\color{green}{\text{base}}| du cône.​ Ce cas ne sera pas à l'étude ici. 

Aire d'un solide tronqué

​​​Pour y arriver, il est essentiel d'associer le solide tronqué à un solide initial connu ou de le décomposer selon les figures qui le composent.

​Quelle est l'aire totale du cône tronqué suivant en sachant que le rayon, la hauteur et l'apothème du cône qui lui est associé mesuraient respectivement 9 cm, 16 cm et 18,36 cm.
m1514i33.PNG 
1) Calculer l'aire des bases
Dans ce cas, les bases sont deux disques dont la mesure du rayon est différente.
m1514i34.PNG  
||\begin{align*}
A_\text{petite base} &= \pi \cdot \color{blue}{r^2} \\
&= \pi \cdot \color{blue}{5,63^2} \\
&\approx 99,58 \ cm^2
\end{align*}||
m1514i35.PNG 
||\begin{align*}
A_\text{grande base} &= \pi \cdot \color{blue}{r^2}\\
&= \pi \cdot \color{blue}{9^2} \\
&\approx 254,47 \ cm^2
\end{align*}||
||\begin{align*}
A_\text{deux bases} &= 99,58 + 254,47 \\
&= 354,05 \ cm^2
\end{align*}||
2) Identifier les solides
Pour faciliter le reste de la démarche, il est essentiel de bien identifier les solides mis en relation. Dans le cas analysé, ce sont des cônes qui sont impliqués.
m1514i30.PNGm1514i31.PNGm1514i32.PNG
3) Calculer l'aire latérale
Tout d'abord, il faut déterminer la hauteur du cône #Pour ce faire, on doit procéder par soustraction.
||\begin{align*}
hauteur_3 &= hauteur_2 - hauteur_1 \\
&= 16 - 6 \\
&= 10 \ cm
\end{align*}||
En se fiant aux solides de l'étape précédente, on peut déduire que:
||\begin{align*}
A_{L1} &= A_{L2} - A_{L3}\\
&= \pi \cdot r_2 \cdot a_2 - \pi \cdot r_3 \cdot a_3 \\
&= \pi \cdot 9 \cdot 18,36 - \pi \cdot 5,63 \cdot 11,48 \\
&\approx 316,07 \ \text{cm}^2
\end{align*}||
4) Calculer l'aire totale
Comme dans tout calcul d'aire totale,
||\begin{align*}
A_T &= A_L + A_\text{deux bases}\\
&\approx 316,07 +354,05\\
&\approx 670,12 \ \text{cm}^2
\end{align*}||​
5) Interpréter la réponse​
L'aire totale de ce cône tronqué est d'environ 670,12 cm2​.

Dans le cas où on aurait dû travailler avec une pyramide tronquée, les étapes à suivre auraient été les mêmes. À l'exception des formules de calcul d'aire latérale et d'aire des bases, la structucture de la démarche reste la même.

Volume d'un solide tronqué

Quand vient le temps de calculer le volume d'un tel solide, on peut utiliser le même genre de raisonnement que pour l'aire. En fait, la soustraction sera encore d'une aide inestimable.

​​Pour isoler le toit d'une maison qui est d'une hauteur de 52 dm​, un entrepreneur décide d'utliser une mousse de polyuréthane appliquée à l'aide d'un pistolet. Pour être conforme aux normes, il doit s'assurer d'en mettre une épaisseur de 3 dm. Une fois la mousse durcie, elle aura l'allure d'une pyramide tronquée à base rectangulaire:
m1514i40.png 
Si ce produit coûte 4$/9 dm​3​, quel serait le prix d'isolation de ce toit?

1) Identifier les solides
Dans le cas présent, il est mentionné qu'il s'agit d'une pyramide à base tronquée. Dans le but de faciliter les calculs, on doit retrouver la pyramide initiale associée à celle qui est tronquée pour ensuite en déduire ses dimensions.
m1514i41.png m1514i42.png m1514i43.png
2) Calculer le volume
Pour débuter, on peut déduire la hauteur de la figure 3 de la façon suivante:
||\begin{align*}
hauteur_3 &= hauteur_2 - hauteur_1 \\
&= 38 - 9,5 \\
&= 28,5 \ dm
\end{align*}||
Pour y arriver, on doit procéder par soustraction des volumes de la pyramide 2 et 3. Ainsi,
||\begin{align*}
V_{1} &= V_{2} - V_{3}\\
&= \frac{A_\text{base}\cdot h_2}{3} - \frac{A_\text{base}\cdot h_3}{3} \\
&= \frac{1 \ 805 \cdot 38}{3} - \frac{1 \ 018,02 \cdot 28,5}{3} \\
&\approx 22 \ 863,33 - 9 \ 671,19 \\
&=13 \ 192,14 \ \text{dm}^3
\end{align*}||
3) Interpréter la réponse

En utilisant le produit croisé,​​
​||\begin{align}\frac{4 \$}{?} &= \frac{9 \ \text{dm}^3}{13 \ 192,14\ \text{dm}^3} \\\\
? &= 4 \cdot 13 \ 192,14 \div 9 \\
? &\approx 5 \ 863,17 \$ \end{align}||​​
Ainsi, l'isolation avec cette mousse coûtera environ ​5 863,17$.

​​Dans ces situations, il faut fait attention de ne pas confondre une pyramide tronquée avec un prisme à base trapézoïdale. Dans le cas de la pyramide tronquée, les faces latérales sont des trapèzes inclinées vers l'intérieur du solide alors que dans le cas du prisme, les bases sont des trapèzes isométriques et les faces latérales sont des rectangles suivant une inclinaison relative à la position des bases.

Formules associées aux solides tronquées

​​​Malgré tout, il est possible de modéliser une partie des démarches précédentes en utilisant des formules. Par contre, les formules sont différentes selon la nature du solide tronqué avec lequel on travaille et elles ne permettent que de calculer leur aire latérale.

Formules d'aire latérale ​et de volume d'un cône tronqué

De par la complexité de leur provenance, seule la formule sera présentée dans les encadrés suivants. Or, il est important d'associer chacune des variables à la mesure correspondante sur le cône tronqué analysé.

​​​Aire latérale d'un cône tronqué
En tenant compte des mesures suivantes:
m1514i15.PNG 
on peut associer la mesure de l'aire latérale à la formule suivante:
||A_L = \pi \cdot (\color{red}{R} + \color{blue}{r}) \cdot \color{green}{a}||
Comme il est mentionné au début de l'encadré, cette formule ne sert qu'à déterminer l'aire latérale. Pour avoir l'aire totale, il faut ajouter l'aire des deux disques qui servent de base au cône tronqué.

Volume d'un cône tronqué
En tenant compte des mesures suivantes:
m1514i16.PNG
on peut associer la mesure du volume à la formule suivante: ​​​​
||V = ​(\color{green}{h} \cdot \frac{\pi}{3}) \cdot (\color{red}{R}^2 + \color{blue}{r}^2 + \color{red}{R} \cdot \color{blue}{r})||​

​Formules d'aire latérale et de volume d'une pyramide tronquée

Une fois de plus, seule les formules seront décrites. Par ailleurs, il est important d'assoc​ier les variables de chacune des formules avec la bonne mesure de la pyramide tronquée.

​Aire latérale d'une pyramide tronquée
En tenant compte des mesures suivantes:
m1514i17.PNG 
on peut calculer l'aire latérale de cette pyramide tronquée selon la formule
||A_L = (\color{blue}{P} + \color{red}{p}) \cdot \color{green}{a} \div 2||​
Par contre, cette formule ne couvre que les faces latérales. Pour obtenir l'aire totale, il ne faut pas oublier d'ajouter l'aire de chacune des bases.

Volume d'une pyramide tronquée
En tenant compte des mesures suivantes:
m1514i18.PNG 
​on peut déterminer son volume à l'aide de la formule suivante:
||V​ = \color{green}{h} \cdot ​​( \color{blue}{B} + \color{red}{b} + \sqrt{\color{blue}{B} \cdot \color{red}{b}}) \div 3||​

​​Malgré ces dernières formules, il n'en demeure pas moins que les démarches présentées dans les exemples s'avèrent être plus efficaces puisqu'on peut les réutiliser lorsque vient le temps de trouver une mesure manquante​ dans un tel solide.

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