Mathématique m1516

Trouver une mesure manquante selon le volume

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Dans la vie de tous les jours, il peut arriver que les contraintes fassent en sorte que l'on connaisse le volume du solide, mais que la mesure associée à une des trois dimensions soit manquante. Par ailleurs, il se peut que l'on rencontre ce même type de situations lorsque l'on utilise des expressions algébriques pour définir les mesures.

Trouver une mesure manquante d'un cube

Il est possible de déterminer la mesure du côté d'un cube à partir de son volume. Pour ce faire, il faut se référer à la formule de volume​​ pour ensuite ​effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée.

Afin de passer le temps durant les pauses à ton école, tu gardes toujours un cube rubique dans ton sac à dos. Or, avec tout ce que tu dois mettre dans ton sac, il ne te reste qu'un espace de 226,981 cm3 de disponible.
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Quels devraient être les mesures maximales des arêtes du cube rubique afin que tu sois en mesure de le déposer dans ton sac à dos?​​

1. Identifier la formule
Puisqu'il est question du volume, utilise ||V=\color{blue}{c}^3||
2. Remplacer les valeurs que l'on connaît
||\begin{align} V &= \color{blue}{c}^3\\
226,981 &= \color{blue}{c}^3\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align} 226,981 &= \color{blue}{c}^3\\
\sqrt[3]{226,891} &= \sqrt[3]{\color{blue}{c}^3}\\
6,1 \  \text{cm} &\approx \color{blue}{c}\end{align}||
4. Interpréter ​la réponse
La mesure d'une arête de ce cube doit être de |6,1\ \text{cm}|.

Trouver une mesure manquante d'un prisme

Il est possible de déterminer la mesure manquante d'un prisme à partir de son volume. Pour ce faire, il faut se référer à sa formule de volume et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée.

En tant que camionneur, Bobby doit s'assurer que les routes qu'il emprunte soient suffisamment dégagées en hauteur afin de ne pas abîmer son camion et la marchandise qu'il transporte. Étant sur la route pour sa prochaine livraison, il aperçoit le panneau suivant:
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Connaissant seulement le volume de la section d'entreprosage de son camion, Bobby s'arrête sur le bord de la route​ afin de vérifier que son camion n'est pas trop haut pour passer sous la prochaine passerelle pour piétons.
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Comme il lui est impossible d'atteindre le dessus de son camion, quels calculs doit-il faire pour déterminer la hauteur de son véhicule ? 

1. Identifier la formule
Puisqu'il est question de volume d'un prisme à base rectangulaire:
||V = A_b \cdot h||

2. Remplacer les valeurs que l'on connaît
||\begin{align} V &= A_b \cdot h\\
&= (\color{green}{b} \cdot \color{red}{h}) \cdot h\\
162,18 &= (\color{green}{3} \cdot \color{red}{15,9}) \cdot h\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align} 162,18 &= (\color{green}{3} \cdot \color{red}{15,9}) \cdot h\\
162,18 &= 47,7 \cdot h\\
3,4 \ \text{m}&= h \end{align}||
4. Interpréter la réponse
​En additionnant la hauteur de la section d'entreposage à celle de la hauteur de cette section par rapport au sol, on obtient | ​3,4 + \color{blue}{0,85} = 4,25 \ \text{m}|. Ainsi, il ne pourra pas passer sous la passerelle puisque son camion est plus haut que cette dernière |(4,25\ \text{m > }4,15\ \text{m})|.

Trouver une mesure manquante d'une pyramide ou d'u​n cône​​​​

Au niveau de la pyramide et du cône, il y a deux mesures qui peuvent porter à confusion: l'apothème et la hauteur. Même si la mesure de l'apothème de ces solides n'est pas impliquée dans le calcul du volume, il peut être intéressant de la calculer. Pour commencer, voici un exemple simulant la recherche d'une mesure associée à la base d'un cône.

Afin de s'assurer de faire un bon profit, un propriétiare de restaurant veut déterminer le diamètre exact que devrait avoir les verres dans lesquels les spiritueux seront servis.
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De façon générale, une consommation de spiritueux équivaut à ​45 cm3. S'il veut respecter cette quantité, quelle devrait-être le diamètre de ses verres en considérant que l'épaisseur du verre est négligeable​ ? 

1. Identifier la formule
Dans le cas du cône, la formule pour calculer son volume est
||\begin{align} V &= \frac{A_b \cdot \color{blue}{h}}{3}\\\\
&= \frac{\pi r^2 \cdot \color{blue}{h}}{3}\end{align}||
2. Remplacer les valeurs que l'on connaît
||\begin{align} V &= \frac{\pi r^2 \cdot \color{blue}{h}}{3}\\\\
45 &= \frac{\pi r^2 \cdot \color{blue}{8}}{3}\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align} 45 &= \frac{\pi r^2 \cdot \color{blue}{8}}{3}\\\\
135 &= 8\pi r^2\\
5,37 &\approx r^2\\
2,32 \ \text{cm} &\approx r\end{align}||
4. Interpréter la réponse
Puisqu'on cherche la mesure du diamètre, on doit multiplier la mesure du rayon par |2|. Ainsi,
||\begin{align} d &= 2 \cdot r \\
&= 2 \cdot 2,32\\
&= 4,64 \ \text{cm}\end{align}||.

Trouver la mesure de l'apothème ou de la hauteur

De par leur allure similaire, la démarche à suivre pour trouver la mesure de l'apothème est la même. Pour alléger le contenu, seul le cône​ sera présenté dans le prochain exemple. On utilisera donc les formules de volume qui lui font référence.

Pour éviter qu'une tente de forme conique soit emporté par le vent, on fixe des cordes qui relient son apex avec des pieux plantés dans le sol. Par ailleurs, ces cordes de sécurité doivent longer les parois de la tente.
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Sachant qu'il faut prévoir 30 cm additionnels aux deux extrémités de chaque corde pour faire un noeud, quelle est la longueur minimale d'une de ces cordes ?

1. Identifier la formule
Puisqu'on travaille avec le cône et qu'on cherche l'apothème, on utilisera:
||\begin{align} V &= \frac{A_b \cdot h}{3}\\\\
&=\frac{\pi \color{blue}{r^2} \cdot h}{3}\end{align}||
2. Remplacer les valeurs qu'on connaît
||\begin{align} V &= \frac{\pi \color{blue}{r^2} \cdot h}{3}\\\\
4,09 &=\frac{\pi \color{blue}{1,25^2} \cdot h}{3}\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align} 4,09 &= \frac{\pi \color{blue}{1,25^2} \cdot h}{3}\\\\
12,27 &\approx 1,56 \pi \cdot h\\
2,51 \ \text{m} &\approx h\end{align}||
4. Interpréter la réponse
Ici, on cherche la mesure de l'apothème et non celle de la hauteur. On devra donc utiliser la relation de Pythagore:
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||\begin{align} a^2 + \color{blue}{b^2} &= \color{red}{c^2}\\
2,51^2 + \color{blue}{1,25^2} &= \color{red}{c^2}\\
7,86 &\approx \color{red}{c^2}\\
2,8 \ \text{m} &\approx \color{red}{c}\end{align}||
Puisqu'il faut ajouer |30\ \text{cm}| à chaque bout pour faire les noeuds, on obtient  
||\begin{align} \text{longueur d'une corde}\ &= 2,8 + 0,3 + 0,3\\
&= 3,4 \ \text{m}\end{align}||

Comme on peut le constater, il fallait inévitablement trouver la mesure de la hauteur avant de déduire celle de l'apothème à l'aide de la relation de Pythagore. Ainsi, trouver la mesure de l'apothème demande quelques calculs de plus que celle de la hauteur. 

Trouver la mesure manquante d'une boule

Il est possible de calculer la valeur du rayon d'une boule si la valeur de son volume est connue. Pour y arriver, il suffit d'utiliser la formule de volume d​e la boule et d'effectuer les opérations inverses afin d'isoler le rayon.

Pour prendre part à une partie de soccer extrême, il faut revertir un équipement assez particulier. En fait, les joueurs doivent porter une énorme bulle de protection qui leur permet d'entrer sécuritairement en contact avec les autres joueurs.
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Le seul inconvénient est que les participants doivent être au moins aussi grand que la hauteur de cette bulle de protection. Sachant que le volume d'une bulle protectrice est de 1,44 m​3, quelle doit être la grandeur minimale des participants ?

1. Identifier la formule
Puisqu'on fait référence au volume d'une boule, on utilise la formule
||V = \frac{4 \pi \cdot r^3}{3}|| 
2. Remplacer les valeurs que l'on connaît
||\begin{align} V &= \frac{4 \pi \cdot r^3}{3}\\\\
1,44 &= \frac{ 4 \pi \cdot r^3}{3}\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align}1,44 &= \frac{4 \pi \cdot r^3}{3}\\\\
4,32 &\approx 4 \pi \cdot r^3\\
0,34 &\approx r^3\\
0,58 \ \text{m} &\approx r\end{align}||
4. Interpréter la réponse Puisque la hauteur d'une boule est équivalente à deux fois son rayon
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on peut en déduire que
||\begin{align} \color{blue}{h} &= 0,58 \cdot 2 \\
&= 1,16 \ \text{m}\end{align}||
En d'autres mots. les participants doivent mesurer au moins |1,4\ \text{m}|.

Trouver la mesure manquante d'un cylindre

Il est possible de déterminer la mesure d'une valeur manquante dans un cylindre à partir de son volume. Pour ce faire, il faut se référer à sa formule de volume​ et effectuer les opérations inverses afin de déterminer la mesure recherchée.

Afin d'assurer l'efficacité des divers filtres à air, les usines de production doivent s'assurer que leur cheminée ne contiennent pas plus de  ​​​​385 m3​ de déchets gazeux.
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En se fiant aux plans de la bâtisse ci-dessus, quel devrait être la hauteur minimale de la cheminée qui est de forme cylindrique 

​1. Identifier la formule

Puisqu'on fait référence au volume d'un cylindre, on utilisera:
||\begin{align} V &= A_b \cdot h\\
&= \pi \color{red}{r^2} \cdot h\end{align}||
2. Remplacer les valeurs que l'on connaît
||\begin{align} V &= \pi \color{red}{r^2} \cdot h\\
385 &= \pi \color{red}{(3,5 \div 2)^2} \cdot h\end{align}||
3. Simplifier et isoler la variable
||\begin{align} 385 &= \pi \color{red}{(3,5 \div 2)^2} \cdot h\\
385 &\approx \color{red}{3,06} \pi \cdot h\\
40,05 \ \text{m} &\approx h\end{align}||
4. Interpréter la réponse
La cheminée devra avoir une hauteur minimale d'environ |40,05\ \text{m}|.​

Trouver une expression algébrique manquante

Parfois, il arrive qu'aucune des mesures ne soient connues. Dans ce cas, on peut utiliser des expressions algébriques pour définir les mesures manquantes​. Dans ce cas, l'utilisation de l'algèbre a pour avantage de représenter plusieurs réponses possibles.

Quelle est l'expression algébrique associée à la mesure de chacune des dimensions d'un prisme à base rectangulaire dont le volume est |36 x^3 + 39x^2 - 42 x \ \text{cm}^3| ?

1. Identifier la formule
Dans le cas présent, il n'y a pas assez d'informations sur les mesures du prisme pour utiliser sa formule de volume. Dans ce cas, on procède par factorisation du polynôme.

2. Factorisation du polynôme
||\begin{align} 36x^3 + 39 x^2 - 42 x &= 3x (12x^2 + 13x - 14) && \text{mise en évidence simple} \\
&= 3x (12x^2 +21x - 8x - 14) &&\text{factorisation par somme-produit}\\
&= 3x (3x (4x+7) - 2(4x+7)) &&\\
&= \color{red}{3x} \color{blue}{(4x+7)} \color{green}{(3x-2)}\end{align}||
3. Interpréter la réponse
Puisque le calcul du volume d'un tel prisme se résume en la multiplication de trois facteurs, on peut associer les expressions algébriques à chacune des dimens​ions du prisme :
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