Mathématique m1517

Trouver une mesure manquante selon l'aire d'une autre classe de solide

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Puisqu'il est toujours question de l'aire, les formules d'aire des figures planes​ seront utiles. Par ailleurs, la démarche sera un peu plus complexe étant donné la quantité de figures planes utilisées dans la construction d'un solide complexe. Pour faciliter la compréhension de l'exemple qui sui​​t, voici une représentation globale de la démarche utilisée

Selon une équation de degré 1​ ​​

​​​1. Déduire la mesure de l'aire avec laquelle il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer à l'aire de chaque figure une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5. Résoudre l'équation.

6Interpréter la réponse selon le contexte.
En suivant ces étapes, il est plus facile d'orienter sa démarche et ses calculs.​​​​​​

Afin d'augmenter sa visibilité, une compagnie qui oeuvre dans le domaine animalier veut mettre sur le marché un nouveau jouet pour chien. Pour s'assurer de l'intérêt envers cette nouveauté, elle pense recouvrir le jouet d'un produit qui dégage une odeur et un goût dont les chiens raffolent. 
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Après quelques appels, la compagnie a trouvé un fournisseur qui est prêt à lui vendre un tel produit au coût de |0,02 \ $ / cm^2| de surface à couvrir. Pour maximiser ses profits, la compagnie sait qu'elle doit investir |9,20 \ $| pour recouvrir chaque jouet de ce produit. 

Ainsi, pour respecter cet investissement, quelle devrait être la mesure de la longueur de cet objet de divertissement ?

1. Déduire la mesure de l'aire avec laquelle il faut travailler
Par proportionnalité​, on peut déduire que:
||\begin{align} \frac{1 \ cm^2}{\text{aire totale}} &= \frac{0,02 \ $}{9,20 \ $}\\\\
\text{aire totale} &= \frac{ 9,20 \cdot 1}{0,02}\\\\
&= 460 \ cm^2\end{align}||
2. Identifier la mesure manquante avec une variable
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3. Trouver l'aire de chacune des surfaces
||\begin{align} \color{red}{A_\text{rectangles}} &= (5 \cdot 6) \cdot 2\\
&= \color{red}{60 }\\
\color{orange}{A_\text{rectangles}} &= (5 \cdot L) \cdot 2\\
&= \color{orange}{10L}\\
\color{blue}{A_\text{demi-cylindre}} &= \pi (6 \div 2)^2 + \left( \frac{6 \pi }{2}\right) \cdot L\\
&\approx \color{blue}{28,26 + 9,42 L}\\
\color{green}{A_\text{2 demi-cylindres}} &= (\pi (6 \div 4)^2) \cdot 2 +( 2 \pi (6 \div 4)) \cdot L\\
&\approx \color{green}{14,13 + 9,42 L}\end{align}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align} \text{Aire totale} &= \text{Somme des aires de toutes les surfaces}\\
460 &= \color{red}{60} + \color{orange}{10L} + \color{blue}{28,26 + 9,42L} + \color{green}{14,13 + 9,42L}\\
460 &= 102,39 + 28,84 L \end{align}||
5. Résoudre l'équation
||\begin{align}460 &= 102,39 + 28,84L\\
357,61 &= 28,84L\\
12,40 &= L\end{align}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
La longueur du jouet devrait être d'environ |12,40 \ \text{cm}|.

De façon générale, il s'agit de bien identifier l'inconnue pour ensuite utiliser les formules adéquates afin de créer une équation qui résume la situation. Une fois l'équation résolue, il ne reste qu'à interpréter la réponse. ​

Selon une équation de degré 2

Pour trouver les mesures manquantes selon l'aire des solides complexes avec des équations de degré 2, la démarche à suivre sera relativement semblable à celle qui implique des équations de degré 1. 

​​​1. Déduire la mesure de l'aire avec laquelle il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer à l'aire de chaque figure une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5.Résoudre l'équation.

6. Interpréter la réponse selon le contexte.
Par contre, les méthodes de résolution utilisées à l'étape 5 seront un peu différentes. De façon générale, on pourra s'en remettre à la factorisation par la méthode porduit-somme ou à l'utilisation de la formule quadratique​

​Une compagnie se spécialise dans la fabrication de crampons. Pour répondre à leur plus récente demande, elle doit construire un crampon qui a l'allure suivante:
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La demande exige également certaines spécifications particulière: 
- la longueur de la base doit mesurer |10\ \text{mm}| de plus que l'apothème du cône
- la largeur de la base doit mesurer |4\ \text{mm}| de moins que l'apothème du cône
- la hauteur du prisme doit mesurer exactement |6\ \text{mm}|
- la mesure du rayon du cône doit être d'exactement |2\ \text{mm}|.
- l'aire totale d'un crampon doit être de |600  \ mm^2|.

Quelles devraient alors être les mesures précises de chacune des dimensions de ce crampon ?

1. Déduire la mesure de l'aire 
Il est mentionné que l'aire totale doit être de |600 \ mm^2|.

2. Identifier les mesures avec une variable ou une expression algébrique
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3. Trouver l'aire de chacune des surfaces
||\begin{align} \color{blue}{A_\text{rectangles}} &= ((x-4) \cdot 6) \cdot 2\\
&= \color{blue}{12x - 48}\\
\color{red}{A_\text{rectangles}} &= ((x+10) \cdot 6)\cdot 2\\
&= \color{red}{12x + 120}\\
A_\text{rectangle du dessous} &= (x+10)\cdot  (x-4)\\
&= x^2 + 6x - 40\\
\color{green}{A_\text{rectangle}} &= (x+10) \cdot (x-4) - \pi r^2\\
&= x^2-4x+10x-40 - 4\pi\\
&= \color{green}{x^2 + 6x-52,56}\\
A_\text{cône} &= \pi \cdot  r \cdot  a\\
&= \pi \cdot 2 \cdot x\\
&= 6,28x\end{align}||
4. Créer une équation
||\begin{align} \text{Aire totale} &= \text{Somme des aire de chacune des surfaces}\\
600 &= \color{blue}{12x-48} + \color{red}{12x+120} + x^2 + 6x - 40 + \color{green}{x^2+6x-52,56} + 6,28x\end{align}||
5. Résoudre l'équation
||\begin{align} 600 &= 2x^2+42,28x -20,26\\
0 &= 2x^2+42,28x - 620,26\\
\{x_1, x_2\} &= \frac{-(42,28) \pm \sqrt{42,28^2-4 \cdot 2 \cdot (-620,26)}}{2 \cdot 2}\\\\
x_1 \approx -31,11 \ &\text{et} \ x_2 \approx 9,97\end{align}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
Puisqu'on cherche une mesure de longueur, on considère seulement la valeur positive, soit |x_2 \approx 9,97|.
Ainsi, les dimensions recherchées sont les suivantes.
- Longueur  |\Rightarrow x+10 = 9,97 + 10 = 19,97| 
- Largeur    |\Rightarrow x-4 = 9,97 - 4 = 5,97|
- Apothème |\Rightarrow x = 9,97| 

Selon un solide tronqué

De par sa construction, on peut souvent associer un solide tronqué à un solide décomposable. En d'autres mots, il suffit d'analyser chacune de ces faces et de les décomposer de façon appropriée afin de retrouver des polygones avec lesquels on est habitué de travailler.

​​​1. Déduire la mesure de l'aire avec laquelle il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer à l'aire de chaque figure une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5Résoudre l'équation.

6Interpréter la réponse selon le contexte.

Au niveau de son application, on peut se fier à l'exemple suivant.

Pour rénover son bloc à logements, un propriétaire décide de remplacer le revêtement extérieur et de changer la structure du toit. Au lieu d'avoir un toit plat, il veut en avoir un incliné sur deux faces. 
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Pour assumer les coûts du nouveau revêtement, il dispose d'un budget de | 30 \ 000 \ $| et le matériau qu'il veut utiliser se vend |27,70 \ $ / m^2|. Ainsi, quelle devrait être la hauteur de son nouveau toit qui est incliné sur deux faces ?

1.Déduire la mesure de l'aire
||\begin{align*}
\text{Aire totale} &= 30 \ 000 \div 27,70 \\
&\approx 1 \ 083,03 \ m^2
\end{align*}||

2.Identifier la mesure manquante
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3. Trouver l'aire de chacune des surfaces
||\begin{align*}
\color{blue}{A_\text{rectangles}} &= (12 \cdot (20-x)) \cdot 2 \\
&= \color{blue}{480 - 24x} \\\\
\color{fuchsia}{A_\text{rectangles}} &= (15 \cdot (20-x))\cdot 2 \\
&= \color{fuchsia}{600 - 30x} \\\\
\color{red}{A_\text{triangles}} &= \displaystyle \left(\frac{12 \cdot x}{2}\right) \cdot 2 \\
&= \color{red}{12x}\\\\
\color{green}{A_\text{rectangles}} &= (6 \cdot 15) \cdot 2\\
&= \color{green}{180} \end{align*}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align} \text{Aire totale} &= \text{Somme des aires de chacune des faces}\\
1 \ 083,03 &= \color{blue}{480 - 24x} + \color{fuchsia}{600 - 30x} + \color{red}{12x} + \color{green}{180}\end{align}||
5. Résoudre l'équation
||\begin{align} 1 \ ​083,03 &= 1260 - 42x\\
x &\approx 4,21\end{align}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
La hauteur de son toit devra être d'environ |4,21 \ m|.

Selon un solide décomposable non convexe

Puisque l'on travaille en trois dimensions, il peut arriver qu'il y ait des sections manquantes. Malgré tout, on peut généralement s'en tirer en décomposant le solide non convexe selon les différentes figures planes qui le composent.

​​​1. Déduire la mesure de l'aire avec laquelle il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer à l'aire de chaque figure une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5Résoudre l'équation.

6Interpréter la réponse selon le contexte.

Concrètement, la démarche pourrait s'apparenter à la suivante.

En guise de passe-temps, Mylène offre ses services afin de faire des gâteaux personnalisés. Pour respecter le budget de son dernier client, elle sait qu'il lui reste 11 $ à investir dans l'application du crèmage. 
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Sachant qu'il lui en coûte |0,50\ $ / dm^2| pour se procurer les ingrédients nécessaires, quelle devrait être la hauteur du gâteau ?

1. Déduire la mesure de l'aire
||\begin{align*}
11 \ $ \div 0,5 &= 22 \ dm^2 \\
 &= 2 \ 2000
\end{align*}||

2. Identifier la mesure manquante
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3. Trouver l'aire de chacune des surfaces
||\begin{align*}
\color{blue}{A_\text{rectangles}} &= (5 \cdot 15) \cdot 2 + (30-15) \cdot (5 + 15 + 5) \\
 &= 150 + 375\\
&= \color{blue}{525 \ cm^2} \\\\
\color{green}{A_\text{rectangles}} &= (5 \cdot x) \cdot 2 \\
&= \color{green}{10x} \\\\
A_\text{rectangle de derrière} &= (5 + 15 + 5) \cdot x \\
&= 25x \\\\
\color{fuchsia}{A_\text{rectangles}} &= (30 \cdot x) \cdot 2 \\
&= \color{fuchsia}{60x} \\\\
\color{orange}{A_\text{triangles}} &= \displaystyle \left(\frac{15 \cdot x}{2}\right) \cdot 2 \\
&= \color{orange}{15x}\\\\
\color{red}{A_\text{rectangle}} &= 15 \cdot 19,5 \\
&= \color{red}{292,50 \ cm^2}
\end{align*}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align} \text{Aire totale} &=\text{Somme des aires de chacune des faces}\\
2 \ 200 &=\color{blue}{525} + \color{green}{10x} + 25x + \color{fuchsia}{60x} + \color{orange}{15x} + \color{red}{292,50}\end{align}||​
5.Résoudre l'équation​
||\begin{align} 2 \ 200 &= 110x + 817,50\\
12,57 &\approx ​x \end{align}||​
6. Interpréter la réponse selon le contexte
Ainsi, le gâteau devra avoir une hauteur d'environ |12,57 \ cm|.


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