Mathématique m1518

Trouver une mesure manquante selon le volume d'une autre classe de solide

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Puisqu'il est encore question du volume, les formules de volume des solides​ seront utiles. Étant donné la quantité de solides utilisés dans la construction des solides étudiés dans cette fiche, la démarche sera un peu plus complexe. Pour faciliter la compréhension des cas suivants, on retrouvera une présentation globale de la démarche à utiliser avant chaque exemple.

Selon une équation de degré 1

​​​​​1. Déduire la mesure du volume avec lequel il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer au volume de chaque solide une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5.Résoudre l'équation.

6.Interpréter la réponse selon le contexte.

​En suivant ces étapes, il est plus facile d'orienter sa démarche et ses calculs.

Une fois fermée, une boîte à lunch a l'allure suivante:
m1518i23.PNG 
En moyenne, l'espace disponible à l'intérieur d'une boîte à lunch est de |3,65 \ \text{dm}^3|. Ainsi, quelle devrait être la hauteur totale de la boîte à lunch pour respecter ce standard ?

1. Déduire la mesure du volume
||\text{volume total} = 3,65 \ \text{dm}^3||
2. Identifier la mesure manquante
​​​​​m1518i22.PNG
3. Trouver le volume de chacun des solides
||\begin{align*}
\color{blue}{V_\text{pyramide}} &= \frac{1,5 \cdot 1,2 \cdot x}{3} \\\\
&= \color{blue}{0,6x}\\\\
\color{red}{V_\text{prisme}} &= (1,5 \cdot 1,2 \cdot 1,3) \\
&= \color{red}{2,34}
\end{align*}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align*}
\text{Volume total​} &= \text{Somme des volumes de tous les solides}  \\
3,65 &= \color{blue}{0,6x} + \color{red}{2,34}
\end{align*}||
5.  Résoudre l'équation
||\begin{align*}
3,65  &= \color{blue}{0,6x} + \color{red}{2,34} \\
1,31 &= \color{blue}{0,6x} \\
2,18 &\approx x ​
\end{align*}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
La hauteur totale de la boîte à lunch est donc de :
||\begin{align} 1,3 + x &= 1,3 + 2,18\\
x &=3,48\ \text{dm}\end{align}||​

Selon une équation de degré 2

​​​​​1. Déduire la mesure du volume avec lequel il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer au volume de chaque solide une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5.Résoudre l'équation.

6.Interpréter la réponse selon le contexte.

En suivant ces étapes, il est plus facile d'orienter sa démarche et ses calculs.

​Afin de donner une forme satisfaisante aux différentes peluches à l'allure de robots, on doit les rembourrer de façon adéquate. Pour ce faire, on utilise un matériau synthétique qui se vend |2 \ $ / \text{dm}^3|. Pour que le prix final de vente de ce produit soit accessible au plus de gens possible, on veut limiter les coûts de rembourrage à |5,60 \ $|.
m1518i12.PNG 
Pour ce modèle, la tête est de forme cubique, le corps et les jambes sont des prismes alors que les bras sont des cylindres. Selon les informations fournies dans le plan de la peluche de forme robotique, quelle devrait être l'épaisseur des bras ?

1. Déduire la mesure du volume
||\begin{align*}
\text{volume total} &= 5,60 \div 2 \\
&= 2,80 \ \text{dm}^3\\
&= 2 \ 800 \ \text{cm}^3
\end{align*}||
2. Identifier la mesure manquante
​​​​m1518i13.PNG
3. Trouver le volume de chacun des solides
||\begin{align*}
\color{blue}{V_\text{cube}} &= 6^3 \\
&= \color{blue}{216}\\\\
\color{fuchsia}{V_\text{prismes}} &= (6 \cdot 2 \cdot 14) \cdot 2 \\
&= \color{fuchsia}{336}\\\\
\color{red}{V_\text{prisme}} &= \displaystyle \left(\frac{(6+12)\cdot 6}{2}\right) \cdot 15 \\
&= \color{red}{810}\\\\
\color{green}{V_\text{cylindres}} &= (\pi x^2 \cdot 18) \cdot 2\\
&\approx \color{green}{113,04 \cdot x^2}
\end{align*}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align*}
\text{Volume total​} &= \text{Somme des volumes de tous les solides}  \\
2\ 800 &= \color{blue}{216} + \color{fuchsia}{336} + \color{red}{810} + \color{green}{113,04 x^2} \\
\end{align*}||
5.  Résoudre l'équation
||\begin{align*}
2\ 800 &= 1 \ 362 + 113,04x^2 \\
12,72 &\approx x^2 \\
3,57 &\approx x ​
\end{align*}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
L'épaisseur des bras doit donc être de :
||\begin{align} \text{épaisseur du bras} &=2 \cdot \text{rayon}\\
&= 2 \cdot 3,57\\
&= 7,14\ \text{cm}​\end{align}||

Selon un solide tronqué

​​​​​1.Déduire la mesure du volume avec lequel il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer au volume de chaque solide une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5.Résoudre l'équation.

6.Interpréter la réponse selon le contexte.

​En suivant ces étapes, il est plus facile d'orienter sa démarche et ses calculs.

​Pour faire changement, une compagnie qui produit du jus d'orange veut changer la forme de son contenant. Par contre, elle tient à ce que la hauteur totale de la bouteille demeure la même, soit |23 \ \text{cm}|.
m1518i24.PNG 
En se fiant aux informations données dans le dessin, quelle devrait être la mesure de la hauteur de la partie supérieure du contenant si on sait que ce nouveau modèle a un volume de ​| 1 \ 872 \ cm^3| ?

1. Déduire la mesure du volume
Selon le problème, le volume total du nouveau contenant est |1 \ 872 \ cm^3|.

2. Identifier la mesure manquante
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3. Trouver la mesure du volume de chacun des solides
||\begin{align*}
\color{blue}{V_\text{prisme}} &=6 \cdot 6 \cdot (15-x) \\
&= \color{blue}{540 - 36 x}\\\\
\color{green}{V_\text{prisme}} &= 12 \cdot 12 \cdot 6 \\
&= \color{green}{864}\\\\
\color{red}{V_\text{pyramide tronqué}} &= \color{fuchsia}{V_\text{pyramide}} - \color{orange}{V_\text{pyramide}} \\
&= \color{fuchsia}{\frac{12 \cdot 12 \cdot 15}{3}} -\color{orange}{\left(\frac{6 \cdot 6 \cdot (15-x)}{3}\right)} \\
&= \color{fuchsia}{720} - \color{orange}{(180 - 12x)} \\
&= \color{red}{540 + 12x} 
\end{align*}||
m1518i16.PNG 

4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align*}
\text{Volume total​} &= \text{Somme des volumes de tous les solides}  \\
1\ 872 &= \color{blue}{540-36x} + \color{green}{864} + \color{red}{540 + 12x} \\
\end{align*}||
5. Résoudre l'équation
||\begin{align*}
1\ 872 &= 1 \ 944 - 24x \\
-72 &= -24x \\
3 &= x ​
\end{align*}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte​
La hauteur de la partie supérieure du contenant est donc de :
||\begin{align} 15-x &=15-3\\
&=12\ \text{cm}\end{align}||


Selon un solide décomposable non convexe

​​​1. Déduire la mesure du volume avec lequel il faut travailler.

2. Identifier la mesure manquante avec une variable.

3. Associer au volume de chaque solide une valeur numérique ou une expression algébrique.

4. Créer une équation en fonction du contexte.

5.Résoudre l'équation.

6.Interpréter la réponse selon le contexte.

En suivant ces étapes, il est plus facile d'orienter sa démarche et ses​​​ calculs.

​Avec Noël qui approche, un nouveau produit sort sur le marché. En résumé, il s'agit d'une "boule neigeuse en verre" de forme cubique à l'intérieur de laquelle on a enlevé une partie de forme cylindrique afin d'y insérer la photo d'un être cher.
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Pour assurer le mouvement des flocons de neige artificiels qui sont dans la section fermée du cube, cette dernière est remplie d'un liquide à |90\%|, ce qui représente |1,010 \ 7 \ \text{L}| de liquide. À la lumière de ces informations, détermine le diamètre de la portion cylindrique de ce produit. 

1. Déduire la mesure du volume
||\begin{align*}
\frac{90}{100} &= \frac{1,010 \ 7 \ \text{L}} {? \ \text{L}}\\
\Rightarrow ? &= 1,123 \ \text{L}
\\ &=1,123\ \text{dm}^3
\\ &= 1 \ 123 \ \text{cm}^3 
\end{align*}||
2. Identifier la mesure manquante
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3. Trouver la mesure de chacun des solides
||\begin{align*}
V_\text{cube} &= 12^3 \\
&= 1 \ 728 \ cm^3 \\ 
V_\text{cylindre} &= \pi (2x\div 2)^2 \cdot 12 \\
&\approx 37,68x^2 
\end{align*}||
4. Créer une équation en fonction du contexte
||\begin{align*}
\color{blue}{V_\text{total}} &= V_\text{cube} - V_\text{cylindre} \\
\color{blue}{1 \ 123} &= 1 \ 728 - 37,68x^2
\end{align*}||
5. Résoudre l'équation
||\begin{align*}
\color{blue}{1 \ 123} &= 1 \ 728 - 37,68x^2 \\
 16,06 &\approx x^2 \\
4,01 &\approx x
\end{align*}||
6. Interpréter la réponse selon le contexte
Ainsi, le diamètre de la section cylindrique de ce produit est de :
||\begin{align} \text{diamètre} &= 2x\\
&= 2 \cdot 4,01 \\
&=8,02 \ \text{cm} \end{align}||

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Les exercices
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