Mathématique m1523

Aide-mémoire - Cinquième secondaire - CST

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Voici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en cinquième secondaire dans la séquence CST. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. 

​Algèbre​ ​

Fonction de degré 1 (forme fonctionnelle et générale)​

​Forme fonctionnelle
|y = ax + b| où | a = \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}|

Forme générale
|0 = Ax + By + C| où |A, B, C \in \mathbb{Z}|.

​​​EXEMPLE

Avec les informations qui sont fournies dans le tableau ci-dessous, détermine l'équation de la droite sous sa forme générale.

m1510i01.PNG
​ ​
​CALCULSEXPLICATIONS

​|a = \frac{2 - 4,4}{-0,5 - 0,5} = 2,4|

​Trouver​ la pente​ selon |\frac{\Delta y}{\Delta x}​|

​|f(x) = 2,4 x + b|
|\Rightarrow 2 = 2,4 \cdot (-0,5) + b|
|\Rightarrow b = 3,2|

​Trouver la valeur initiale (|b|) en substituant par un des points du graphique.

​|y = 2,4x + 3,2|
|\Rightarrow y = \frac{24}{10}x + \frac{32}{10}|
|\Rightarrow y = \frac{12}{5}x + \frac{16}{5}|
​Transformer la valeur des paramètres |a| et |b| de la forme fonctionnelle sous la forme fractionnaire simplifiée.
​|y = \frac{12}{5}x + \frac{16}{5}|
|\Rightarrow \frac{5y}{5} = \frac{12x}{5} + \frac{16}{5}|
​Trouver un dénominateur commun pour tous les termes de l'équation.
​|\frac{5y}{5} = \frac{12x}{5} + \frac{16}{5}|
|\Rightarrow 5y = 12x + 16|
|\Rightarrow 0 = 12x - 5y + 16|
​Rendre l'équation égale à 0.

L'équation de la droite sous sa forme fonctionnelle est ​​|0 = 12x - 5y + 16|.

​​

​​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulterla bibliothèque virtuelle.​


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Résoudre un système d'équations​ (comparaison)

​​

Pour résoudre un système d'équations par comparaison, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identifier les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations selon la mise en situation
3) isoler la même variable ​pour chacune des équations
4) comparer les deux équations pour en former une nouvelle
5) résoudre cette nouvelle équation
6) remplacer la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

|​x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus à l'aide de variables.

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations.

​|y = \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x}|
|y = \color{red}{2,394 - \frac{3}{5}x}|

​Transformer chacune des équations sous la forme fonctionnelle.

​| \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x} = \color{red}{2,394 -\frac{3}{5}x}|

​Comparer les deux équations.

​​| \color{blue}{2,51 - \frac{4}{6}x} = \color{red}{2,394 - \frac{3}{5}x}​​|​
|\Rightarrow 2,51 - 2,394 = -\frac{3}{5}x + \frac{4}{6}x|
|\Rightarrow 0,116 = \frac{1}{15}x|
|\Rightarrow 1,74 = x|

​Trouver la valeur de |x| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4\cdot (1,74) + 6y = 15,06|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Substituer la valeur de |x| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |y|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.


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​ ​

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Résoudre un système d'équations (substitution)​

​​

Pour résoudre une système d'équations par substitution, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identfier​ les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations selon la mise en situation
3) isoler une variable dans une des deux équations
4) substituer cette même variable dans l'autre équation par l'expression algébrique qui lui est associée
5) résoudre ​cette nouvelle équation
6) remplacer​ la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

|​x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus à l'aide de variables.

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations.

|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|​
|\Rightarrow \color{blue}{y = 2,51 - \frac{4}{6}x}|

​Transformer une des deux équations sous la forme fonctionnelle.

|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|
|\Rightarrow \color{red}{3x + 5} \cdot \color{blue}{(2,51 - \frac{4}{6}x )} \color{red}{ = 11,97}|

​Substituer le |y| dans l'autre équation.

​|\color{red}{3x + 5} \cdot \color{blue}{(2,51 - \frac{4}{6}x)} \color{red}{= 11,97}|
|\Rightarrow 3x + 12,55 - \frac{20}{6}x = 11,97|
|\Rightarrow x = 1,74|

​Trouver la valeur de |x| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4\cdot (1,74) + 6y = 15,06|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Substituer la valeur de |x| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |y|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.


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Résoudre un système d'équations (réduction)​

Pour résoutre un système d'équation par réduction, on peut se fier aux étapes suivantes:
1) identifier les variables reliées aux inconnus
2) créer les équations​ selon la mise en situation
3) trouver des équations équivalentes pour obtenir le même coefficient d'une même variable
4) soustraire les deux équations 
5) isoler la variable restante pour trouver sa valeur
6) remplacer​ la valeur de la variable dans une des équations de départ pour trouver la valeur de l'autre variable

​​ ​EXEMPLE

​​​Au dépanneur du coin, un groupe de travailleurs achètent 4 cafés et 6 muffins pour 15,06$. Le lendemain, ce même groupe se procure 3 cafés et 5 muffins pour une somme de 11,97$. Si, le jour d'après, ces travailleurs veulent se procurer 6 cafés et 4 muffins, quelle somme devra être déboursée?

​CALCULS​EXPLICATIONS

​|x| = coût pour un café ($)
|y| = coût pour un muffin ($)

​Identifier les inconnus à l'aide de variables.

​|\color{blue}{4x + 6y = 15,06}|
|\color{red}{3x + 5y = 11,97}|

​Créer un système d'équations.

|3 \cdot \color{blue}{(4x + 6y)} = 3 \cdot \color{blue}{15,06}|​
|\Rightarrow \color{blue}{12x + 18y = 45,18}|
|4 \cdot \color{red}{(3x + 5y)} = 4 \cdot \color{red}{11,97}​|
|\Rightarrow \color{red}{12x + 20y = 47,88}|

Trouver des équations équivalentes afin d'obtenir le même coefficient en |x| dans chacune des équations.

|\color{blue}{12x} - \color{red}{12x} = 0x|
|\color{blue}{18y} - \color{red}{20y} = -2y|
|\color{blue}{45,18} - \color{red}{47,88}​ = -2,70|

​Effectuer la réduction (soustraction) de chacun des termes semblables.

​|0x -2y = -2,70|
|\Rightarrow -2y = -2,70|

​Équation résultant de la réduction.

|-2y = -2,70|
|\Rightarrow y = 1,35|

​Trouver la valeur de |y| en l'isolant avec les opérations inverses.

​|4x + 6y = 15,06|
|\Rightarrow 4x + 6 \cdot (1,35) = 15,06|
|\Rightarrow x = 1,74|

​Substituer la valeur de |y| dans une des deux équations de départ pour trouver la valeur de |x|. 

​|6 \ \text{cafés} + 4\ \text{muffins} = ?|
|\Rightarrow 6x + 4y = ?|
|\Rightarrow 6 \cdot 1,74 + 4 \cdot 1,35 = ?|
|\Rightarrow 15,84 = ?|

​Calculer le montant recherché selon 6 cafés et 4 muffins.

​Il en coûtera |15,84 $|.

​Écrire la réponse finale.


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Optimisation​

Généralement, on pourra résoudre un problème d'optimisation en suivant les étapes suivantes:
1) identifier les variables et les inconnus
2) créer le système d'inéquations
3) tracer le polygone de contrainte
4) déterminer la coordonnée de chacun des sommets de ce polygone
5) déterminer l'équation de la fonction à optimiser
6) déterminer la coordonnée du point qui optimise la fonction


​​ ​​EXEMPLE
​​Afin de maximiser les profits de son entreprise, un directeur général tient à savoir combien de vestons et de chemises il doit vendre à chaque semaine. Dû à certaines contraintes de production, il sait que le nombre maximal de chemises correspond au retranchement du quadruple de vestons à 21. À cause du transport, le nombre de vestons doit être plus grand ou égal à la différence entre 8 et le triple du nombre de chemises. Finalement, le reste entre le triple du nombre de vestons et le double du nombre de chemises doit être d'au moins deux

En sachant que chaque veston vendu rapporte un profit de 32$ et que celui associé à la vente d'une chemise est de 17$, quel est le profit maximal hebdomadaire qu'il peut espérer obtenir? 
​CALC​ULS​​EXPLICATIONS
​|x =| nombre de vestons
|y =| nombre de chemises
​Identifier les variables. L'association du |x| et du |y| se fait généralement de façon aléatoire.
​|Z = 32x + 17y|​Trouver la fonction à optimiser.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{x \ge 8 - 3y}|
|\color{red}{3x - 2x \ge 2}|
|x \ge 0| et |y \ge 0|
​Identifier les inéquations sans oublier les contraintes de non-négativité.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{y \ge -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}}|
|\color{red}{y \le \frac{3}{2}x - 1}|
​Isoler le |y| dans chacune des inéquations afin de les écrire sous la forme fonctionnelle.
m1522i03.PNG​Tracer les droites-frontières de chacune des inéquations dans un plan cartésien.
m1522i02.PNG​Trouver le polygone de contraintes qui respectent toutes les inéquations.
m1522i01.PNG​Trouver les coordonnées de chacun des sommets en utilisant la méthode de comparaison, de substitution ou de réduction. 
​Selon le point  |A (4,5)|, 
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (4) + 17 \cdot (5) = 213|
Selon le point |B (5,1)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (5) + 17 \cdot (1) = 177|
Selon le point |C (2,2)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (2) + 17 \cdot (2) = 98|
​Calculer le profit pour chacun des points en utilisant la fonction à optimiser
​​​ ​Pour maximiser ses profits, le directeur devrait vendre 4 vestons et 5 chemises pour un profit maximal de 213 $. 

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​​ Probabilités​

Les types de d'événements

​TYPES D'ÉVÉNEMENTS​DÉFINITION​EXEMPLE
Mutuellement exclusifs​Lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. ​Lancer un dé à six faces et obtenir un résultat qui est à la fois un multiple de 3 et de 4. 
​Non mutuellement exclusifs​Lorsqu'ils peuvent se produire en même temps.​Piger une carte au hasard dans un jeu qui en contient 52 et en obtenir une qui est à la fois un as et de couleur rouge.
Dépendants​Lorsque la réalisation de l'un affecte la réalisation de l'autre.​Piger successivement et sans remise deux cartes dans un paquet qui en contient 52 au départ. 
Indépendants​Lorsque la réalisation de l'un n'influe pas sur la réalisation de l'autre.​Piger une carte dans un paquet qui en contient 52 et lancer un dé à six faces.

​​​​Par contre, il ne faut pas oublier les types d'événements qui ont été vus dans les années précédentes (certaines, probables, impossibles, élémentaires, complémentaires, ​​compatibles et incompatibles). 

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Les chances pour et les chances contre

​​

Soit |a = | les chances pour et |b =| les chances contre, alors:

- le rapport des chances pour |\displaystyle = a : b \Rightarrow \frac {a}{a+b}|

- le rapport des chances contre |\displaystyle = b : a \Rightarrow \frac {b}{b+a}|

Ainsi, on obtient le gain net selon la proportion suivante:

|\displaystyle \frac{\text{Montant de la mise}}{\text{Gain net}} = \frac{\text{nb de chances sur lequelles on mise}}{\text{nb total de chances}}|​


​ ​EXEMPLE DE CHANCES POUR
​À l'époque de l'hippodrome de Québec, on pouvait parier sur les victoires des chevaux de course. Ainsi, chaque cheval possédait une cote qui quantifiait ses chances de gagner. Pour la dernière course, un amateur a parié 20$ pour la victoire dont la cote était 1:14. Ainsi, quel était le gain potentiel de son pari?
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\displaystyle \frac{20}{\text{Gain net}} = \frac{\color{blue}{1}}{\color{blue}{1}+\color{red}{14}}|

|\displaystyle \Rightarrow \frac{20}{\text{Gain net}} = \frac{\color{blue}{1}}{15}|
​Appliquer la proportion.
​|\displaystyle \frac{20}{\text{Gain net}} = \frac{\color{blue}{1}}{15}|

|\displaystyle \Rightarrow \text{Gain net} = \frac{20 \cdot 15}{\color{blue}{1}}|

|\Rightarrow \text{Gain net} = 300|
​Résoudre avec le produit croisé.
​​Si son cheval terminait en premère place de la course, cet amateur repartirait avec la somme de 300$.


​ ​EXEMPLE DE CHANCES CONTRE
​Pour certains combats de boxe, on peut parier sur la défaite d'un boxeur. Ainsi, chaque pugiliste possède une cote qui quantifie ses chances de gagner. Pour le prochain combat, le champion a une cote de 44 : 1 pour sa victoire. Ainsi, quel serait le gain net d'un amateur qui parierait 10 $ contre une victoire du champion?
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\text{Rapport de chances pour} =
  \color{blue}{44} : \color{red}{1}|

|\Rightarrow \text{Rapport de chances contre} = \color{red}{1} : \color{blue}{44}|
​Identifier le rapport des chances contre.
​|\displaystyle \frac{10}{\text{Gain net}} = \frac{\color{red}{1}}{\color{red}{1}+\color{blue}{44}}|

|\displaystyle \Rightarrow \frac{10}{\text{Gain net}} = \frac{\color{red}{1}}{45}|
​Appliquer la proportion.
​|\displaystyle \frac{10}{\text{Gain net}} = \frac{\color{red}{1}}{45}|

|\displaystyle \Rightarrow \text{Gain net} = \frac{10 \cdot 45}{\color{red}{1}}|

|\Rightarrow \text{Gain net} = 450|
​Résoudre avec le produit croisé.
​​​Si le champion n'arrive pas à conserver sa ceinture, l'amateur de boxe gagnera 450 $. 



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L'espérance mathématique (situations équitables)

|\mathbb{E} = (p_1 \cdot x_1 + p_2 \cdot x_2 + ... + p_i \cdot x_i) - M|

avec |p_i = | probabilité de réalisation de l'événement |i|, |x_i =| le montant associé à l'événement |i| et |M =| montant de la mise initiale.

​​ ​EXEMPLE
​ ​Dans le but de financer l'équipe de ski acrobatique de l'école, des organisateurs mettent sur un pied une activité de financement pour laquelle il est possible de gagner les prix de participations suivants:
- un forfait de ski familial d'une fin de semaine (valeur de 800 $)
- deux billets de saison de ski alpin (valeur de 500 $ chacun)
- quatre paires de ski (valeur de 300 $ chacune)
- huit billets de remontée valide pour une journée (valeur de 45 $ chacun)

En sachant qu'ils ont un total de 336 billets à vendre, quel devrait être le prix de vente d'un billet de participation au tirage?
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\mathbb{E} = (\color{blue}{p_1 \cdot x_1} + \color{red}{p_2 \cdot x_2} + \color{green}{p_3 \cdot x_3} + \color{black}{p_4 \cdot x_4}) - M|

|\displaystyle \Rightarrow \mathbb{E} = (\color{blue}{\frac{1}{336}\cdot 800 } + \color{red}{\frac{2}{336} \cdot 500} + \color{green}{\frac{4}{336} \cdot 300} + \color{black}{ \frac{8}{336} \cdot 45}) - M|​
​Appliquer la formule de l'espérance mathématique.
|​\displaystyle \mathbb{E} = (\color{blue}{\frac{1}{336}\cdot 800 } + \color{red}{\frac{2}{336} \cdot 500} + \color{green}{\frac{4}{336} \cdot 300} + \color{black}{ \frac{8}{336} \cdot 45}) - M|​

|\displaystyle \Rightarrow 0​ = (\color{blue}{\frac{1}{336}\cdot 800 } + \color{red}{\frac{2}{336} \cdot 500} + \color{green}{\frac{4}{336} \cdot 300} + \color{black}{ \frac{8}{336} \cdot 45}) - M|
​Remplacer la valeur de |\mathbb{E}| par 0 puisque le jeu est équitable.
​|\displaystyle 0​ = (\color{blue}{\frac{1}{336}\cdot 800 } + \color{red}{\frac{2}{336} \cdot 500} + \color{green}{\frac{4}{336} \cdot 300} + \color{black}{ \frac{8}{336} \cdot 45}) - M|

|\displaystyle \Rightarrow 0​ = (\color{blue}{\frac{800}{336}} + \color{red}{\frac{1000}{336}} + \color{green}{\frac{1200}{336}} + \color{black}{ \frac{360}{336}}) - M|

|\displaystyle \Rightarrow 0 = \frac{3360}{336} - M|

|\displaystyle \Rightarrow M = \frac{3360}{336}|

|\Rightarrow M = 10|$
​Isoler |M| pour trouver la valeur de la mise initiale. ​
​ ​Pour que le jeu soit équitable, les billets doivent être vendus à un prix de 10 $. 

​​​Si |\mathbb{E} = 0|, alors le jeu est équitable.
Si |\mathbb{E} < 0|, alors le jeu est défavorable au joueur.
Si |\mathbb{E} >0|, alors le jeu est favorable au joueur. 


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Probabilités conditionnelles

|P(A \mid B) = \displaystyle \frac{P (A \cap B)}{P (B)}| avec |P(A) >0|

​​ ​EXEMPLE
​Au cours du mois précédent, les auditeurs d'une chaîne de radio québécoise avaient la chance de gagner un voyage dans le domaine féérique de Walt Disney. Avant de faire le tirage au hasard du gagnant, le radiodiffuseur a dressé le protrait global des participants:
m1522i16.PNG
Ainsi, quelle est la probabilité que le gagnant soit père d'une famille de trois enfants en sachant qu'il s'est fait donner le billet de tirage en cadeau?
​CALCULS​EXPLIC​ATIONS
​|\displaystyle P(\color{red}{B}) = \frac{\color{red}{15 + 30 + 2}}{23 + 12 + ... + 67 + 27  } = \frac{\color{red}{47}}{240}|Identifier les cases qui font référence à ceux qui l'ont reçu en cadeau.
m1522i17.PNG
​|\displaystyle P(\color{blue}{A \cap B}) = \frac{\color{blue}{30}}{240}|Parmi les gens identifiés plus haut, identifier ceux qui ont une famille de trois enfants.
m1522i18.PNG
​​|\displaystyle P(\color{blue}{A} \mid \color{red}{B}) = \frac {P( \color{blue}{A \cap B})}{P(\color{red}{B})}|

|\displaystyle \Rightarrow P(\color{blue}{A} \mid \color{red}{B}) = \frac{\frac{\color{blue}{30}}{240}}{\frac{\color{red}{47}}{240}}|

|\displaystyle \Rightarrow P(\color{blue}{A} \mid \color{red}{B}) = \frac{\color{blue}{30}}{\color{red}{47}}|
​Appliquer la formule
​​​Ainsi, la probabilité que le gagnant soit un père d'une famille de trois enfants sachant qu'il s'est fait donner le billet en cadeau est |\displaystyle \frac{30}{47}|.


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Géométrie 

Figures équivalentes

​Deux figures sont équivalentes lorsqu'elles ont la même aire.

​ ​
​​ ​​EXEMPLE
Afin que le coût d'asphaltage de son nouveau stationnement résidentiel soit le même que celui de son ancien, Julien veut que ses deux entrées soient équivalentes. 
​​m1521i02.PNG
Ainsi, quelle devrait être la mesure de la largeur de son nouveau stationnement?
​CAL​CULS​EXPLICATIONS
​|\color{red}{A_\text{ancien}} = \color{blue}{A_\text{nouveau}}|​Les deux figures sont équivalentes.
​|\color{red}{A_\text{ancien}} = \color{blue}{A_\text{nouveau}}|
|\Rightarrow \color{red}{b \cdot h} = \color{blue}{b \cdot h}|
|\Rightarrow \color{red}{8 \cdot 12} = \color{blue}{b \cdot 10}|
|\Rightarrow \color{red}{96} = \color{blue}{b \cdot 10}|
|\Rightarrow 9,6 \ \text{m} = \color{blue}{b}|
​Créer une équation avec les formules d'aire et résoudre.
​ ​La largeur de son nouveau stationnement doit être de 9,6 m.


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Solides équivalents​

​Deux solides sont équivalents lorsqu'ils ont le même volume.


​​ ​EXEMPLE
​Une compagnie qui oeuvre dans les accessoires de plein air veut offrir​ deux modèles de tente différents. Afin de conserver les mêmes coûts​​ de production, ils tiennent à ce que ces deux modèles soient équivalents.
m1521i05.PNG 
Quelle devrait être la mesure de la hauteur du second modèle afin de respecter la condition de similitude?
​CAL​CULS​EXPLICATIONS
​|\color{blue}{V_\text{prisme}} = \color{red}{V_\text{demi-boule}}|​Les deux solides sont équivalents.
​|\Rightarrow \color{blue}{A_b \cdot h} = \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3} \div 2}|
|\Rightarrow \color{blue}{\frac{1,8 \cdot 1,7}{2} \cdot 2,1} = \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{6}}|
|\Rightarrow \color{blue}{3,21} \approx \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{6}}|
|\Rightarrow 1,53 \approx \color{red}{r^3}|
|\Rightarrow 1,15 \approx r|
​Créer une équation avec les formules de volume respectives et résoudre.
​ ​Le rayon de la tente en forme de demi-boule doit être d'environ 1,15 m.
​ ​

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Mathématiques financières

Propriétés de la notation exponentielle

​​​Pour tout |\{a,b\} \in \mathbb{R}| et |\{m,n\} \in \mathbb{N}|, on en déduit les propriétés suivantes: 
||\begin{align} 
\small \text{Si} \ a^m = a^n, &\small \text{alors} \ m  =  n && \small\text{puissance d'une même base}\\
a^m \cdot a^n &= a^{m+n}​​ \\
\frac{a^m}{a^n} &= a^{m-n} && \small \text{où} a \neq 0\\
(ab)^m &= a^mb^m\\
\end{align}||

​​​EXEMPLE

Résous l'équation suivante:
||6 \ 300 (1,2)^{3x} = 175 (7,2)^2||

CALCULSEXPLICATIONS
​||\begin{align}
6 \ 300 (1,2)^{3x} &= 175 (7,2)^2 \\
&= 175 (6 \cdot 1,2)^2 \end{align}||
||\small \text{factorisation pour trouver} \\
 \small \text{des bases équivalentes}||
​||\begin{align}
\phantom{6 \ 300 (1,2)^{3x}}&= 175 (6 \cdot 1,2)^2 \\
&= 175 \cdot (6)^2 \cdot (1,2)^2 \end{align}||
||\small \text{puissance d'un produit}||
||\begin{align}
\phantom{6 \ 300 (1,2)^{3x}} &= 175 \cdot (6)^2 \cdot (1,2)^2 \\
&=6 \ 300 (1,2)^2
\end{align}||
​||\small \text{calcul et multiplication} \\
 \small \text{de la puissance}||
||\begin{align}
\frac{6 \ 300 (1,2)^{3x}}{\color{red}{6 \ 300}} &=\frac{6 \ 300 (1,2)^2}{\color{red}{6 \ 300}}
\end{align}||
​||\small \text{opérations inverses pour} \\
\small \text{isoler la notation exponentielle}||
​||\begin{align}
&1,2^{3x} &&=&& 1,2^2 \\
\Rightarrow & \frac{3x}{\color{red}{3}} &&=&& \frac{2}{\color{red}{3}} \\
& x &&= && \frac{2}{3} \end{align}||
​||\small \text{comparaison des exposants} \\
\small \text{avec des bases identiques}||

Ainsi, |x=\frac{2}{3}|.

​​

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Définitions et lois de la notation logarithmique

​Pour les propriétés suivantes, il est important de considérer que |\{m\} \in \mathbb{R}_+ \ \ \text{et} \ \ \{c,n\} \in \mathbb{R}|​
||\begin{align}
log_c \ 1 &= 0 \\\\
log_c \ c &= 1 \\\\
log_c \ m^n &= n \ log_c \ m\\\\
log_c \ (m \cdot n) &= log_c \ m + log_c \ n\\\\
log_c \left(\frac{m}{n}\right) &= log_c \ m - log_c \ n \\\\
log_c \ m &= \frac{log_a \ m}{log_a \ c} \end{align}||

Résolution d'une équation exponentielle
Quelle est la valeur de |x| dans l'équation:
|| 4500 = 1500 (1,08)^{\frac{x}{2}}||
||\begin{align}
\frac{4500}{\color{red}{1500}} &= \frac{1500}{\color{red}{1500}} (1,08)^{\frac{x}{2}} && \small\text{opération inverse} \\\\
3 &= 1,08^{\frac{x}{2}} \\\\
log_{1,08} \ 3 &= \frac{x}{2} && \small \text{déf. du log} \\\\
\frac{log_{10} \ 3}{log_{10} \ 1,08} &= \frac{x}{2} && \small\text{changement de base} \\\\
14,275 \cdot \color{red}{2} &\approx \frac{x}{2} \cdot \color{red}{2} && \small\text{opération inverse} \\\\
28,55 &\approx x \end{align}||

Résolution d'une équation logarithmique
Quelle est la valeur de |x| dans l'équaiton
||log_5 \ x^3 + log_5 \ \left(\frac{x}{32}\right) = log_5 \ 732 - 1||
||\begin{align}
log_5 \ x^3 + log_5 \ \left(\frac{x}{32}\right) &= log_5 \ 732 - 1 \\\\
3 \ log_5 \ x + log_5 \ \left(\frac{x}{32}\right) &= log_5 \ 732 - 1 && \small\text{puissance d'un log}\\\\
 3 \ log_5 \ + (log_5 \ x - log_5 \ 32) &= log_5 \ 732 - 1 && \small\text{log d'un quotient} \\\\
3 \ log_5 \ x + log _5 \ x - 2,153 &\approx 4,098 - 1 && \small\text{loi du changement de base} \\\\
4 \ log_ 5 \ x - 2,153 &\approx 4,098 - 1 && \small\text{termes semblables} \\\\
4 \ log_5 \ x - 2,153 \color{red}{+2,153} &\approx 4,098 - 1 \color{red}{+ 2,153} && \small\text{opération inverse} \\\\
\frac{4 \ log_5 \ x}{\color{red}{4}} &\approx \frac{5,251}{\color{red}{4}} && \small\text{opération inverse} \\\\
log_5 \ x \approx 1,313 &\Rightarrow 5^{1,313} = x && \small\text{déf. du log} \\\\
8,275 &\approx x \end{align}||

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Capitalisation et modélisation d'une situation financière

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Calculer l'actualisation

||\begin{align} C_0 &= C_n \left(1+\frac{i}{k}\right)^{-x} \\\\
&=\frac{C_n}{\left(1+\frac{i}{k}\right)^x} \\\\
\small \text{avec} & \small \ C_0: \ \text{valeur actuelle} \\
& \small \ C_n : \ \text{valeur future}\\
& \small \ i : \ \text{taux d'intérêt annuel en notation décimale} \\
& \small \ k: \ \text{facteur en lien avec la période d'intérêt} \\
& \small \ x : \ \text{nb de périodes d'intérêt} \end{align}||


Pour s'assurer d'une retraite des plus agréable, Christian doit obtenir une valeur future de |200 \ 000| $ sur un placement qu'il fait aujourd'hui. Ainsi, quel devrait être la valeur actuelle de son placement s'il sait qu'il sera soumis à un taux d'intérêt annuel de |2,59|% composé mensuellement sur une période de |35| ans? 

1) Identifier les différentes données
||\begin{align}
\color{red}{C_n} &= \color{red}{200 \ 000} \\
\color{blue}{i} &= \color{blue}{2,59 \ \%} \\
\color{orange}{k} &= \color{orange}{12} \\
\color{fuchsia}{x} &= \color{fuchsia}{35 \cdot 12 = 420}\end{align}||
2) Appliquer la formule
||\begin{align} C_0 &= \frac{\color{red}{C_n}}{\left(1+\frac{\color{blue}{i}}{\color{orange}{k}}\right)^\color{fuchsia}{x}} \\\\
&= \frac{\color{red}{200 \ 000}}{\left(1+\frac{\color{blue}{0,0259}}{\color{orange}{12}}\right)^\color{fuchsia}{420}} \\\\&\approx 80 \ 866,06 \end{align}||
3) Donner la réponse dans une phrase
La valeur actuelle du placement de Christian est d'environ |80 \ 866,06\ \$|. 


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Mathématiques discrètes: Théorie du choix social 

Règle de la majorité ​

​​

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui obtient la majorité des votes, soit |50 \% + 1 | du nombre total de votes représentant une majorité absolue.

​​​EXEMPLE
​Aux dernières élections fédérales canadiennes, les différents partis avaient pour but de faire élire le plus de députés possibles parmi les 338 circonscriptions du pays. Après la compilation des résultats, voici la répartition du pouvoir:
m1523i07.PNG
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1523i34.PNG​Déterminer le pourcentage de chacun des partis en utilisant la poportion:
|\displaystyle \frac{\text{nb députés élus}}{\text{nb total de députés}} = \frac{\% \text{du Parti}}{100 \%}|
m1523i35.PNG​​​​Identifier le groupe ou l'individu qui a obtenu plus de |50 \ \%| des votes.
​​Selon la règle de la majorité, c'est le Parti libéral du Canada qui a gagné les élections.

​​

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Règle de la pluralité

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui obtient le plus grand nombre de votes, soit la majorité absolue.

​​​EXEMPLE

​​Pour élire le nouveau capitaine de l'équipe de hockey des Canadiens de Montréal, le directeur général a demandé l'opinion de tous les joueurs qui ont un contrat avec l'équipe. Ainsi, chacun d'entre eux devait inscrire le nom du joueur qu'il désirerait avoir comme leader de l'équipe. Voici les résultats qui ont été compilés par la direction:

m1523i05.PNG

​En s'appuyant sur la méthode de la pluralité, qui sera nommé capitaine de cette équipe?

​CALCULS​EXPLICATIONS
m1523i04.PNG​Placer les résultats en ordre décroissant.
​Le capitaine de l'équipe sera Max Pacioretty puisque c'est lui qui a reçu le plus de votes. 

​​

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Méthode de Borda 

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui obtient le plus de points en accordant |n-1| points pour le |1^\text{er}| choix de chaque électeur, |n-2| points pour le |2^e| choix et ainsi de suite pour les |n| candidats.

​​​EXEMPLE
​​Pour être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey, les joueurs en nomination sont classés par ordre de préférence par les membres du comité du Temple. Afin d'alléger la présentation des résultats, les votes présentant des préférences identiques ont été regroupés. Voici la liste de quatre joueurs ainsi que leur classement de préférence  en 2014:
m1523i10.PNG
En utilisant la méthode de Borda, quel serait le prochain joueur à être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey ?
​CALCULS​EXPLICATIONS
|1^\text{er}\ \text{ choix}= n-p = 4-1 = 3 \ \text{ points}|
|2^\text{e}\ \text{ choix}= n-p = 4-2 = 2 \ \text{ points}|
|3^\text{e}\ \text{ choix}= n-p = 4-3 = 1 \ \text{ point}|
|4^\text{e}\ \text{ choix}= n-p = 4-4 = 0 \ \text{ point}|
​Déterminer le nombre de points accordés à chacun des choix selon le règle 
|\text{Nb de points} = n - p| avec |n = | nombre de choix possibles et |p =| position sur la liste de préférence. 
​Dominik
|\color{blue}{7} \cdot (4-1) + \color{red}{6} \cdot (4-3) + \color{green}{4} \cdot (4-4) = 27 \ \text{points}|
​Peter
|\color{blue}{7} \cdot (4-2) + \color{red}{6} \cdot (4-2) + \color{green}{4} \cdot (4-1) = 38 \ \text{points}|
​Mike
|\color{blue}{7} \cdot (4-3) + \color{red}{6} \cdot (4-1) + \color{green}{4} \cdot (4-3) = 29 \ \text{points}|
​Rob
|\color{blue}{7} \cdot (4-4) + \color{red}{6} \cdot (4-4) + \color{green}{4} \cdot (4-2) = 8 \ \text{points}|​
​Calculer le nombre de points obtenus par chacun.
​​​Puisque c'est Peter qui a obtenu le plus de points, c'est le seul joueur qui pourra faire son entrée au Temple de la Renommée du Hockey en 2014.

​​

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Principe de Condorcet 

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui remportent tous ses duels en face-à-face selon les préférences des électeurs.
Si aucun individu ou groupe ne remporte tous ses duels, il est préférable d'utiliser une autre procédure.

​​​EXEMPLE
​Pour être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey, les joueurs en nomination sont classés par ordre de préférence par les membres du comité du Temple. Afin d'alléger la présentation des résultats, les votes présentant des préférences identiques ont été regroupés. Voici la liste de quatre joueurs ainsi que leur classement de préférence  en 2014:
m1523i10.PNG
​En utilisant le principe de Condorcet, quel serait le prochain joueur à être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey ?
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\tiny \bullet| Dominik (7) est battu par Peter(6 + 4)
​Compiler les duels de Dominik avec chacun des joueurs. mais puisqu'il perd son premier duel, on peut passer à un autre candidat.
​​|\tiny \bullet| Peter (6 + 4) bat Dominik (7)​
|\tiny \bullet| Peter (7 + 4) bat Mike (6)
|\tiny \bullet| Peter (7 + 6 + 4) bat Rob (0)
​Compiler les duels de Peter avec chacun des joueurs.
​Puisque Peter a gagné tous ses duels, c'est lui qui sera intronisé au Temple de la Renommée du Hockey.

​​

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Vote par assentiment 

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui obtient le plus grand nombre de votes alors que les électeurs peuvent voter une seule fois, mais pour autant de candidats qu'ils veulent.

​​​EXEMPLE
​Afin d'éviter le vote populaire, le vote par assentiment est utilisé pour élire le prochain président de classe. Suite au dépouillement des résultats, on obtient le tableau suivant:
m1523i11.PNG
En compilant les résultats de façon adéquate, qui serait le gagnant de cette élection en suivant le principe de vote par assentiment ?
​CALCULS​EXPLICATIONS
5 + 8 + 10= 23 votes​Compiler les votes de Gitane
​5 + 7 = 12 votes​Compiler les votes de Marie-Claude
8 + 3 + 10 = 21 votes​Compiler les votes de Simon
8 + 7 + 10 = 25 votes​Compiler les votes de Vincent
​7 + 3 = 10 votes​Compiler les votes de Judith
​​Puisque c'est Vincent qui a obtenu le plus de votes (25 votes), c'est lui qui sera nommé comme président de la classe.

​​

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Vote par élimination 

Cette procédure confère la victoire à l'individu ou au groupe qui obtient la majorité des votes, soit |50 \% + 1 | du nombre total de votes, alors que les électeurs les classent selon un ordre de préférence. S'il n'y a pas de majorité absolue dès le premier comptage, on élimine le moins populaire pour transférer ses votes au candidat qui le suit.

​​​EXEMPLE
​​​Pour être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey, les joueurs en nomination sont classés par ordre de préférence par les membres du comité du Temple. Afin d'alléger la présentation des résultats, les votes présentant des préférences identiques ont été regroupés. Voici la liste de trois joueurs ainsi que leur classement de préférence en 2014:
m1523i12.PNG
En utilisant la méthode de vote par élimination, quel serait le prochain joueur à être intronisé au Temple de la Renommée du Hockey ? ​
​CALCULS​EXPLICATIONS
​|\tiny \bullet| Dominik |= \displaystyle \frac{\color{blue}{7}}{\color{blue}{7} + \color{red}{6} + \color{green}{4}} = \frac{\color{blue}{7}}{17} \approx 41,2 \%|
​|\tiny \bullet| Mike|= \displaystyle \frac{\color{red}{6}}{\color{blue}{7} + \color{red}{6} + \color{green}{4}} = \frac{\color{red}{6}}{17} \approx 35,3 \%|
​|\tiny \bullet| Peter|= \displaystyle \frac{\color{green}{4}}{\color{blue}{7} + \color{red}{6} + \color{green}{4}} = \frac{\color{green}{4}}{17} \approx 23,5 \%|
​Déterminer si un des candidats possède la majorité des |1^\text{er}| choix.
m1523i13.PNG​Puisqu'aucun n'a la majorité des votes, on transfert les votes du moins populaire à celui qui le suit dans son groupe.
​|\tiny \bullet| Dominik |= \displaystyle \frac{\color{blue}{7}+ \color{green}{4}}{\color{blue}{7} + \color{red}{6} + \color{green}{4}} = \frac{11}{17} \approx 64,7 \%|
​|\tiny \bullet| Mike|= \displaystyle \frac{\color{red}{6}}{\color{blue}{7} + \color{red}{6} + \color{green}{4}} = \frac{\color{red}{6}}{17} \approx 35,3 \%|
​Refaire les calculs pour déterminer si un des deux candidats restants a la majorité des votes.
​​​Puisque Dominik a maintenant obtenu plus de 50% des votes, c'est lui qui sera intronisé au Temple de la Renommée du Hockey.

​​

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Mathématiques discrètes: Les graphes 

Définitions  

Pour bien comprendre les notions de cette section, il est important de maîtriser les mots de vocabulaire suivants:
- sommets :les différents éléments qui sont mis en relation (personnes, étapes à suivre, etc.) et qui sont généralement représentés par des points (|\bullet|).
- arêtes : les liens qui mettent en relations les éléments et qui sont généralement représentées par des lignes ou des arcs de cercles.
arêtes parallèles: lorsque deux arêtes ont les mêmes sommets de départ et d'arrivée.
boucle : ​arête qui débute et se termine avec le même sommet.
degré : le nombre de fois qu'un sommet est touché par les différentes arêtes.
chaîne : une suite d'arêtes que l'on emprunte pour se «promener» sur le graphe.
longueur: correspond au nombre d'arêtes empruntées dans une chaîne.
distance​ : nombre d'arrête minimal pour passer du sommet de départ au sommet d'arrivée. 
chaîne simple : une chaîne dont chacune des arêtes est empruntée une seule fois.
cycle ​: une chaîne qui débute et se termine au même sommet.
cycle simple​ : un cycle dans lequel chaque arête est utilisée une seule fois.


​​​ ​EXEMPLES
​ILLUSTRATIONS​​NOTIONS
m1523i14.PNG|\color{red}{B}| est un sommet
|\color{blue}{A-E}| est une arête
|\color{green}{F-F}| est une boucle
|E-D| et |D-E| sont des arêtes parallèles
Le degré de |\color{red}{B} = 3|
m1523i16.PNG|\color{red}{B-F-E-C-F-B}| est un cycle. 

|\color{green}{D-B-C-B-A}| est une chaîne.
m1523i15.PNG|\color{green}{A-B-C-F}| est une chaîne simple de longueur |3| mais la distance |\color{blue}{d(A,F) = 2}|.​
Finalement, |\color{green}{A-B-C-F}-\color{blue}{E-A}| est un cycle simple de longueur |5|.


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​Chaîne et cycle eulérien 

​​

​La caractéristique eulérienne d'un graphe exige que toutes les arêtes soient impliquées une seule fois dans la chaîne ou le cycle.​​


​​ ​EXEMPLE
En tant que policier, tu veux connaître les moindres recoins de la région que tu dois désservir. Pour ce faire, tu décides de patrouiller dans chacune des rues de ton district durant ton quart de travail​. Pour t'aider, tu utilises une carte routière pour identifier le territoire que tu as à superviser :
m1523i18.PNG 
En gardant en tête que tu peux décider du point de départ et d'arrivée de ton itinéraire, quelle séquence de routes devrais-tu emprunter pour patrouiller dans chacune des rues et ce, le plus efficacement possible ?
​CALCULS​​JUSTI​FICATIONS
m1523i19.PNG​Choisir un point de départ qui semble adéquat.
m1523i20.PNG ​S'assurer que toutes les arêtes vont être empruntées une seule fois Toutefois, il est possible de passer plusieurs fois par le même sommet.
Ainsi, une des routes possibles pourrait être la chaîne eulérienne |\color{red}{A}-B-F-\color{red}{A}​​-E-D-B-C-E|. ​


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Chaîne et cycle hamiltonien 

​​

​La caractéristique eulérienne d'un graphe exige que tous les sommets soient impliquées une seule fois dans la chaîne ou le cycle.​​


​​ ​EXEMPLE
Pour compléter un rallye automobile, les concurrents doivent obligatoirement passer par chacune des bornes qui sont identifiées par des lettres sur la carte suivante:
m1523i17.PNG 
En gardant à l'esprit qu'ils doivent revenir au point de départ identifié par le sommet A pour terminer la course, quelle pourrait être une des routes empruntées par les concurrents ?
​CALCULS​​JUSTI​FICATIONS
​|A-E-D-C-F-B-A|​S'assurer que le sommet de départ et d'arrivée ​soit le même tout en passant par chacun des sommets une seule fois. 


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Types de graphes

En fonction des informations qui sont fournies sur le graphe, il est possible de lui associé un nom bien précis:
connexe : lorsque tous les sommets sont accessibles à partir de n'importe quel sommet.
arbre : se dit d'un graphe qui ne possède aucun cycle simple.
orienté : lorsque les arêtes suggèrent, par le biais d'une flèche, une orientation précise.
pondéré : lorsque chacune des arêtes ont une quantité qui leur est associée.
coloré​ : Lorsque les sommets sont associés à des couleurs particulières
​​

​ ​ILLUSTRATIONS
​ ​m1523i21.PNG
​ ​m1523i22.PNGm1523i23.PNG
​ ​m1523i24.PNG​​m1523i25.PNG


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Chemin critique 

​​

​Concrètement, le chemin critique est souvent utilisé pour établir une échéance de réalisation pour un projet de diverse nature.


​​ ​EXEMPLE
​​Avant d'acheter uen maison, il est important de bien analyser divers éléments qui vont permettre d'effectuer un achat judicieux. Afin de ne rien oublier dans le processus, voici quelques pistes:
m1523i27.PNG
​​Ainsi, quelle est la durée totale d'un tel projet?
​CALCUL​S​JUSTIFICA​TIONS
m1523i28.PNG​Construire le graphe valué de la situation.
m1523i29.PNG​Identifier le chemin avec le poids le plus haut.
​Poids | = 182 + 7 + 30 + 14 + 1 + 7 + 10 + 5|
Poids | = 256|
​Calculer le poids de ce chemin.
​Ainsi, il faudra un total de 256 jours pour compléter ce projet.


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Nombre chromatique 

​​

​Concrètement, le chemin critique est souvent utilisé pour établir une échéance de réalisation pour un projet de diverse nature.


​​ ​EXEMPLE
​Voulant apprendre à connaître ses collègues au maximum, Mme Dreau veut participer à un maximum d'activités offertes par son école. Par contre, certaines contraintes dans son horaire l'empêche de participer à tout ce qu'elle voudrait:
- Le Journalisme entre en conflit avec quelques séances d'Improvisation et de Soutien à la réussite;
- Il est impossible de s'inscrire au Basket-ball, au Théâtre et à la Danse en même temps;
- Le Soutien à la réussite et le Théâtre sont tous deux à l'horaire du lundi soir.
Ainsi, quel est le nombre maximal d'activités auxquelles elle pourra participer ?
​CALCUL​S​JUSTIFICA​TIONS
​Dessiner un graphe dont les arêtes relient les éléments qui sont incompatibles
​Attribuer des couleurs différentes aux sommets qui sont adjacents en utilisant un minimum​ de couleurs.
En tenant compte de toutes ces contraintes, Mme Dreau pourrait participer à trois activités, soit la Danse, le Soutien à la réussite et l'Improvisation.


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Arbre de valeurs

​​

​Concrètement, le chemin critique est souvent utilisé pour établir une échéance de réalisation pour un projet de diverse nature.


​​ ​EXEMPLE
​Avant d'entâmer la construction de résidences dans un nouveau quartier, une ville doit installer un réseau d'aqueduc et d'égoût qui relie chacune des résidences. Malgré quelques contraintes géographiques, la majorité des maisons peuvent être reliées par ce futur système:

En considérant les quantités du graphe comme étant la distance, en mètres, entre chacune des maisons, quelle serait la longueur minimale du réseau de ce quartier ?
​CALCUL​S​JUSTIFICA​TIONS
​|DF = 199| , |DE = 213|, |CE = 256|, |AB = 298|, |BD = 332|, |BC = 375|, |EF = 395|, |AF = 405|, |AC = 657|​Mettre les arêtes en ordre croissant selon leur valeur respective.
m1523i33.PNG​Tracer le graphe à nouveau en traçant les arêtes une par une, en suivant l'ordre établi plus haut, jusqu'à ce que tous les sommets du graphe soient reliés.
​​​​Ainsi, la longueur minimale de ce réseau sera de 298 + 332 + 199 + 213 + 256 = 1 298 mètres.  ​


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Les vidéos
Les exercices
Les références