Mathématique m1525

Aide-mémoire - Cinquième secondaire - TS

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Voici un petit guide de préparation contenant toutes les notions abordées en cinquième secondaire dans la séquence TS. Pour expliquer le tout, chaque formule sera suivie d'un exemple et d'un lien qui mène à une fiche de notre bibliothèque virtuelle. 

​Arithmétique

​Propriétés des exposants

​​Voici les loi et propriétés des exposants qui seront utiles pour la suite de cette section:
1) |a^{-m} = \displaystyle \frac{1}{a^m}|

2) |a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}|

3) |a^m \cdot a^n = a ^{m+n}|

4) |\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}|

5) |(ab)^m = a^m b^m|

6) |\left(\displaystyle \frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}|

7) |(a^m)^n = a^{m \cdot n}|


​​ ​EXEMPLE​​​
​ ​Simplifie au maximum l'expression suivante:
​|\displaystyle \frac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}|
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{=}\displaystyle \frac{(27 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{27^{\frac{1}{3}}a^3}|

|= \displaystyle \frac{(3^3 a^3 b)^{\frac{1}{2}}}{(3^{3})^{\frac{1}{3}}a^3}|​​
​Mettre les coefficient sur la même base, si possible.
|\color{white}{=} \displaystyle \frac{\sqrt{3^3 a^3 b}}{3^1 a^3}|​

|= \displaystyle \frac{\sqrt{\color{blue}{3^2} \cdot 3^1 \cdot \color{red}{a^2}\cdot a^1 \cdot b}}{3^1 a^3}|

|= \displaystyle  \frac{\color{blue}{3} \cdot \color{red}{a} \sqrt{3ab}}{3 a^3}|

|= \displaystyle ​\frac{\sqrt{3ab}}{a^2}|
​Utiliser les lois et les propriétés des exposants pour simplifier le plus possible.
​ ​L'expression s​implifiée est |\displaystyle \frac{\sqrt{3ab}}{a^2}|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Propriétés des radicaux

De façon générale, c'est la loi sur la multiplication des radicaux qui est utilisée pour effectuer la factorisation (|\sqrt { a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|). Pour y arriver, on doit:
1) décomposer le radicande en un produit de facteurs dont un est un nombre carré
2) transformer la racine d'un produit en un produit de racines (|\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|)
3) calculer la racine du nombre carré

​ ​EXEMPLE
​ ​Quel​le est la valeur simplifiée de la racine suivante:
|\displaystyle \sqrt{45}|
​CALCULS​EXPL​ICATIONS
​|\sqrt{45} = \sqrt{\color{blue}{9} \cdot 5}|​Factoriser le radicande avec un nombre carré.
​|\sqrt {\color{blue}{9} \cdot 5}|
|= \sqrt{\color{blue}{9}} \cdot \sqrt {5}|
​Utiliser la loi du produit des radicaux |\rightarrow  \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}|.
​|\sqrt {\color{blue}{9}} \cdot \sqrt {5}|
| = \color{blue}{3} \cdot \sqrt {5}|
​Calculer les racines carrées.
​ ​Ainsi, |\sqrt{45} = 3  \sqrt{5}|.​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​​Propriétés des logarithmes​

Voici les lois des logarithmes qu'il est important de maîtriser:
1) |\log_c(M \cdot N) = \log_c M + \log_c N|

2) |\log_{c}\left(\frac{M}{N}\right)=\log_{c}M-log_{c}N|

3) |\log_{\frac{_{1}}{c}}M=-\log_{c}M|

4) |\log_c M^n = n \log_c M|

5) |\log_a b = \displaystyle \frac{\log_c b}{\log_c a}|


EXEMPLE​
​En utilisant les lois des logarithmes, simplifie l'expression suivante:
|(log_4 3x^2 + log_4 4y - log_4 4x)^4|​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{=}(\color{blue}{log_4 3x^2 + log_4 4y} - log_4 6x)^4|​
|=(\color{blue}{log_4 (3x^2 \cdot 4y)} - log_4 6x)^4|​
|=(\color{red}{log_4 12x^2y - log_4 6x})^4|​​​
|=(\color{red}{log_4 \left(\frac{12x^2y}{6x}\right)})^4|​​​​​
|=4 log_4 2xy|​​
​Utiliser les lois des logarithmes avec ceux qui ont la même base.
​ ​Alors, l'expression simplifiée est |4 log_4 2xy|.​​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Algèbre

​Résoudre une équation de second degré

Pour trouver les valeurs de |x|, si elles existent, on peut utiliser:

la forme générale 
|0 = ax^2 + bx + c|, avec cette formule:
|​​\{x_1, x_2\} = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}|

la forme canonique
|0 = a(x-h)^2+k| 
où |(h,k) =| coordonnée du sommet et on isole le |x| avec les opérations inverses

la forme factorisée
|0 = a(x-z_1)(x-z_2)|
où |\{z_1,z_2\}=|zéros de fonction​ et on obtient deux équations:
|x-z_1 = 0 | et |x-z_2=0|.


​​ ​EXEMPLE​
​​Lors des Jeux Olympiques d'été en 2012, le britannique Greg Rutherford a effectué le saut suivant:
m1525i01.PNG 
En considérant que son saut suit un modèle parabolique, détermine la distance du saut de Greg.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{white}{\Rightarrow -} f(x) = a (x-h)^2+k|
|\Rightarrow \color{white}{-} f(x) = a (x-6)^2 + 1,5|
|\Rightarrow \color{white}{-} 0,69 = a (3-6)^2 + 1,5|
|\color{white}{\Rightarrow -} 0,69 = a \cdot 9 + 1,5|
|\color{white}{\Rightarrow} -0,09 = a|
|\Rightarrow \color{white}{-}f(x) = -0,09 (x-6)^2 + 1,5|
​Trouver l'équation de la parabole sous la forme appropriée : |\Rightarrow f(x) = a(x-h)^2+k|.
​|\Rightarrow f(x) = -0,09 ( x^2 - 12x + 36) + 1,5|
|\color{white}{\Rightarrow} f(x) = -0,09x^2 + 1,08x - 1,74|
​Transformer la règle sous sa forme générale (|f(x) = Ax^2 + Bx + C|).
​|\Rightarrow 0 = -0,09x^2 + 1,08x - 1,74|
|\displaystyle \Rightarrow \{x_1, x_2\} = \frac{-(1,08) \pm \sqrt{(1,08)^2 - 4 \cdot (-0,09) \cdot (-1,74)}}{2 \cdot (-0,09)}|
|\color{white}{\Rightarrow \{x_1, x_2\}} = \{1,92 ; 10,08\}|
​Trouver les zéros de la fonction en remplaçant |f(x) = 0| et en utilisant la formule quadratique.
​​​ ​​Ainsi, la longueur du saut |= 10,08 - 1,92 = 8,16| mètres.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​ ​ 


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation logarithmique

|f(x) = a log_c (b(x-h))|
où  le zéro de fonction |= \displaystyle \frac{1}{b} + h| et |h = | l'asymptote


​​ ​EXEMPLE​
​Selon la fonction suivante:
m1525i37.PNG
quelle sera la valeur de l'abscisse si l'ordonnée vaut 3 ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|h = 3|​Trouver la valeur du |h| selon l'asymptote verticale.
​|\color{blue}{\text{zéro de fonction}} = \displaystyle \frac{1}{b} + h|

|\Rightarrow \color{blue}{\displaystyle \frac{13}{4}}= \displaystyle \frac{1}{b} + 3|

|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{1}{4} = ​\frac{1}{b}|

|\color{white}{\Rightarrow} b = 4|
​Utiliser le zéro de fonction pour trouver la valeur du paramètre |b| selon : zéro de fonction | = \displaystyle \frac{1}{b} + h|. 
​|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{1,79} = lob_c(4(\color{red}{6}-3))|
|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{1,79} = log_c(12)|
|\Rightarrow c^{1,79} = 12|
|\color{white}{\Rightarrow}c = 4|
Ainsi, |f(x) = \log_4(4(x-3))|
​Trouver la valeur du paramètre |c| en utilisant les coordonnées d'un autre point |\color{red}{(6 ; 1,79)}|
​|\color{white}{\Rightarrow} 3 = \log_4(4(x-3))|
|\Rightarrow 4^3 = 4(x-3)|
|\color{white}{\Rightarrow} 19 = x|
​Remplacer |f(x)| par 3.
Quand |y= 3, x = 19|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation exponentielle

|f(x) = a c ^{bx} + k|
où |b = | fréquence de capitalisation,
|k = | asymptote et
| c = 1 \pm| pourcentage de variation en nombre décimal.


​​ ​EXEMPLE​
​​Lorsqu'un placement est fait dans une institution bancaire, son rendement est généralement évalué selon une fonction exponentielle. Par contre, pour bénéficier de certains taux qui sont plus avantageux, une somme minimale d'investissement est requise.

Ainsi, après combien d'années un investissement initial de 5 000 $ capitalisé aux 2 ans à un taux d'intérêt de 5 % dont l'investissement minimal requis est de 3 000$ rapporte-il au moins 8 000 $ ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​Investissement minimal requis| = 3000 \$ \Rightarrow 3000 = k|​Trouver la valeur du paramètre |k|.
​| c = 1 \pm 5 \%|
|\color{white}{c} = 1 + 0,05|
|\color{white}{c} = 1,05|

|\Rightarrow f(x) = a \cdot 1,05^{bx}+ 3000|
​Trouver la valeur du paramètre |c|.
​Capitalisé aux deux ans | \Rightarrow b = \displaystyle \frac{1}{2}|
Ainsi, |f(x) = a \cdot 1,05^{\frac{1}{2}x}+ 3000|
​Trouver la valeur du paramètre |b| en fonction du contexte.
​|\color{white}{\Rightarrow}5000 = a \cdot 1,05^{\frac{1}{2}\cdot 0}+3000|
|\Rightarrow 5000 = a \cdot 1 + 3000|
|\color{white}{\Rightarrow}2000 = a|
​Remplacer |(x,y)| par la valeur initiale donnée |(0,5000)|.
​|\color{white}{\Rightarrow}8000 = 2000 \cdot 1,05^{\frac{1}{2}x}+3000|
|\Rightarrow 2,5 = 1,05^{\frac{1}{2}x}|
|\Rightarrow log_{1,05}2,5 = \frac{1}{2}x|
|\color{white}{\Rightarrow} 18,78 \approx \frac{1}{2}x|
|\color{white}{\Rightarrow}37,56 = x|
​Remplacer |f(x)| par 8 000 $.
​​ ​La somme investie rapportera au moins 8000$ après 37,56 années.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation racine carrée

|f(x) = a \sqrt{b(x-h)} + k|
où |(h,k) = | coordonnée du sommet, 
|b = | généralement |\pm 1| et
les signes de |a| et |b| dépendent de l'orientation de la courbe.​


​​ ​EXEMPLE​
En tant qu'ornithologue amateur, tu observes un oiseau prendre son envol à partir d'une branche qui est à trois mètres du sol. Par ailleurs, sa trajectoire suit le model suivant:
m1525i04.PNG 
Sachant qu'il est toujours possible d'observer l'oiseau alors qu'il est à une altitude de 50 m, quelle sera la distance horizontale qui te séparera de l'oiseau à ce moment précis ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|f(x) = \pm a \sqrt{\pm 1(x-h)} + k|​Déterminer le modèle à utiliser.
​|\color{white}{\Rightarrow}f(x) = a \sqrt{1(x-h)} + k|
|\Rightarrow f(x) = a \sqrt{x-h} + k|
​Déterminer le signe de |a| et de |b| selon l'orientation du graphique (les deux sont positifs).
​|\color{white}{\Rightarrow}  \color{green}{8} = a \sqrt{\color{green}{12} - h} + 3|
|\Rightarrow 25 = a^2 (\color{green}{12}- h)|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow} \frac{25}{\color{green}{12}-h}=a^2|
​|\color{white}{\Rightarrow}|
  |\color{red}{10,5} = a \sqrt{\color{red}{17} - h} + 3|
|\Rightarrow 56,25 = a^2 (\color{red}{17}- h)|
|\displaystyle \color{white}{\Rightarrow} \frac{56,25}{\color{red}{17}-h} = a^2​|
​Créer deux équations avec les points fournis.
​|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{56,25}{17 - h} = \frac{25}{12-h}|
|\Rightarrow 56,25 \cdot (12-h) = 25 \cdot (17-h)|
|\color{white}{\Rightarrow} 675 - 56,25h = 425 - 25h|
|\color{white}{\Rightarrow} 250 = 31,25h|
|\color{white}{\Rightarrow} 8 = h|​
​Comparer les deux valeurs de |a^2|.
​|\color{white}{\Rightarrow}f(x) = a \sqrt{x-8} + 3|
|\Rightarrow \color{green}{8}= a \sqrt{\color{green}{12} - 8} + 3|
|\color{white}{\Rightarrow} \color{green}{8} = a \cdot 2 + 3|
|\color{white}{\Rightarrow} 2,5 = a|
​Utiliser un des points pour trouver la valeur de |a|.
​​|\color{white}{\Rightarrow} f(x) = 2,5 \sqrt{x-8} + 3|
|\Rightarrow 50 = 2,5 \sqrt{x-8}+3|
|\color{white}{\Rightarrow}18,8 = \sqrt{x-8}|
|\color{white}{\Rightarrow}353,44 = x-8|
|\color{white}{\Rightarrow} 361,44 = x|
Remplacer |f(x)| par |50| puisque c'est l'altitude à laquelle l'oiseau est rendu.
​​ ​L'oiseau se trouvera à une distance horizontale de |361,44| mètres.​​

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​ ​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation rationnelle

Sous sa forme canonique: |f(x) = \displaystyle \frac{a}{b(x-h)} + k|

Sous sa forme de quotient: ​|f(x) = \displaystyle \frac{ax+b}{cx​+d}|


​​ ​EXEMPLE​
Selon les informations disponibles dans le graphique, détermine la coordonnée complète du point |\color{red}{B}|.
m1525i43.PNG
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{green}{h = 4}|
|\color{fuchsia}{k=3}|
​Déterminer les valeurs de |(h,k)| selon |h=| asymptote verticale et |k=|asymptote horizontale.
​|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle f(x) = \frac{a}{x-\color{green}{h}}+\color{fuchsia}{k}|

|\color{white}{-}\Rightarrow \displaystyle \color{blue}{\frac{9}{4}} = \frac{a}{\color{blue}{6}-\color{green}{4}}+\color{fuchsia}{3}|​

|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle -\frac{3}{4} = \displaystyle \frac{a}{2}|

|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle -\frac{3}{2} = a|
​Trouver la valeur du paramètre |a| en utilisant la coordonnée du point |\color{blue}{A(6, \frac{9}{4})}|.
|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \color{red}{4} = -\frac{3}{2(\color{red}{x}-\color{green}{4})}+\color{fuchsia}{3}|​​

|\Rightarrow \displaystyle 1 = -\frac{3}{2(\color{red}{x}-\color{green}{4})}|​​

|\color{white}{\Rightarrow} 1 \cdot 2(\color{red}{x}-\color{green}{4}) = -3|

|\color{white}{\Rightarrow}\color{red}{x = \displaystyle \frac{5}{2}}|
​Remplacer |f(x)| par la valeur en |y| du point |\color{red}{B}| et isoler le |x|.
​​​La coordonnée du point |\color{red}{B}| est |\color{red}{(\displaystyle \frac{5}{2} , 4)}|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation partie entière

L'équation de la règle d'une fonction partie entière s'écrit sous la forme

| f(x) = a \left[ b(x-h)\right] + k|

avec |(h,k) = | coordonnée d'un point plein, 

|\mid a\mid = | distance verticale entre deux marches, 

| \frac{1}{\mid b \mid} = | longueur d'une marche.

Pour déterminer le signe de |a| et de |b|, on s'intéressera à l'ordre des points ouverts et fermés, la croissance et la décroissance du graphique:

m1522i39.PNG 

​​​​EXEMPLE
Dans le cadre d'un nouveau programme de récompense, une épicerie offre des timbres qui permettent d'obtenir des réductions significatives sur l'achat d'articles ciblés. 

Avec un montant d'achat minimum de 5 $, la caissière remet cinq timbres aux clients. Par la suite, pour chaque tranche de 22 $ additionnels, elle donne sept timbres de plus au client.

À l'aide de ces informations, dans quel intervalle devrait se situer le montant de la prochaine facture d'un client s'il veut obtenir 47 timbres.
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1522i36.PNG​Tracer le graphique associé à cette situation.
|\mid \color{red}{a} \mid = 12 - 5 = 7|
|\frac{1}{\mid \color{blue}{b}\mid} = 27 - 5 = 22|
|\Rightarrow \frac{1}{22} = \mid \color{blue}{b} \mid|
|(h,k) = (5,5)|
Trouver la valeur de |\mid \color{red}{ a} \mid |, de |\mid \color{blue}{b} \mid| et de |(h,k)|.
​|f(x) = \color{red}{a} \left[ \color{blue}{b}(x-h) \right] + k|
|\Rightarrow f(x) = \color{red}{7} \left[ \color{blue}{\frac{1}{22}} ( x - 5) \right] + 5|
​Écrire l'équation de cette fonction en tentant compte de l'orientation des points ouverts et fermés.
|f(x) = \color{red}{7} \left[ \color{blue}{\frac{1}{22}}(x - 5)\right] + 5|
|\Rightarrow 47 = \color{red}{7} \left[ \color{blue}{\frac{1}{22}}(x - 5)\right] + 5|​
|\Rightarrow 6 = \left[ \color{blue}{\frac{1}{22}}(x - 5)\right]|​
|\Rightarrow 6 \le \color{blue}{\frac{1}{22}}(x - 5)| ou |7 > \color{blue}{\frac{1}{22}}(x - 5)|
|\Rightarrow 137 \le x | ou |159 > x|
​Trouver la valeur de |x| quand |f(x)| vaut 47.

​​​​​|x \in \left[137, 159\right[|

​​​Déterminer l'intervalle en |x| de la solution.

Ainsi, le montant d'achat doit être d'au moins 137 $ mais de moins de 159 $. 

​ ​

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Résoudre une équation trigonométrique

En fonction de la situation, on peut choisir parmi trois modèles de fonctions trigonométriques:
|f(x) = a \cos (b (x-h)) + k|
|g(x) = a \sin(b (x-h)) + k|
|h(x) = a \tan(b (x-h)) + k|


​​ ​EXEMPLE​
​Pour divertir ton chien, tu décides d'aller jouer dehors avec lui à son jeu favori, soit «rapporte la ba-balle». Te situant maintenant à 10 mètres de la maison, tu t'assures de toujours lancer la «ba-balle» 30 mètres plus loin. De plus, tu as remarqué qu'à cette distance, ton chien met 12 secondes pour aller la chercher et te la rapporter. Bien entendu, tu relances la balle aussitôt qu'il te la rapporte et ce, pendant cinq minutes. 

Par contre, ton chien n'est pas parfaitement dressé. Ainsi, tu as peur qu'il s'enfuit quand il se trouve à plus de 30 mètres de la maison. En tenant compte de ces informations, pendant combien de temps durant ce jeu as-tu peur que ton chien s'enfuit ?​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
m1525i02.PNG​Modéliser la situation.
​|f(x) = a \cos (b (x-h)) + k| 
| (h,k) = (0, \frac{40+10}{2}) = (0, 25)|
|\mid a \mid = \frac{40-10}{2} = 15 \rightarrow a = ​-15| car |(h,k)| est un minimum.
| b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}|
|\Rightarrow f(x) = -15 \cos (\frac{\pi}{6}x) + 25|
​Trouver l'équation de cette fonction.
​|\Rightarrow 30 = -15 \cos (\frac{\pi}{6}x) + 25|
|\color{white}{\Rightarrow} -\frac{1}{3} = \cos(\frac{\pi}{6}x)|
Puisque |\cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right) \approx 1,911|, alors:
|1,911 = \frac{\pi}{6}x_1| et |2\pi - 1,911 = \frac{\pi}{6}x_2|
|\Rightarrow 3,65 \approx x_1| et |8,35 \approx x_2|
​Remplacer |f(x)| par 30 afin de déterminer l'intervalle de temps où le chien est à plus de 30 mètres de la maison.
Ainsi, un intervalle est d'une longueur |= 8,35 - 3,65 = 4,7| secondes. Par ailleurs, il y a un total de 25 intervalles (|5 \ \text{min} \div 12 \ \text{sec} = 300 \ \text{sec} \div 12|). Finalement, tu auras peur que ton chien pendant total de |25 \times 4,7 = 117,5 \ \text{sec}|.

​Pour résoudre une inéquation en lien avec ce modèle, on peut y arriver en suivant les mêmes étapes tout en ajoutant une des étapes suivantes:
- faire une représentation graphique de la situation
- vérifier l'inéquation à l'aide d'un point 
En effet, l'intervalle-solution d'une inéquation est en lien direct avec l'équation qui lui est associée.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​​

​Opérations sur les fonctions

Pour effectuer les opérations sur les fonctions, on utilise les mêmes concepts que ceux abordés pour la simplification d'expressions algébriques:

Addition et soustraction 
Sur les coefficients des termes semblables

Multiplication et division 
Sur les coefficients de tous les termes et en respectant les lois des exposants


​​ ​EXEMPLE​
​Pour certains investisseurs, spéculer sur les diverses valeurs boursières à la bourse est une vraie passion. Pour essayer de prédire les valeurs des différentes actions et les profits potentiels, ces gens utilisent différents graphiques pour ensuite les associer à des modèles mathématiques. Pour l'étude d'une certains compagnie étrangère, on peut utiliser les fonctions suivantes pour modéliser les différentes variables qui influencent le rendement final de chaque action:

Nb d'actions sur le marché: |f(x) = 10x - 500|
Profit d'une action: |g(x) = -x^2+160x - 6400|
Nombre d'actionnaires : ​|h(x)= -2x^2 + 260x - 8000|
avec |x =| nombre d'années écoulées depuis sa création

Quelle fonction pourrait-on utiliser pour déterminer le profit moyen obtenu par chaque actionnaire?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\text{Profit moyen}​ = \displaystyle  \frac{\color{red}{\text{Nb d'actions}} \cdot \color{green}{\text{son profi}t}}{\color{blue}{\text{Nb d'actionnaires}}}|
|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{f(x)} \cdot \color{green}{g(x)}}{\color{blue}{h(x)}}|
​Créer une équation qui répond à la question.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{(10x-500)} \cdot \color{green}{(-x^2+160x-6400)}}{\color{blue}{-2x^2+260x-8000}}​|​Remplacer chaque élément par la fonction qui la modélise.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{\color{red}{10 \cdot (x-50)} \cdot \color{green}{-(x-80) \cdot (x-80)}}{\color{blue}{-2\cdot (x-50) \cdot (x-80) }}​|​Puisqu'il n'y a que des multiplications et des divisions, on factorise chacune des fonctions.
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = \displaystyle \frac{-10 \cdot (x-50) \cdot (x-80) \cdot (x-80)}{-2\cdot (x-50) \cdot (x-80) }​​​​|
​|\color{white}{\text{Profit moyen}} = 5 \cdot  (x-80)|​
​Simplifier.
​​ ​​Avec les informations disponibles présentement, le​​ profit moyen est représenté par la fonction | i(x)= 5 \cdot (x-80)|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​ ​

​Composition de fonctions​

La composition de fonction se note | g \circ f = g(f(x))| et |g \circ f| se lit « g rond f ».


​​ ​EXEMPLE​
​Afin d'établir leur budget pour la prochaine année, le comité d'administration d'Allô prof s'est penché sur les coûts de production des fiches de la bibliothèque virtuelle. Pour ce faire, ils ont utilisé deux fonctions:
fonction f: |t = \displaystyle \frac{5}{4} \cdot n| 
fonction g: | s = 124t + 2000|
avec |n = | nombre de fiches produites, |t=| le nombre d'heures travaillées et |s = | salaire (en $) à verser aux employés.

​Modélise cette situation à l'aide d'une seule fonction pour ensuite déterminer le nombre total de fiches qu'il serait possible de produire avec un budget de 13 625$.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​| s = g \circ f|
|\color{white}{s} = \color{red}{g(}\color{blue}{f(n)}\color{red}{)}|
|\color{white}{s} = \color{red}{124}\color{blue}{(\frac{5}{4} \cdot n)} \color{red}{+ 2000}|
|s = 155 \cdot n + 2000|
​Modéliser la situation à l'aide de la composition de fonctions.
​|\color{white}{75}13 \ 625 = 155 \cdot n + 2000|
|\color{white}{13 \ 625}75 = n|
​Remplacer |s| par 13 625 et isoler |n|.
​ ​​Avec 13 625 $, il serait possible de produire un total de 75 nouvelles fiches.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

Optimisation

Généralement, on pourra résoudre un problème d'optimisation en suivant les étapes suivantes:
1) identifier les variables et les inconnus
2) déterminer l'équation de la fonction à optimiser
3) créer le système d'inéquations
4) tracer le polygone de contrainte
5) déterminer la coordonnée de chacun des sommets de ce polygone
6) déterminer la coordonnée du point qui optimise la fonction


​​ ​​EXEMPLE
​​Afin de maximiser les profits de son entreprise, un directeur général tient à savoir combien de vestons et de chemises il doit vendre à chaque semaine. Dû à certaines contraintes de production, il sait que le nombre maximal de chemises correspond au retranchement du quadruple de vestons à 21. À cause du transport, le nombre de vestons doit être plus grand ou égal à la différence entre 8 et le triple du nombre de chemises. Finalement, le reste entre le triple du nombre de vestons et le double du nombre de chemises doit être d'au moins deux

En sachant que chaque veston vendu rapporte un profit de 32$ et que celui associé à la vente d'une chemise est de 17$, quel est le profit maximal hebdomadaire qu'il peut espérer obtenir? 
​CALC​ULS​​EXPLICATIONS
​|x =| nombre de vestons
|y =| nombre de chemises
​Identifier les variables. L'association du |x| et du |y| se fait généralement de façon aléatoire.
​|Z = 32x + 17y|​Trouver la fonction à optimiser.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{x \ge 8 - 3y}|
|\color{red}{3x - 2y \ge 2}|
|x \ge 0| et |y \ge 0|
​Créer le système d'inéquations sans oublier les contraintes de non-négativité.
​|\color{blue}{y \le 21 - 4x}|
|\color{green}{y \ge -\frac{1}{3}x + \frac{8}{3}}|
|\color{red}{y \le \frac{3}{2}x - 1}|
​Isoler le |y| dans chacune des inéquations afin de les écrire sous la forme fonctionnelle.
m1522i03.PNG​Tracer les droites-frontières de chacune des inéquations dans un plan cartésien.
m1522i02.PNG​Trouver le polygone de contraintes qui respecte toutes les inéquations.
m1522i01.PNG​Trouver les coordonnées de chacun des sommets en utilisant la méthode de comparaison, de substitution ou de réduction. 
​Selon le point  |A (4,5)|, 
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (4) + 17 \cdot (5) = 213|
Selon le point |B (5,1)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (5) + 17 \cdot (1) = 177|
Selon le point |C (2,2)|,
|\Rightarrow Z = 32 \cdot (2) + 17 \cdot (2) = 98|
​Calculer le profit pour chacun des points en utilisant la fonction à optimiser
​​​ ​Pour maximiser ses profits, le directeur devrait vendre 4 vestons et 5 chemises pour un profit maximal de 213 $. 

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​ ​

​Géométrie

​Figures équivalentes

​​Deux figures sont équivalentes lorsqu'elles ont la même aire.

​ ​
​​ ​​EXEMPLE
Afin que le coût d'asphaltage de son nouveau stationnement résidentiel soit le même que celui de son ancien, Julien veut que ses deux entrées soient équivalentes. 
​​m1521i02.PNG
Ainsi, quelle devrait être la mesure de la largeur de son nouveau stationnement?
​CAL​CULS​EXPLICATIONS
​|\color{red}{A_\text{ancien}} = \color{blue}{A_\text{nouveau}}|​Les deux figures sont équivalentes.
​|\color{red}{A_\text{ancien}} = \color{blue}{A_\text{nouveau}}|
|\Rightarrow \color{red}{b \cdot h} = \color{blue}{b \cdot h}|
|\Rightarrow \color{red}{8 \cdot 12} = \color{blue}{b \cdot 10}|
|\Rightarrow \color{red}{96} = \color{blue}{b \cdot 10}|
|\Rightarrow 9,6 \ \text{m} = \color{blue}{b}|
​Créer une équation avec les formules d'aire et résoudre.
​ ​La largeur de son nouveau stationnement doit être de 9,6 m.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​​la bibliothèque virtuelle.​


Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

Solides équivalents​

​Deux solides sont équivalents lorsqu'ils ont le même volume.


​​ ​EXEMPLE
​Une compagnie qui oeuvre dans les accessoires de plein air veut offrir​ deux modèles de tente différents. Afin de conserver les mêmes coûts​​ de production, ils tiennent à ce que ces deux modèles soient équivalents.
m1521i05.PNG 
Quelle devrait être la mesure de la hauteur du second modèle afin de respecter la condition de similitude?
​CAL​CULS​EXPLICATIONS
​|\color{blue}{V_\text{prisme}} = \color{red}{V_\text{demi-boule}}|​Les deux solides sont équivalents.
​|\Rightarrow \color{blue}{A_b \cdot h} = \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{3} \div 2}|
|\Rightarrow \color{blue}{\frac{1,8 \cdot 1,7}{2} \cdot 2,1} = \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{6}}|
|\Rightarrow \color{blue}{3,21} \approx \color{red}{\frac{4 \cdot \pi \cdot r^3}{6}}|
|\Rightarrow 1,53 \approx \color{red}{r^3}|
|\Rightarrow 1,15 \approx 1,15 \ \text{m}|
​Créer une équation avec les formules de volume respectives et résoudre.
​ ​Le rayon de la tente en forme de demi-boule doit être d'environ 1,15 m.
​ ​ ​

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Une mesure en degrés vs une mesure en radians

Un angle d'une mesure d'un radian correspond à l'angle au centre formé par un arc de cercle dont la mesure est équivalente au rayon.
m1525i05.PNG
Par ailleurs, on peut utiliser la proportion suivante pour transformer une mesure en degrés vers une mesure en radians et vice versa:
|\displaystyle \frac{\text{mesure de l'angle en degrés}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|


​​ ​EXEMPLE​
​Si un angle mesure |\color{red}{227^\circ}|, quelle sera sa mesure en radians?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\color{white}{\Rightarrow}\displaystyle \frac{\text{mesure de l'angle en degrés}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|
|\Rightarrow \displaystyle \frac{\color{red}{227^\circ}}{180^\circ} = \frac{\text{mesure de l'angle en radians}}{\pi rad}|​​
​Utiliser la proportion identifiée plus haut.
​|\Rightarrow \color{red}{227^\circ} \cdot \pi \div 180^\circ = \text{mesure de l'angle en radians}|
|\color{white}{\Rightarrow 227^\circ \cdot \pi}3,96 \ rad = \text{mesure de l'angle en radians}|
​Résoudre en utilisant le produit croisé.
​ ​L'angle au centre mesure |3,96 \ rad|.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Loi des sinus

Selon le triangle quelconque qui suit, on peut en déduire une série d'équivalences.

m1509i02.PNG  

​|\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \displaystyle \frac{b}{\sin B} = \displaystyle \frac{c}{\sin C}|

​​
​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE DE CÔTÉ MANQUANTE
​Lors de certaines festivités westerns, des courses de chevaux sont organisées pour animer le spectacle. Lors de ces courses, les cowboys doivent faire le tour de chacun des trois barils qui sont disposés en forme de triangle isocèle. 
m1510i34.PNG 
À l'aide des mesures données, quelle est la distance entre chacun des barils? 
​CALCULS​EXPLICA​TIONS
m1510i35.PNG​Identifier les sommets et les arêtes du triangles. 
m1510i37.PNG​Si possible, déduire d'autres mesures du triangle. (somme des angles intérieurs d'un triangle et propriétés du triangle isocèle)
​| \displaystyle \frac{\color{green}{a}}{\sin 40^\circ} = \displaystyle \frac{\color{blue}{20}}{\sin \color{blue}{70^\circ}}|

|\Rightarrow \color{green}{a} = \displaystyle \frac {\color{blue}{20} \cdot \sin 40^\circ}{\sin \color{blue}{70^\circ}}|

|\Rightarrow \color{green}{a} \approx 13,68 \ \text{m}|
Appliquer la loi des sinus et isoler la variable.​
​Ainsi, |m \overline{AB} = m \overline {AC} = 20 \ \text{m}| et |m \overline {BC} \approx 13,68 \ \text{m}|

​​

​​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE D'ANGLE MANQUANTE
​Afin d'assurer un aérodynamisme maximal, le profil de certains voitures de course ressemble à un triangle. 
m1510i40.PNG 
Afin que ces proportions soient conservées, quelle devrait être la mesure de l'angle qui se situe près de la roue arrière?
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i42.PNG​Identifier le triangle.
​|\displaystyle \frac{\color{blue}{1,18}}{\sin \color{blue}{15}} = \displaystyle \frac {\color{red}{3,39}}{\sin \color{red}{B}}|

|\Rightarrow \sin \color{red}{B} = \displaystyle \frac{\color{red}{3,39} \cdot \sin \color{blue}{15}}{\color{blue}{1,18}}|

|\Rightarrow \sin \color{red}{B} \approx 0,744|
​Utiliser la loi des sinus et isoler le |\sin| de l'angle recherché.
​|\sin \color{red}{B} \approx 0,744|

|\Rightarrow \sin^{-1} \sin \color{red}{B} \approx \sin^{-1} 0,744|

|\Rightarrow \color{red}{B} \approx 48,1^\circ|
​Appliquer |\sin^{-1}| pour isoler la variable.
​|\color{red}{B} \approx 180^\circ - 48,1^\circ|

|\Rightarrow \color{red}{B} \approx 131,9^\circ|
Trouver la valeur de l'angle obtus. 
​ ​Dans cette situation, la mesure de l'angle est de |131,9^\circ|.


Quand on identifie le triangle, il est toujours essentiel de mettre

|\color{green}{\text{le côté a opposé à l'angle A}}| 

|\color{red}{\text{le côté b opposé à l'angle B}}| 

|\color{blue}{\text{le côté c opposé à l'angle C}}|
m1510i39.PNG 

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​​

​Loi des cosinus

​​Selon le triangle quelconque qui suit, on peut en déduire trois équivalences.

m1509i03.PNG
​|a^2 = b^2 + c^2 - (2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A)|

|b^2 = a^2 + c^2 - (2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B)|

|c^2 = a^2 + b^2 - (2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C)| ​

​ ​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE DE CÔTÉ MANQUANTE
​Afin de maximiser ses chances de chasser un orignal, un chasseur à l'arc s'installe dans un coin de son terrain et la portée de ses flèches se décrit selon le triangle suivant:
m1510i43.PNG 
En te fiant aux informations sur ce dessin, sur quelle |\color{red}{\text{distance}}| est-ce que l'orignal peut se promener en restant le plus loin possible du chasseur?
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i44.PNG​Identifier le triangle.
​|\color{red}{a}^2 = \color{blue}{b}^2 + \color{green}{c}^2 - 2\color{blue}{b} \color{green}{c} \cdot \cos \color{red}{A}|

|\Rightarrow \color{red}{a}^2 = \color{blue}{92}^2 + \color{green}{125}^2 - 2 \cdot \color{blue}{92} \cdot  \color{green}{125} \cdot \cos \color{red}{81^\circ}|
​Appliquer la formule appropriée pour faire en sorte qu'il n'y ait qu'une seule inconnue.
|\color{red}{a}^2 = \color{blue}{92}^2 + \color{green}{125}^2 - 2 \cdot \color{blue}{92} \cdot \color{green}{125} \cdot \cos \color{red}{81^\circ}|​​
|\Rightarrow \color{red}{a}^2 \approx  24 \ 089 - 23 \ 000 \cdot 0,156|
|\Rightarrow \color{red}{a}^2 \approx 24 \ 089 - 3 \ 588|
|\Rightarrow \color{red}{a}^2 \approx 20 \ 501|
|\Rightarrow \color{red}{a} \approx 143,18|
​Résoudre l'équation en isolant la variable.
​​L'orignal peut se promener sur une |\color{red}{\text{distance}}| d'environ 143,18 m. 

​​

​​EXEMPLE POUR TROUVER UNE MESURE D'ANGLE MANQUANTE ​
​​Afin d'assurer la sécurité de ses employés, une banque fait installer une caméra de surveillance rotative dans le hall d'entrée. Par ailleurs, un agent de sécurité est également en charge de surveiller cette même région qui est définie par le triangle suivant:
m1510i45.PNG 
Afin de s'assurer qu'il n'y ait aucun angle mort, quelle devrait être la mesure de l'angle de rotation de la caméra?
​CALCULS​EXPLICATIONS
m1510i46.PNGIdentifier le triangle.
​|\color{blue}{a^2} = \color{red}{b^2} + \color{green}{c^2} - 2 \cdot \color{red}{b} \cdot \color{green}{c} \cdot \cos \color{blue}{A}|
|\Rightarrow \color{blue}{22^2} = \color{red}{24^2} + \color{green}{21^2} - 2 \cdot \color{red}{24} \cdot \color{green}{21} \cdot \cos \color{blue}{A}|
​Substituer les valeurs dans la formule. Ici, on utilise |a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A| puisque c'est la mesure de l'angle |A| que l'on cherche.
|\color{blue}{22^2} = \color{red}{24^2} + \color{green}{21^2} - 2 \cdot \color{red}{24} \cdot \color{green}{21} \cdot \cos \color{blue}{A}|
|\Rightarrow \color{blue}{484} = 1 \ 017 - 1 \ 008 \cdot \cos \color{blue}{A}|

|\Rightarrow \displaystyle \frac{484 - 1 \ 017}{- 1 \ 008} = \cos \color{blue}{A}|

|\Rightarrow 0,529 \approx \cos \color{blue}{A}|
|\Rightarrow 58^\circ \approx \color{blue}{A}|​​
​Isoler la variable.
​​Pour s'assurer qu'il n'y ait aucun angle mort, la caméra devrait décrire des rotations d'un angle d'environ |58^\circ|.


Quand on identifie le triangle, il est toujours essentiel de mettre

|\color{green}{\text{le côté a opposé à l'angle A}}|

|\color{red}{\text{le côté b opposé à l'angle B}}|

|\color{blue}{\text{le côté c opposé à l'angle C}}| 
m1510i39.PNG 

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.

​​​

​Relations métriques dans le cercle

​Mesures de cordes et de segments

Si |\color{green}{\overline{GH}} \perp \color{orange}{\overline{EF}}| et |\color{green}{\overline{GH}}| est un diamètre, alors |\color{orange}{\overline{EF}}| est divisé en deux parties égales.
Si |\color{blue}{\overline{AB}}| et |\color{red}{\overline{CD}}| sont à égale distance du centre, alors, |m \ \color{blue}{\overline{AB}} = m \ \color{red}{\overline{CD}}|
M1525I20.PNG|\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots|

|m \ \overline{PA} \times \ m \ \overline{PB} = m \ \overline{PC} \times \ m \ \overline{PD}|
M1525I24.PNG|\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots|

|m \overline{PA} \times \ m \ \overline{PB} = m \ \overline{PC}^2|​​
M1525I25.PNG|\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots|

​ ​
|m \ \overline{AE} \times \ m \overline{CE} = \ m \overline{BE} \times \ m \overline{DE}|​
M1525I26.PNG 


​​ ​EXEMPLE​
​ ​En sachant que |\overline{BF}| est un diamètre, quelle est la mesure de |\color{fuchsia}{\overline{FI} = x}| ?
m1525i39.PNG ​ 
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{blue}{m \ \overline{HC} = 2,5} = m \ \overline{CG}|​Puisque |\overline{BF}| est un diamètre, elle coupe |\overline{GH}| en deux parties égales.
​|\color{white}{\Rightarrow}m \ \overline{DH} \times m \ \overline{DG} =m \ \overline{DI} \times \color{fuchsia}{m \ \overline{DF}}|
|\Rightarrow 1,62 \times (1,62+2,5+2,5) = 1,76 \times \color{fuchsia}{(x+1,76)}|
|\color{white}{\Rightarrow \times 1,62+2,5+2,} 10,72 \approx 1,76x + 3,1|
|\color{white}{\Rightarrow \times 1,62+2,5+2,5}​4,33 \approx x|
​Utiliser la |2^e| formule présentée plus haut.
​ ​​La mesure de |\color{fuchsia}{x} = 4,33|.


​Mesures d'arcs et d'angles​

​​
Pour alléger l'écriture du texte, il est important de noter que |m \ \overset{\huge\frown}{\small{AED}}| fait référence à la mesure de l'angle au centre qui intercepte l'arc en question:
|m \ \overset{\huge\frown}{\small{\color{green}{AED}}} = m \  \color{red}{\angle AOD}|
M1525I28.PNG  

|\color{green}{m \ \angle BAC} = \displaystyle \frac{\color{blue}{m \ \angle BOC}}{2}|
|\color{green}{m \ \angle BAC} = \displaystyle \frac{\color{red}{m \ \overset{\huge\frown}{\small{BC}}}}{2}|
M1525I29.PNG 
|\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots|

​​|\color{green}{m \ \angle AHD} = \displaystyle \frac{\color{red}{m \ \angle AOD} + \color{blue}{m \ \angle BOC}}{2}| 
|\color{green}{m \ \angle AHD} = \displaystyle \frac {\color{red}{m \overset{\huge\frown}{\small {AD}}}+ \color{blue}{m \ \overset{\huge\frown}{\small{BC}}}}{2}| 
M1525I30.PNG |\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots|

​ ​
|\color{blue}{m \ \angle DAB} = \displaystyle \frac{\color{green}{m \ \angle DOB} - \color{red}{m \ \angle COH}}{2}|
|\color{blue}{m \ \angle DAB} = \displaystyle \frac {\color{green}{m \overset{\huge\frown}{\small {DB}}}- \color{red}{m \ \overset{\huge\frown}{\small{CH}}}}{2}| 
M1525I31.PNG 


​​ ​EXEMPLE​
​ ​Quelle est la mesure de |\color{blue}{\angle BGD}| ?
m1525i40.PNG
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{white}{42^\circ}\color{green}{m \ \angle BFD} = \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \ \angle BED} - \color{red}{m \ \angle AEC}}{2}|

​|\color{white}{m \ \angle BFD} \color{green}{42^\circ} = \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \ \angle BED} - \color{red}{58^\circ}}{2}|​​​

|\color{white}{m \ \angle BF}​  \color{fuchsia}{142^\circ = m \ \angle BED}|
​Trouver |\color{fuchsia}{m \ \angle BED}| selon la troisième formule.
​|\color{white}{\Rightarrow} \color{blue}{m \ \angle BGD} = \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{m \ \angle BED}}{2}|

|\Rightarrow \color{blue}{m \ \angle BGD} = \displaystyle \frac{\color{fuchsia}{142^\circ}}{2}|

|\color{white}{\Rightarrow}\color{blue}{m \ \angle BGD = 71^\circ}|
​Trouver |\color{blue}{m \ \angle BGD}| selon la première formule.
​​Ainsi,  ​|\color{blue}{m \ \angle BGD = 71^\circ}|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Démonstrations à l'aide des identités trigonométriques

Les identités trigonométriques de base
|\tan \theta = \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}|     |\cot \theta = \displaystyle \frac{\cos\theta}{\sin\theta}|
|\csc \theta = \displaystyle \frac{1}{\sin ​​\theta}|    |\sec \theta = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta}|

Les identités pythagoriciennes
|\sin ^2 + \cos ^2 = 1|
|1 + \cot ^2 = \csc ^2|
|\tan ^2 + 1 = \sec ^2|

​​ ​EXEMPLE​
​ ​Démontrer l'égalité suivante:
​|\sec \theta - \cos \theta = \tan \theta \sin \theta|
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\displaystyle \sec \theta - \cos \theta =​ \frac{1}{\cos \theta} - \cos \theta|​​Transformer les termes en |\sin \theta| et |\cos \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ = \displaystyle \frac{1}{\cos \theta} - \frac{\cos ^2 \theta}{\cos \theta}|
|\displaystyle \color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ = \frac{1 - \cos ^2 \theta}{\cos \theta}|
​Trouver un dénominateur commun pour effectuer la soustraction.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =​ \displaystyle \frac{\sin ^2 \theta}{\cos \theta}|​Utiliser |\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =\displaystyle ​ \frac{\color{blue}{\sin \theta} \cdot \sin \theta}{\color{blue}{\cos \theta}}​|​Décomposer |\sin ^2 \theta = \sin \theta \cdot \sin \theta|.
|\color{white}{\sec \theta - \cos \theta​}​ =\color{blue}{\tan \theta} \cdot \sin \theta|
​Utiliser |\displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta|.
​L'identité est vérifiée puisqu'on obtient ce qui était indiqué au départ.​


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Propriétés des vecteurs​

Pour bien saisir les notions associées au concept des vecteurs, il est important de bien maîtriser le vocabulaire suivant:
- Orientation d'un vecteur: Est représentée par un sens (flèche) et par une direction (inclinaison associée à une mesure en degrés).
-Direction d'un vecteur: Est toujours calculée selon l'axe des abscisses positifs en allant dans le sens anti-horaire.
- Norme d'un vecteur:​ Fait référence à la longueur du vecteur que l'on peut obtenir par des rapports trigonométriques ou par la relation de Pythagore.
- Travail effectué: Est associé à l'effort effectué pour déplacer une masse quelconque. Pour sa part, il est généralement mesuré en Joules.


​​ ​EXEMPLE​
​Dans un plan cartésien, dessine |\color{red}{\overrightarrow u} = (-3, 8)| pour ensuite déterminer sa norme et sa direction .
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
m1525i32.PNG​Utiliser les composantes du vecteur en partant de l'origine du plan cartésien.​
m1525i33.PNG​Tracer un triangle rectangle pour en déduire la norme:
|\mid\mid \color{red}{\overrightarrow u \mid \mid} = \sqrt{\color{blue}{3}^2 + \color{green}{8}^2}|
|\color{white}{\mid\mid \overrightarrow u \mid \mid} \approx 8,54|.
m1525i34.PNG​Utiliser les rapports trigonométriques pour trouver la mesure de l'angle associée à la direction de |\color{red}{\overrightarrow u}|
|\text{direction de}\ \color{red}{\overrightarrow u} = \color{orange}{m \ \angle ABC}|
|\color{white}{\text{direction de} \ \overrightarrow u} = 180^\circ - \color{fuchsia}{m \ \angle DBC} |
|\color{white}{\text{direction de} \ \overrightarrow u} = 180^\circ - \tan^{-1} \left(\frac{\color{green}{8}}{\color{blue}{3}}\right)|
|\color{white}{\text{direction de}\ \overrightarrow u} \approx 180^\circ - 69 ^\circ|
|\color{white}{\text{direction de}\ \overrightarrow u} \approx 111^\circ|
​Ainsi, |\color{red}{\mid \mid  \overrightarrow u \mid \mid} \approx 8,54| et son orientation est d'environ |111^\circ|.  


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Opérations sur les vecteurs​

Pour s'y retrouver dans les différentes opérations sur les vecteurs, il est important de bien définir les notions suivantes:

L'addition et la soustraction
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} + \color{blue}{\overrightarrow v} = (\color{blue}{a} + \color{red}{c}, \color{blue}{b}+ \color{red}{d}) |

La multiplication d'un vecteur par un scalaire
Si |\overrightarrow u = (\color{blue}{a}, \color{red}{b})| et |k| un scalaire, alors |k \overrightarrow u = (k \cdot \color{blue}{a}, k \cdot \color{red}{b})|

Le produit scalaire
Si |\color{blue}{\overrightarrow u = (a,b)}| et |\color{red}{\overrightarrow v = (c,d)}|, alors |\color{blue}{\overrightarrow u} \times \color{red}{\overrightarrow v} =  \color{blue}{a}\color{red}{c}+ \color{blue}{b}\color{red}{d}|​​


​​ ​EXEMPLE​
​​Selon |\color{blue}{\overrightarrow v}| et |\color{red}{\overrightarrow u}|, quel est la résultante de |3\color{blue}{\overrightarrow v} -2 \color{red}{\overrightarrow u}| ?
m1525i44.PNG
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{blue}{\overrightarrow v = (-1,4)}|
|\color{red}{\overrightarrow u = (2,3)}|
​Déterminer les composantes des vecteurs utilisés.
​|\text{résultante} = 3\color{blue}{(-1,4)} -2 \color{red}{(2,3)}|
|\color{white}{\text{résultante}} = \color{blue}{(-3,12)} - \color{red}{(4,6)}|
​Effectuer la multiplication par le scalaire de chacun des vecteurs selon:
|k \overrightarrow u = (k \cdot x, k \cdot y)|
​​|\color{white}{\text{résultante}} = (\color{blue}{-3} - \color{red}{4}, \color{blue}{12} - \color{red}{6})|
|\color{white}{\text{résultante}} = (-7, 6)|
​Effectuer la soustraction des vecteurs avec leurs composantes respectives.
​La résultante est |(-7,6)|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Mise en contexte des vecteurs

Pour résoudre ce genre de mise en situation, il est important de bien maîtriser les diverses démarches associées aux opérations sur les vecteurs ainsi que les rapports trigonométriques dans les triangles rectangles. Par la suite, on peut généralement suivre les étapes suivantes:
1) Illustrer la mise en situation
2) Placer les données aux bons endroits sur l'illustration
3) Trouver les mesures manquantes à l'aide de la relation de Pythagore ou des rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. 


​​ ​EXEMPLE​
​Après une violente tempête, un arbre est tombé sur la route qui mène au chalet de Julien. Pour libérer le passage, il attache une corde à sa base afin de le tirer hors du chemin. 
​​​m1525i35.PNG
Ainsi, quel travail devra effectuer Julien pour le déplacer sur une distance de 12 m s'il déploie une force de |150 \ N| et que la corde qu'il utilise forme un angle de |21^\circ| par rapport à l'horizontal tout en négligeant la force de frottement ?​ ​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|W = \color{red}{150}\cos \color{blue}{21^\circ} \times \color{green}{12}|
|\color{white}{W} \approx 1680 \ J| 
​Utiliser la formule pour calculer le travail:
|W = \color{red}{F}\cos \color{blue}{\theta} \times \color{green}{\Delta x}|
​ ​​Julien devra effectuer un travail de |1680 \ J|.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Géométrie analytique

La rotation

​En considérant |(x, y)| comme la coordonnée du point qui subit la rotation:

|r_{(O,90°)}| ou |r_{(O,-270°)} : (x , y) \mapsto (-y , x)| pour une rotation de |90°| ou |-270°|
|r_{(O,180°)}| ou |r_{(O,-180°)} : (x , y) \mapsto (-x , -y)| pour une rotation de |180°| ou |-180°|
|r_{(O,270°)}| ou |r_{(O,-90°)} : (x , y) \mapsto (y , -x)| pour une rotation de |270°| ou |-90°|


​​ ​EXEMPLE
​En sachant que les coordonnées des sommets initiaux d'un triangle ABC sont |A(3,2), B(-1,5), C(4,-1)|, détermine les coordonnées des sommets de son image si on lui fait subir une rotation centrée à l'origine de |270^\circ| ?
​CALCULS​​EXPLICATIONS
​​|A(3,2)|
|B(-1,5)|
|C(4,-1)|
​Déterminer la coordonnée de chacun des sommets.
​|r_{(0,270^\circ)} : (\color{blue}{x},\color{red}{y}) \mapsto (\color{red}{y},\color{blue}{-x})|​Identifier la relation à utiliser.
​|A(\color{blue}{3},\color{red}{2}) \mapsto A' (\color{red}{2}, \color{blue}{-3})|
​|B(\color{blue}{-1},\color{red}{5}) \mapsto B' (\color{red}{5}, \color{blue}{1})|
​|C(\color{blue}{4},\color{red}{-1}) \mapsto C' (\color{red}{-1}, \color{blue}{-4})|
​Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.
​​ ​Les coordonnées de la figure image de cette rotation est |A'(2,-3), B'(5,1), C'(-1,-4)|.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​


La réflexion

​En considérant |(x, y)| comme la coordonnée du point qui subit la réflexion:

L’axe des abscisses: |s_x : (x , y) \mapsto (x , -y)|;

L’axe des ordonnées:  |s_y: (x , y) \mapsto (-x , y)|;

La bissectrice des quadrants 1 et 3: |s_/: (x , y)\mapsto (y , x)|;

La bissectrice des quadrants 2 et 4:  |s_{\backslash}: (x , y) \mapsto (-y , -x)|.


​​ ​EXEMPLE
​Quelle est l'image du quadrilatère suivant si on lui fait subir une réflexion par rapport à l'axe des ordonnées ?
m1523i01.PNG
​CALCULS​​EXPLICATIONS
​​|A(-3,-5)|
|B(-2,1)|
|C(4,3)|
|D(2,-2)|
​Déterminer la coordonnée de chacun des sommets.
|s_y : (\color{blue}{x}, \color{red}{y}) \mapsto (\color{blue}{-x}, \color{red}{y})|​Identifier la relation à utiliser.
​|A(\color{blue}{-3},\color{red}{-5}) \mapsto A' (\color{blue}{3}, \color{red}{-5})|
​|B(\color{blue}{-2},\color{red}{1}) \mapsto B' (\color{blue}{2}, \color{red}{-1})|
​|C(\color{blue}{4},\color{red}{3}) \mapsto C' (\color{blue}{-4}, \color{red}{3})|
|D(\color{blue}{2}, \color{red}{-2}) \mapsto D'(\color{blue}{-2}, \color{red}{-2})|
​Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.
m1523i02.PNG

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​



La translation

​En considérant |(x, y)| comme la coordonnée du point qui subit la translation:

|t_{(a,b)}:(x,y) \mapsto (x+a,y+b)|


​​ ​EXEMPLE
Dans le but de créer un motif intéressant sur une tapisserie, on se sert de la translation pour répéter la même figure géométrique à plusieurs reprises. En utilisant un plan cartésien, on peut établir que les coordonnées initiales des sommets sont |A(2,3), B(4,7), C(8,-2)| et |D(-3,12)| et les coordonnées finales sont |A'(7,-1), B'(9,3), C'(12,-6)| et |D'(2,-8)|.
En sachant que la translation |t_{(5,-4)}| a été utilisée, vérifie si les figures initiales et images sont isométriques​?
​CALCULS​​EXPLICATIONS
​​|A(2,3)|
|B(4,7)|
|C(8,-2)|
|D(-3,12)|
​Déterminer la coordonnée de chacun des sommets initiaux.
|t_{(5,-4)}: (x,y) \mapsto (x + 5, y - 4)|​Identifier la relation à utiliser.
​|A(\color{blue}{2},\color{red}{3}) \mapsto A' (\color{blue}{7}, \color{red}{-1})|
​|B(\color{blue}{4},\color{red}{7}) \mapsto B' (\color{blue}{9}, \color{red}{3})|
​|C(\color{blue}{8},\color{red}{-2}) \mapsto C' (\color{blue}{13}, \color{red}{-6})|
|D(\color{blue}{-3},\color{red}{12}) \mapsto D'(\color{blue}{2}, \color{red}{8})|
​Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.
​​ ​Dans l'énoncé, |C'=(12,-6)| et |D'=(2,-8)| alors que les calculs démontrent que |C'=(\color{blue}{13}, \color{red}{-6})| et |D'=(\color{blue}{2}, \color{red}{8})|. Puisqu'il y a une erreur dans les coordonnées données dans l'énoncé, les figures images et initiales ne seront pas isométriques.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​


L'homothétie

​En considérant |(x, y)| comme la coordonnée du point qui subit l'homothétie:

|h_{(O,k)}:(x,y) \mapsto (kx, ky)|


​​ ​EXEMPLE
Sur une carte du monde, tu aperçois une très petite île qui attire ton attention. Pour en apprendre plus à son sujet, tu veux d'abord en dessiner une plus grande version en utilisant une homothétie définie par |H_{(O,12)}|. Initialement, les coordonnées dans extrémités de cette île étaient |A(1,2), B(2,3), C(4,0), D(3,-2)| et |E(-1,-2)|.
Quelles seraient les coordonnées de cette île une fois agrandie ?
​CALCULS​​EXPLICATIONS
​​|A(1,2)|
|B(2,3)|
|C(4,0)|
|D(3,-2)|
|E(-1,-2)|
​Déterminer la coordonnée de chacun des sommets.
​|h_{(0,12)} : (\color{blue}{x},\color{red}{y}) \mapsto (\color{blue}{12x},\color{red}{12y})|​Identifier la relation à utiliser.
​|A(\color{blue}{1},\color{red}{2}) \mapsto A' (\color{blue}{12}, \color{red}{24})|
​|B(\color{blue}{2},\color{red}{3}) \mapsto B' (\color{blue}{24}, \color{red}{36})|
​|C(\color{blue}{4},\color{red}{0}) \mapsto C' (\color{blue}{48}, \color{red}{0})|
|D(\color{blue}{3}, \color{red}{-2}) \mapsto D'(\color{blue}{36}, \color{red}{-24})|
|E(\color{blue}{-1}, \color{red}{-2}) \mapsto E'(\color{blue}{-12}, \color{red}{-24})|
​Appliquer la relation identifiée sur chacune des coordonnées des sommets.
​​Les nouvelles coordonnées seraient |A'(12,24), B'(24,36), C'(48,0), D'(36,-24)| et |E'(-12,-24)|.

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​​​Les coniques

Le cercle:| (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2|
m1525i06.PNG


​​ ​EXEMPLE​: LE CERCLE
​Pour son premier voyage de pêche, Gitane se sert d'un sonar pour localiser ses potentielles prises. Par contre, elle s'interroge sur la portée de celui-ci. En fonction des informations présentées sur le dessin ci-dessous, détermine la superficie, en |\text{km}^2|, couverte par son sonar.

​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|(\color{green}{6,35} - h)^2 + (\color{green}{10,92} -\color{blue}{4})^2 = r^2|
|(\color{red}{8,35} -h)^2 + (\color{red}{-1,98} - \color{blue}{4})^2 = r^2|
​Créer deux équations en utilisant celle du cercle.
​​|(\color{green}{6,35} - h)^2 + (\color{green}{10,92} -\color{blue}{4})^2 = (\color{red}{8,35} - h)^2 + (\color{red}{-1,98} - \color{blue}{4})^2|
|h^2 - 12,7h + 88,21=h^2 -16,7h +105,46|
|17,27 = 4h|
|\color{fuchsia}{4,32 = h}|
​Comparer les équations et résoudre celle obtenue.
​|(\color{green}{x} - \color{fuchsia}{h})^2 + (\color{green}{y} -\color{blue}{k})^2 = r^2|
|(\color{green}{6,35} - \color{fuchsia}{4,32})^2 + (\color{green}{10,92} -\color{blue}{4})^2 = r^2|​
|52,01 \approx r^2|
|7,21 \approx r|
​Utiliser un point pour trouver la valeur du rayon.
​​​​​Puisque le rayon mesure 7,21 km, alors la superficie du sonar de Gitane est de |= \pi \cdot 7,21^2 \approx 163,31 \ \text{km}^2|.​​


L'ellipse: |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1​|
où |(h,k) = | coordonnée du sommet.

Quand |\color{green}{b}>\color{red}{a}|
​​​m1525i47.PNG
|\overline{\color{fuchsia}{F_1}P} + \overline{\color{fuchsia}{F_2}P} = 2\color{green}{b}|
|\color{red}{a^2}+\color{orange}{c^2} = \color{green}{b^2}|

Quand |\color{red}{a}>\color{green}{b}|
m1525i48.PNG
|\overline{\color{fuchsia}{F_1}P} + \overline{\color{fuchsia}{F_2}P} = 2\color{red}{a}|
​ |\color{green}{b^2}+\color{orange}{c^2} = \color{red}{a^2}|​


​​ ​EXEMPLE​: L'ELLIPSE
​Ayant adoré sa première expérience de pêche, Gitane décide de se procurer un magnifique canoe. Par contre, elle doit déterminer les dimensions exactes de ce dernier afin de s'assurer qu'elle pourra le transporter sur sa voiture. Pour l'aider, elle l'a dessiné dans un plan cartésien pour en obtenir les informations suivantes:

m1525i14.PNG
À l'aide de ces informations, détermine la longueur et la largeur maximales du canoe.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|m\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}} = \sqrt{(\color{fuchsia}{1,5} - \color{blue}{2,01})^2 + (\color{fuchsia}{1,2} - \color{blue}{2})^2}|
|\color{white}{m\overline{F_1P}} = \sqrt {0,9}|
|\color{white}{m\overline{F_1P}} \approx 0,95|​
​|m\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}} = \sqrt{(\color{red}{1,5} - \color{blue}{2,01})^2 + (\color{red}{4,8} - \color{blue}{2})^2}|
|\color{white}{m\overline{F_2P}} = \sqrt {8,1}|
|\color{white}{m\overline{F_2P}} \approx 2,85|
​Trouver |m\overline{\color{fuchsia}{F_1} \color{blue}{P}}| et |m\overline{\color{red}{F_2} \color{blue}{P}}|.
​|2a =| somme de la distance entre les foyers et un point
|2a = 0,95 + 2,85|
|\color{white}{2a} = 3,8|
|\color{white}{2}a = 1,9|
​Utiliser la définition de l'ellipse pour trouver la mesure de l'axe le plus long.​
​|\color{white}{\Rightarrow} 1 =\displaystyle \frac{(\color{blue}{x}-\color{green}{h})^2}{a^2} + \frac{(\color{blue}{y}-\color{green}{k})^2}{b^2}|
|\Rightarrow \displaystyle 1 =\frac{(\color{blue}{2}-\color{green}{3})^2}{1,9^2} + \frac{(\color{blue}{2,01}-\color{green}{1,5})^2}{b^2}|
|\color{white}{\Rightarrow} 1 =\displaystyle \frac{1}{3,61} + \frac{0,26}{b^2}|
|\displaystyle 0,723=\frac{0,26}{b^2}|
|\color{white}{\Rightarrow} b^2 = \displaystyle \frac{0,26}{0,723}|
|\color{white}{\Rightarrow} b = 0,6|
​Remplacer |\color{blue}{(x,y)}| par un point situé sur l'ellipse.
Ainsi, le canoe a une longueur maximale| = 2a = 2 \cdot 1,9 = 3,8| m et une largeur maximale| = 2b = 2 \cdot 0,6 = 1,2| m.


La parabole verticale:  |(x-h)^2 = \pm 4 \cdot c \cdot (y-k)|
m1525i08.PNG
La parabole horizontale: |(y-k)^2 = \pm 4 \cdot c \cdot (x-h)|
m1525i09.PNG


​​ ​EX​EMPLE​: LA PARABOLE
​​Pour avoir une idée de la grosseur du poisson, Gitane a remarqué qu'elle peut se fier à la courbure de sa canne à pêche au moment où le poisson mord à l'hameçon. En utilisant son sonar acheté précédement, elle peut déduire les informations suivantes:
m1525i15.PNG 
Étant de forme parabolique, Gitane s'interroge sur l'équation qu'il est possible d'utiliser pour modéliser cette situation.
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|d(\color{red}{F}, \color{blue}{S}) = \color{blue}{y_2} - \color{red}{y_1}|
|\color{white}{d(F,S)} = \color{blue}{2,8} - \color{red}{1,3}|
|\color{white}{d(F,S)} = \color{green}{1,5}|
​Calculer la distance entre |\color{red}{F}| et |\color{blue}{S}|.
​|(x-\color{blue}{h})^2 = -4 \cdot \color{green}{c} (y-\color{blue}{k})|Déterminer le modèle adéquat de l'équation de la parabole.
|\color{green}{c} = \color{blue}{2,8} - \color{red}{1,3}|
|\color{white }{c} = \color{green}{1,5}|
​Calculer la valeur du paramètre |\color{green}{c}|
​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -4 \cdot \color{green}{1,5}(y- \color{blue}{2,8})| ​Remplacer les paramètres par leur valeur respective.
​​ ​​Finalement, Gitane peut modéliser cette situation par l'équation ​|(x  \color{blue}{+ 3})^2 = -6\cdot (y- \color{blue}{2,8})|.​


L'hyperbole ver​ticale : |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = -1|
​​​​m1525i46.PNG
|\mid m \overline{F_1\color{orange}{P}} - m \overline{F_2\color{orange}{P}}\mid = \color{fuchsia}{2b}|
|\color{red}{a^2}+\color{fuchsia}{b^2}= \color{green}{c^2}|​

L'hyperbole horizontale: |\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2}= 1 |
​​ 
|\mid m \overline{F_1\color{orange}{P}} - m \overline{F_2\color{orange}{P}}\mid = \color{red}{2a}|
|\color{red}{a^2}+\color{fuchsia}{b^2}= \color{green}{c^2}|

​Peu importe l'orientation de l'hyperbole, le taux de variation des asymptotes (- - - ) équivaut à |\displaystyle \pm \frac{\color{fuchsia}{b}}{\color{red}{a}}|.​


​​ ​EXEMPLE​: L'HYPERBOLE
​​​​Finalement, Gitane décide de se rendre sur un cours d'eau un peu plus achalandé. À son grand malheur, elle constate qu'elle se fait dépasser par deux bateaux en simultané. Afin d'éviter de chavirer, elle doit déplacer son embarcation du point de rencontre des deux houles formées par les ​​bateaux. Bref, on peut représenter le tout de la façon suivante:
m1525i17.PNG
Avec ces données, détermine l'équation associée au modèle mathématique qui permettra à Gitane de mieux orienter sa navigation.​
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|m\overline{\color{red}{F_1} P} = \sqrt{(\color{red}{-8,21} - 10,63)^2 + (\color{red}{5} - 0)^2}|​
|\color{white}{m\overline{F_1 P}} = 19,49|​
​​|m\overline{\color{fuchsia}{F_2} P} = \sqrt{(\color{fuchsia}{16,21} - 10,63)^2 + (\color{fuchsia}{5} - 0)^2}|​
|\color{white}{m\overline{F_1 P}} = 7,49|​
​Calculer |d(\color{red}{F_1},P)| et |d(\color{fuchsia}{F_2}, P)|.
​|2a = \mid m\overline{\color{red}{F_1}P} - m \overline{\color{fuchsia}{F_2} P}\mid|
|\color{white}{2a} = \mid 19,49 - 7,49 \mid|
|\color{white}{2a} = 12|
|\color{white}{2}a = 6|
|\Rightarrow a^2 = 36|
​Utiliser la définition pour trouver la mesure de |a|
​|\color{blue}{k} = 5|
|\color{blue}{h} = \displaystyle \frac{\color{red}{-8,21} +\color{fuchsia}{16,21}}{2}|
|\color{white}{h} = 4|
​Déterminer les coordonnées du sommet |\color{blue}{(h,k)}| selon les propriétés de l'hyperbole.
​| c = \color{blue}{4} - \color{red}{(-8,21)}|
|\color{white}{c}= 12,21|
​Déduire la valeur de |c|.
|​\color{white}{\Rightarrow}c^2 = a^2 + b^2|
|\Rightarrow 12,21^2 = 6^2 + b^2|
|\color{white}{\Rightarrow} 113 \approx b^2|
​Trouver la valeur de |b^2| en utilisant la relation |c^2 = a^2 + b^2|.
L'équation qui définit l'hyperbole des houles qui vont se rencontrer est 
|\displaystyle \frac{(x-\color{blue}{4})^2}{36} - \frac{(y-\color{blue}{5})^2}{113} = 1|

​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​ ​

​Intersection entre une droite et une conique

Il s'agit en fait de résoudre un système d'équations en utilisant généralement la méthode de substitution.


​​​ ​EXEMPLE​
​ ​Un peu tânée de la pêche, Gitane décide de se payer un voyage dans une région où il est possible d'aller faire du bateau avec des requins aux allures préhistoriques tels des dinosaures de mer. Avec l'eau qui est pratiquement claire, elle peut les voir nager sans problème. Par contre, elle les perd de vue lorsqu'ils passent sous l'embarcation​.
m1525i18.PNG 
En prenant pour acquis qu'ils nagent en ligne droite à une vitesse de 5 m/sec, détermine pendant combien de temps les requins sont sous le navire.

​CALCULS​JUSTIFICATIONS
​|\color{red}{1 = \displaystyle \frac{(x-8)^2}{196} + \frac{(y-3)^2}{25} }|
|\color{blue}{y = \displaystyle \frac{2}{5}x - 1}​|
​Déterminer les équations de la conique et de la droite.
​​|\displaystyle \color{red}{1 =\frac{(x-8)^2}{196}} + \frac{(\color{blue}{\frac{2}{5}x - 1}-\color{red}{3)^2}}{\color{red}{25}}|
​Substituer le |\color{red}{y}| dans l'équation de l'ellipse par le |\color{blue}{y}| de la fonction linéaire.
​|\displaystyle \color{white}{49000}1 = \frac{x^2-16x+64}{196}+\frac{0,16x^2-3,2x+16}{25}|

|\color{white}{10}4900 = 25x^2 - 400x + 1600 + 31,36x^2 - 627,2x + 3136|
|\color{white}{49001}0 = 56,36x^2 - 1027,2x - 164|

|\displaystyle \Rightarrow \{\color{fuchsia}{x_1}, \color{green}{x_2}\} =\frac{-(-1027,2)\pm \sqrt{(-1027,2)^2 - 4 \cdot 56,36 \cdot (-164)}}{2\cdot 56,36}|

|\color{fuchsia}{x_1 \approx -0,16}| et |\color{green}{x_2 \approx 18,38}|
​Résoudre l'équation pour trouver les valeurs de |\color{fuchsia}{x_1}| et |\color{green}{x_2}|.
​|\displaystyle \color{fuchsia}{y_1} = \color{blue}{ \frac{2}{5}} \cdot \color{fuchsia}{(-0,16)} \color{blue}{-1}|
|\color{white}{y_1} \approx \color{fuchsia}{-1,06}|

|\displaystyle \color{green}{y_2} = \color{blue}{ \frac{2}{5}} \cdot \color{green}{18,38} \color{blue}{-1}|
|\color{white}{y_2} \approx \color{green}{6,35}|​
​Calculer les valeurs de |\color{fuchsia}{y_1}| et |\color{green}{y_2}|.
​|d(\color{fuchsia}{A}, \color{green}{B}) = \sqrt{(\color{green}{6,35} - \color{fuchsia}{(-1,06)})^2 + (\color{green}{18,38} - \color{fuchsia}{(-0,16)})^2}|
|\color{white}{d(A,B)} \approx 19,97 \ \text{m}|
​Calculer la distance entre |\color{fuchsia}{A (-0,16 ; -1,06)}| et |\color{green}{B(18,38 ; 6,35)}|.
​|\color{white}{\Rightarrow} \displaystyle \frac{5 \ \text{m}}{19,97 \ \text{m}} = \frac{1 \ \text{sec}}{? \ \text{sec}}|

|\Rightarrow ? = 1 \cdot 19,97 \div 5|
|\color{white}{\Rightarrow ?} \approx 3,99 \ \text{sec}|
​Déterminer le temps que le requin passe sous le bateau.
​​ ​​Le requin sera resté sous le bateau pendant environ 3,99 secondes.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​

​Les points remarquables dans le cercle trigonométrique

m1525i19.PNG
À partir de ce dessin, il est important de remarquer deux choses:
- les coordonnées de même couleur sont symétriquement liées
- un tour complet du cercle | = 2 \pi \ rad|


​​ ​EXEMPLE​
​Quelle est la coordonnée du point associé à un angle de |\displaystyle \frac{-17\pi}{4}| ?
​CALCULS​JUSTIFICATIONS
|\displaystyle ​\frac{-17\pi}{4} + 2\pi = \frac{-17\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{-9\pi}{4}|​

​|​\displaystyle \frac{-9\pi}{4} + 2\pi = \frac{-9\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{-\pi}{4}|​

|\displaystyle ​\frac{-\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}|​​
​Additionner ou soustraire un tour (|2\pi|) jusqu'à ce qu'on se retrouve dans l'intervalle |[0, 2\pi]|. 
​|\displaystyle P\left(\frac{-17\pi}{4}\right) = P\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2}\right)|Associer la bonne coordonnée à l'angle trouvé.


​Pour avoir accès à d'autres exemples et à plus d'explications sur cette notion, n'hésite pas à consulter ​ la bibliothèque virtuelle.​

Pour retourner au menu en haut de la page, clique ici.​​​

Les vidéos
Les exercices
Les références