Mathématique m1547

Les proportions

En mathématiques, une proportion est une relation d'égalité entre deux rapports ou deux taux.

Pour former une proportion, les deux rapports ou les deux taux doivent être équivalents.

Pour bien comprendre la notion de proportion,  il convient de survoler les concepts suivants.

Exemples de proportions


Les rapports suivants sont en proportion: ||\displaystyle 3:4=15:20||
En effet, les deux rapports sont équivalents.||\begin{align}3\div 4&=0,75\\ 15\div20&=0,75\end{align}||

Le taux suivants sont en proportion: ||\displaystyle \frac{300\ \text{habitants}}{5\ \text{km}^2}=\frac{600\ \text{habitants}}{10\ \text{km}^2}||En effet, les deux taux sont équivalents.||\begin{align}300\div 5&=60\ \text{habitants/km}^2\\ 600\div 10&=60\ \text{habitants/km}^2\end{align}||

Les termes d'une proportion

Étant donné qu'une proportion est l'égalité entre deux rapports ou deux taux, on y retrouvera toujours quatres termes.
Dans une proportion, on appelle les premier et quatrième termes les extrêmes. Les deuxième et troisième termes sont appelés les moyens.||\displaystyle \frac{\text{Extrême}}{\text{Moyen}}=\frac{\text{Moyen}}{\text{Extrême}}|| En d'autres mots, dans la proportion ||\color{blue}{a}:\color{green}{b}=\color{green}{c}:\color{blue}{d}\\ \text{ou}\\  \displaystyle \frac{\color{blue}{a}}{\color{green}{b}}=\frac{\color{green}{c}}{\color{blue}{d}}|| les termes |\color{blue}{a}| et |\color{blue}{d}| sont les extrêmes et les termes |\color{green}{b}| et |\color{green}{c}| sont les moyens.

Soit la proportion suivante: ||\displaystyle \frac{\color{blue}{1}}{\color{green}{2}}=\frac{\color{green}{4}}{\color{blue}{8}}||Les termes |\color{blue}{1}| et |\color{blue}{8}| sont les extrêmes.
Les termes |\color{green}{2}| et |\color{green}{4}| sont les moyens.

Le produit des extrêmes et des moyens

L'encadré suivant présente la propriété fondamentale des proportions.

Dans une proportion, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.

Si |\displaystyle \frac{\color{blue}{a}}{\color{green}{b}}=\frac{\color{green}{c}}{\color{blue}{d}}|,

alors |\color{blue}{a}\times \color{blue}{d}=\color{green}{b}\times \color{green}{c}|.

Soit la proportion suivante: ||\displaystyle \frac{3}{4}=\frac{9}{12}||On remarque que le produit des extrêmes et égal au produit des moyens. ||\begin{align}3\times 12&=4\times 9\phantom{1}\\36&=36\end{align}||De cette propriété découle le produit croisé qui permet de trouver un terme manquant dans une proportion, le même produit croisé qui permet de résoudre une situation de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité

Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur des taux ou des rapports d'une proportion pour obtenir le dénominateur.

Soit la proportion suivante: ||\displaystyle \frac{2}{6}=\frac{7}{21}||Dans cette proportion, le coefficient de proportionnalité est |\color{red}{3}|.

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Le coefficient de proportionnalité peut être utilisé pour résoudre une situation de proportionnalité.

Le facteur de changement

Dans une proportion, le facteur de changement est le nombre par lequel il faut multiplier le numérateur (ou le dénominateur) d'un rapport ou d'un taux pour obtenir le numérateur (ou le dénominateur) de l'autre rapport ou taux.

Soit la proportion suivante: ||\displaystyle \frac{4}{5}=\frac{24}{30}||

Dans cette proportion, le facteur de changement est |\color{red}{6}|.
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Le facteur de changement peut lui aussi être utilisé pour résoudre une situation de proportionnalité.

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Les exercices
Les références