Mathématique m1555

La notation valeur absolue

​​La valeur absolue d'un nombre permet de considérer ce nombre sans tenir compte de son signe.

La valeur absolue d'un nombre réel |x|, notée | \mid x \mid = \left\{\begin{matrix}
x & \text{si } x\geq 0\\
-x & \text{si } x<0
\end{matrix}\right.|

Déterminer la valeur absolue de chacune des expressions. 

1. |\mid 210\mid \ =\  210|

2. |\mid -18\mid\ =\ 18| 

3. |\mid -\dfrac{3}{5}\mid \ =\ \dfrac{3}{5}|

4. |\mid -2\times 45\mid \ =\ \mid -90\mid \ =\ 90|

En s'appuyant sur la définition, on peut également déduire des propriétés importantes en lien avec la factorisation d'expressions algébriques qui contiennent des valeurs absolues.

​Propriétés

​Exemples

​||\mid x\mid \geq 0||
​||\mid -1,3\mid =1,3\text{  et  }1,3\geq 0||
​||\mid x\mid = \mid -x\mid ||
||\mid 4,5\mid = \mid -4,5\mid \\ 4,5=4,5||​
​||\mid x\times y\mid = \mid x\mid \times \mid y\mid|| 
||\mid -1,5\times 6,3​\mid = \mid -1,5\mid \times \mid 6,3\mid \\ \mid -9,45\mid = 1,5\times 6,3\\ 9,45=9,45||
​||\left| \dfrac{x}{y}\right| =\dfrac{\mid x \mid}{\mid y\mid}\text{ si}\ y\neq 0||
​||\left|\frac{-12,3}{2}\right| = \frac{\mid -12,3\mid }{\mid 2\mid }\\ \mid -6,15\mid = \frac{12,3}{2}\\ 6,15=6,15||


Les exemples qui suivent font l'application des propriétés de la valeur absolue. 

1. | \mid -2 \mid  = 2|

2. | \mid 1,2 \mid \cdot \mid -5 \mid =\mid 1,2 \cdot -5 \mid = \mid -6 \mid = 6|

3. |\dfrac{\mid -12 \mid}{\mid 3 \mid} = \mid \dfrac{-12}{3} \mid= \mid -4 \mid = 4|

4. |\mid -5(x-4)\mid = \mid -5\mid \cdot \mid (x-4)­\mid = 5\mid x-4 \mid| 

​​​Ces notations et ces propriétés sont importantes à connaitre lorsque l'on travaille avec les fonctions valeur absolue.

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Les références