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Mathématiques financières

En finance, lorsque vient le temps de faire des emprunts, des placements ou des investissements, les frais d'emprunts ou le rendement sont généralement déterminés à l'aide de pourcentages. Au niveau mathématique, le tout peut être modéliser à l'aide de la fonction exponentielle. Pour bien comprendre les calculs derrière cette branche des mathématiques, il est important de maîtriser le langage et la terminologie qui lui sont associés.

Définition des concepts​

Peu importe si la situation fait référence à un gain ou à une perte d'argent, la situation décrite est toujours en lien avec une période de temps précise et un taux d'intérêt précis.

Par contre, la méthode de calcul de ces intérêts peut différer d'une situation à l'autre. Pour savoir quelle méthode utiliser, il faut s'en remettre aux informations et aux mots-clés présents dans l'énoncé. 

Période d'intérêt​

La période d'intérêt est le temps, généralement en années, qui s'écoule entre le début d'un placement ou d'un prêt et une capitalisation future.

La période d'intérêt a une signification différente pour le prêteur ou l'emprunteur.
Prêt
Pour un prêteur, l'intérêt se transforme en une quantité d'argent qu'il reçoit en plus du montant initial prêté.  ​

$ final reçu=$ initial prêté+$ des intérêts
​Ainsi, lorsque le prêt arrive à terme, le prêteur récupère le montant initial en plus de la prime pour son geste, soit l'intérêt.

Afin d'aider un ami d'enfance à créer sa propre compagnie, un homme lui prête 5 000 $. 5 ans plus tard, son ami s'acquitte de ses dettes en lui remettant le 5 000$ et 500 $ d'intérêt en guise de remerciement.

Après 5 ans, voici le portrait de la situation du point de vue du prêteur:
période d'intérêt$ initial$ intérêts$ final reçu=5 ans=5 000 $=500 $=5 500 $

Au final, un prêteur finit avec plus d'argent qu'il en avait prêté au départ. 

De l'autre côté de la médaille, une personne qui emprunte doit non seulement rembourser la totalité du montant initial, mais doit aussi rembourser l'intérêt.

Emprunt
Pour un emprunteur, l'intérêt se transforme en une quantité d'argent qu'il remet au prêteur en plus du montant initial emprunté. 

$ final remis=$ initial prêté+$ des intérêts

​​Ainsi, lorsque l'emprunt arrive à terme, l'emprunteur rembourse le montant initial en plus de la prime pour son geste, soit l'intérêt. 

Afin d'aider un ami d'enfance à créer sa propre compagnie, un homme lui prête 5 000 $. 5 ans plus tard, son ami s'acquitte de ses dettes en lui remettant le 5 000$ et 500 $ en guise de récompense.
 
Après 5 ans, voici le portrait de la situation du point de vue de l'emprunteur:
période d'intérêt$ initial$ intérêts$ final remis=5 ans=5 000 $=500 $=5 500 $

Au final, un emprunteur rembourse plus d'argent qu'il en a emprunté au départ. ​

​Dans un contexte plus concret, voici comment les notions de prêts et d'emprunts se manifestent.

Prêt personnel
Généralement, les institutions financières et les compagnies de crédit prêtent de l'argent à leurs membres tout en y associant un taux d'intérêt. Au final, l'argent amassé par le biais de ce taux d'intérêt se traduit en gain pour les prêteurs, mais en perte pour le membre.

Placement
Lorsqu'une personne prête de l'argent à une institution financière, il est alors question de placements. En général, les placements ont un capital garanti, mais un faible rendement. En d'autres mots, la personne ne perdra pas le montant initial placé, mais le montant d'argent qu'il obtiendra par le biais des intérêts sera peu élevé. Financièrement parlant, on parlera de risque faible et d'un faible potentiel de rentabilité. 

Investissement
Lorsqu'une personne prête de l'argent à une compagnie, il est alors question d'investissement. En général, la compagnie utilise cet argent pour s​e développer et augmenter ses revenus. Ainsi, si la compagnie augmente ses revenus, une part de ce gain sera remise à la personne. Par contre, si la compagnie ne fait aucun revenu et qu'elle ferme ses portes, alors la personne risque de perdre son ​capital investit​. Financièrement parlant, on parlera de risques élevés, mais d'un fort potentiel de rentabilité. 

Les exemples précédents permettent de bien comprendre le concept d'intérêt vu par le prêteur et l'emprunteur. Cependant, dans la plupart des situations à saveur financière, l'intérêt calculé en fonction du montant initial sera rarement un montant fixe; l'intérêt augmentera avec le temps. Cette augmentation de l'intérêt dans le temps est généralement dictée par ce qu'on appelle des taux d'intérêt. 

Taux d'intérêt simple

​Un taux d'intérêt, généralement un pourcentage annuel (%) écrit en notation décimale et noté i, est dit simple si ce taux d'intérêt est toujours calculé en fonction du même montant, soit le montant initial. ​Ainsi, la variation est toujours constante dans le temps (foncti​on de variation partielle​) puisque le montant initial et le taux d'intérêt ne varient pas. 

Si un montant de 1 000 $ est placé à un taux d'intérêt simple de 3 % sur une durée de 5 ans, on obtient le rendement suivant:
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​Par contre, dans certains cas, les taux d'intérêts peuvent avoir une influence exponentielle sur le prêt, le placement ou l'investissement. C'est le cas des taux d'intérêt composés. 

Taux d'intérêt composé

​Un taux d'intérêt, généralement un pourcentage annuel (%) écrit en notation décimale et noté i, est dit composé si l'intérêt est calculé en fonction du ​montant initial en plus des intérêts accumulés à la fin de chaque péridode d'intérêt. ​​Ainsi, l'intérêt augmentera de plus en plus rapidement avec le temps. En fait, l'intérêt augmentera de façon exponentielle.

​Si un montant de 1000 $ est placé à un taux d'intérêt de 3% composé annuellement sur une durée de 5 ans, on obtiendra le rendement suivant:

​Nbr d'années écoulés
​Rendement annuel​ ($)
Capital ($)
01000
13% de 1000=301000+30=1030
2
3% de 1030=30,90
1030+30,90=1060,90
3
​​3% de 1060,9031,831060,90+31,83=1092,73
​​43% de 1092,7332,781092,73+32,78=1125,51
​​5​​3% de 1125,5133,771125,51+33,77=1159,28

Ainsi, le montant récolté après 5 années sera d'environ 1 159,28 $.


L'idée derrière ces deux types de taux d'intérêt est d'être en mesure de calculer l'argent amassé au terme d'une certaine période afin de faire le meilleur choix possible.

Capitalisation​


​Une valeur future, généralement notée Cn, est le montant final que l'on obtient au terme d'un prêt ou d'un emprunt.

En terme financier, on fait référence à cette valeur en utilisant le terme capitalisation.

Ainsi, on peut vulgariser le tout en disant que la valeur future et la capitalisation sont des synonymes. Dans les deux cas, il s'agit du montant que l'on désire obtenir au terme de la période d'intérêt. 

​Une personne désire faire des placements​ pour sa retraite. Ainsi, il place un montant de 10 000 $ sur 20 ans à un taux d'intérêt de 2,05 % composé annuellement. 

Ainsi, la capitalisation de son 10 000 $ initial est estimée à 15 005,84 $. 

​Comme le fait état l'exemple précédent, il faut absolument connaître la période et le taux d'intérêt afin de déterminer la capitalisation. 

Pour bien comprendre le raisonnement mathématique qui se cache derrière ces nombres, n'hésite pas à consulter la fiche sur le calcul de la capitalisation

Actualisation

​​Une valeur actuelle, généralement notée C0, est le montant initial que l'on désire prêter ou emprunter. 

En terme financier, cette valeur actuelle est synonyme de capital​.
En fait, l'actualisation est l'inverse de la capitalisation.

En effet, si la valeur future, la période et le taux d'intérêt sont connus, l'actualisation consiste à déterminer la valeur actuelle permettant d'atteindre un certain objectif.

​Suite à de durs labeurs, un père de famille désire utiliser un peu de ses économies pour la faire fructifier afin d'emmener sa famille en voyage dans exactement 3 ans. 

S'il sait que le voyage lui coûtera un total de 7 500 $ et que les taux d'intérêts actuels sont de 2,55 %, alors l'actualisation de 7 500 $ se chiffrera à 6 954,31 $.

En d'autres mots​, le père devra placer 6 954,31 $ sur une période d'intérêt de 3 ans afin de pouvoir partir en voyage.
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