Mathématique m1569

Capitalisation et modélisation d'une situation financière

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Comme il est mentionné dans la fiche en-tête de cette section des mathématiques financières​, ce type de situation peut être modélisée de deux façons distinctes.

Peu importe la modélisation que l'on utilise, il est essentiel de pouvoir passer de l'écriture d'un pourcentage vers l'écriture d'un nombre en notation décimale.

Modélisation d'intérêt simple

En guise de rappel, ce type de modélisation fait référence à la fonction linéaire​ de degré 1​​. Financièrement parlant, cela signifie que les intérêts sont toujours calculés sur le montant initial. En effet, à la fin de chaque période, les intérêts obtenus pendant celle-ci ne sont pas ajoutés au capital initial pour le prochain calcul des intérêts.

Avec une période d'intérêt annuel

Non seulement le taux d'intérêt est annuel, mais il arrive souvent que la capitalisation se fasse également annuellement. En d'autres mots, cela implique que les intérêts ne sont calculés qu'une fois par année.​

Quelle est la représentation graphique d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt simple de |3,25 \%| sur une période de 3 ans?

1. Calculer le montant d'intérêt obtenu après chaque période d'intérêt
||\begin{align} \small{3,25 \ \% \ \text{de} \ \color{red}{3000}} &= \small{3,25 \ \% \times \color{red}{3000}} \\
&= \small{0,0325 \times \color{red}{3000}} \\
&= \small{\color{blue}{97,50}\ \$}\end{align}||
2. Construire une table des valeurs 
||\begin{align}
\small{\text{Nb d'années écoulées}} &&& \small{\$ \ \text{récolté}} \\
0 &&& \color{red}{3000} \\
&&&&& \small{+\color{blue}{97,50}} \\
1 &&& 3097,50 \\
&&&&& \small{+\color{blue}{97,50}} \\
2 &&& 3195 \\
&&&&& \small{+ \color{blue}{97,50}} \\
3 &&& 3292,50 ​\end{align}||​
3. Construire le graphique
Ce graphique, illustrant la valeur du placement selon le nombre d'années, comprend le nombre d'années en axe des abscisses et la valeur du placement en dollars sur l'axe des ordonnées. 

m1569i01.PNG

En reliant les points, on s'aperçoit qu'ils sont parfaitement alignés. Ainsi, on peut déduire la règle d'une telle représentation graphique.

||\begin{align} y &= \color{blue}{a} x + \color{red}{b} \\
\text{valeur future} &= \color{blue}{\$ \ \text{d'une période d'intérêt}} \ n + \color{red}{\text{valeur actuelle}}\\
C_n​ &= \color{blue}{C_0 \cdot i} \ n + \color{red}{C_0}\\
C_n​ &= C_0 ​(i \cdot n +  1) \\\\
\small\text{avec} \ & C_n : \small\text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& C_0 : \small\text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& i : \small\text{Taux d'intérêt simple annuel en notation décimale} \\
& n : \small\text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)}​\end{align}||
Une fois la règle trouvée, on peut l'utiliser pour calculer la capitalisation suite à une période précise.

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt simple de |3,25 \%| sur une période de 10 ans?

1. Trouver la règle
||\begin{align}
C_n​ &= C_0 &&(i \cdot n +  1) \\
C_n &= 3000 && (0,0325 \cdot n +  1)  \end{align}||
2. Calculer la valeur future selon la période donnée
||\begin{align}
C_n &= 3000 && (0,0325 \cdot n  +  1) \\
&= 3000 && (0,0325 \cdot 10  +  1) \\
​&= 3000 && \cdot 1,325\\
&= 3975\end{align}||​
3. Interpréter la réponse

Après une période de 10 ans, la valeur actuelle |C_0 = 3000\ \$| est devenue une valeur future |C_n=3975 \ \$|.

Comme il est précisé dans l'encadré​ Règle plus haut, la valeur associée à la variable |n| doit vraiment correspondre au nombre de périodes d'intérêt.

Une telle distinction est digne de mention lorsque vient le temps de travailler avec des périodes d'intérêt qui ne sont pas annuelles. 

Avec une période d'intérêt autre qu'annuel

​De façon générale, les termes suivants sont utilisés pour définir les différentes périodes d'intérêt.

​||\begin{align}
\text{Période} &\phantom{=} \ \ \text{Définition} && \phantom{=} \ \text{Fraction d'une année} \\​
\text{Quotidienne} &= \ \text{Une fois par jour} && = \ \frac{1}{365} \\\\​
\text{Hebdomadaire} &= \ \text{Une fois par semaine} && = \ \frac{1}{52} \\\\​
\text{Mensuelle} &= \ \text{Une fois par mois} && = \ \frac{1}{12} \\\\​
\text{Trimestrielle} &= \ \text{Une fois tous les 3 mois} && = \ \frac{1}{4} \\\\​
\text{Sémestrielle} &= \ \text{Une fois tous les 6 mois​} && = \ \frac{1}{2} \\\\​
\end{align}||
De façon générale, les taux d'intérêt en lien avec ces périodes sont calculés selon le taux annuel en vigueur. Même si la période d'intérêt est modifiée, la formule pour déterminer la valeur future ne subit qu'une légère modification

||\begin{align}
C_n​ &= C_0 \left(\frac{i}{k} \cdot n +  1\right) \\\\
\small\text{avec} \ & C_n : \small\text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& C_0 : \small\text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& i : \small\text{Taux d'intérêt simple annuel en notation décimale} \\
& k: \small\text{Facteur en lien avec la période d'intérêt} \\
& n : \small\text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)}​\end{align}||
En utilisant ces nouveaux concepts, on peut maintenant résoudre ce genre de problème. 

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt simple annuel de |3,25 \%| sur une période de 10 ans avec une période d'intérêt semestrielle?

1. Trouver la règle
||\begin{align}
C_n​ &= C_0 &&\left(\frac{i}{k} \cdot n +  1\right) \\
C_n &= 3000 &&\left(\frac{0,0325}{2} \cdot n  + 1\right)  \end{align}||
2. Déterminer le nombre de périodes d'intérêt
||\begin{align} \small\text{semestrielle pendant 10 ans} &= \small\text{2 fois par année pendant 10 ans}\\
 &= 2 \times 10 \\
&= 20\end{align}||
3. Calculer la valeur future selon la période donnée
||\begin{align}
C_n &= 3000 &&\left(\frac{0,0325}{2} \cdot n  + 1\right)​ \\
&= 3000 &&\left(\frac{0,0325}{2} \cdot 20  + 1\right)​ \\
​&= 3000 && (0,325 + 1 )\\
&= 3975\end{align}||​
4. Interpréter la réponse

Après une période de 10 ans, la valeur actuelle |C_0 = 3000\ \$| est devenue une valeur future |C_n=3975 \ \$|.

Comme on peut le constater avec un intérêt simple, la période d'intérêt n'a aucune influence sur la valeur future. Par contre, on peut remarquer une certaine variation lorsque l'on utilise l'intérêt composé.​

Modélisation d'intérêt composé

En guise de rappel, ce type de modélisation fait référence à la fonction exponentielle​. Financièrement parlant, cela signifie que les intérêts sont toujours calculés sur la capitalisation obtenue de la période d'intérêt précédente. En d'autres mots, les intérêts sont composés si, à la fin de chaque période, les intérêts de la période sont ajoutés au capital pour un prochain calcul d'intérêts dans la période suivante.

Avec une période d'intérêt annuel

Non seulement le taux d'intérêt est annuel, mais il arrive souvent que la période d'intérêt se chiffre également en années. En d'autres mots, cela implique que les intérêts ne sont calculés qu'une fois par année.​

Quelle est la représentation graphique d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt composé de |3,25 \%| sur une période de 2 ans?

1. Calculer le montant d'intérêt obtenu à chaque période d'intérêt
||\begin{align}
\small{\text{Nb d'années écoulées}} &&& \small{\$ \ \text{récolté}} \\
0 &&& \color{red}{3000} \\
&&&&& \small{+ \ 3,25\% \ \text{de} \ 3000 =\color{blue}{97,50}} \\
1 &&& 3097,50 \\
&&&&& \small{+ \ 3,25\% \ \text{de} \ 3097,50 \approx \color{blue}{100,67}} \\
2 &&& 3198,17 ​\end{align}||​
2. Construire le graphique
m1569i02.PNG

Dans l'exemple précédent, la ligne droite rouge représente un calcul d'intérêt simple. Par contre, la ligne courbe bleue représente un calcul d'intérêt composé. De cette façon, on peut voir que la capitalisation d'intérêt composé donne une plus grande valeur à long terme. 

En utilisant l'exemple précédent, on peut déduire la règle d'une telle représentation graphique.

||\begin{align} C_n&=C_0 (1+i)^n\\\\
\small\text{avec} \ & C_n : \small\text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& C_0 : \small\text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& i : \small\text{Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale} \\
& n : \small\text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)} \end{align}||​

Pour comprendre son origine, on doit utiliser la factorisation et la substitution.

||\begin{align}
3198,17 &= \underbrace{\color{blue}{3000}}_{\text{valeur actuelle}} + \underbrace{\color{blue}{3000 \cdot 0,0325}}_{\$ \ \text{de l'intérêt après 1 an}} + \underbrace{(3000+3000\cdot 0,0325)\cdot 0,0325}_{\$ \ \text{de l'intérêt après 2 ans}} \\
&= \underbrace{\color{blue}{3000 \cdot (1 + 0,0325)}}_{\text{mise en évidence de 3000}} + (3000 + 3000 \cdot 0,0325) \cdot 0,0325\\
&= \color{blue}{3000 \cdot (1 + 0,0325)}+ \underbrace{(\color{blue}{3000 \cdot (1 + 0,0325)}​)}_{\text{substitution selon la 1ere ligne}} \cdot 0,0325 \\
&= \underbrace{\color{blue}{3000 \cdot (1 + 0,0325)}}_{\text{mise en évidence}}​ \cdot (1+0,0325)\\
3198,17&= 3000 \cdot \underbrace{(1 + 0,0325)​^2}_{\text{définition de l'exposant}} \\\\
&\small{\text{En généralisant, on obtient}}\\\\
C_n &= C_0 (1 + i)^n \end{align}||
Une fois la règle trouvée, on peut l'utiliser pour calculer la capitalisation suite à une période précise.

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt annuel composé de |3,25 \%| sur une période de 10 ans?

1. Trouver la règle
||\begin{align}
C_n​ &= C_0 &&(1 + i)^n \\
&= 3000  &&(1 + 0,0325)^{n}\end{align}||
2. Calculer la valeur future selon la période donnée
||\begin{align}
C_n &=  3000  &&(1 + 0,0325)^{n}\\
&= 3000  &&(1,0325)^{10} \\
&\approx 3000 &&\cdot 1,376 \ 89 \\
&\approx 4130,68 ​\end{align}||​
3. Interpréter la réponse

Après une période de 10 ans, la valeur actuelle |C_0 = 3000\ \$| est devenue une valeur future |C_n\approx 4130,68 \ \$|.

Avec une période d'intérêt inférieure à un an

​En ce qui concerne la formule utilisée pour calculer la valeur future, il s'agit simplement de diviser le taux d'intérêt annuel selon la période d'intérêt donnée. 

||\begin{align} C_n&=C_0 \left(1+\frac{i}{k}\right)^n\\\\
\small\text{avec} \ & C_n : \small\text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& C_0 : \small\text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& i : \small\text{Taux d'intérêt composé annuel en notation décimale} \\
& k : \small\text{Facteur en lien avec la période d'intérêt} \\
& n : \small\text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)} \end{align}||​

Toujours en se référant au vocabulaire en lien avec les périodes d'intérêt, on s'aperçoit que cette dernière a un effet considérable sur la valeur future avec un intérêt composé.

Quelle serait la valeur future d'un placement de |\color{red}{3000 \ \$}| avec un taux d'intérêt annuel composé de |3,25 \%| sur une période de 10 ans avec une période d'intérêt mensuelle?

1. Trouver la règle
||\begin{align}
C_n​ &= C_0 &&\left(1 + \frac{i}{k}\right)^n \\
&= 3000  &&\left(1 + \frac{0,0325}{12}\right)^{n}\end{align}||
2. Déterminer le nombre de périodes d'intérêt
​||\begin{align} \small\text{mensuelle pendant 10 ans} &= \small\text{12 fois par année pendant 10 ans}\\
 &= 12 \times 10 \\
&= 120\end{align}||
3. Calculer la valeur future selon la période donnée
||\begin{align}
C_n &=  3000  &&\left(1 + \frac{0,0325}{12}\right)^{n}\\
&= 3000 && \left(1 + \frac{0,0325}{12}\right)^{120}\\
&\approx 3000  &&(1,002\ 7)^{120} \\
&\approx 4150,27 ​\end{align}||​
3. Interpréter la réponse

Après une période de 10 ans, la valeur actuelle |C_0 = 3000\ \$| est devenue une valeur future |C_n\approx 4150,27 \ \$|.

Dans certains cas, il se peut que la période d'intérêt soit supérieure à un an. Dans ce cas, il est important de bien définir les variables afin de déduire la règle associée à une telle situation.

Avec une période d'intérêt supérieure à un an

En ce qui concerne la formule, elle est très similaire à celle vue précédemment.

||\begin{align} C_n&=C_0 (1+i)^n\\\\
\small\text{avec} \ & C_n : \small\text{Valeur future (Capital accumulé)} \\
& C_0 : \small\text{Valeur actuelle (Capital initial)} \\
& i : \small\text{Taux d'intérêt composé en notation décimale} \\
& n : \small\text{Nombre de périodes d'intérêt (Durée)} \end{align}||​

Comme on peut le constater avec les exemples précédents, il est essentiel de bien comprendre la situation afin de comptabiliser adéquatement le nombre de périodes d'intérêt.

Avant de renouveler le contrat de son directeur du marketing, une entreprise analyse l'évolution de ses profits. Par soucis de constance, les contrats sont d'une durée de 3 ans pour ce type de poste. Pour les 3 dernières années, la compagnie a vue ses profits augmenter de |7,56 \%|.
Si le contrat du directeur du marketing est renouvelé, quelle serait la valeur des profits dans 9 ans s'ils sont actuellement de |1,5 \ M \ \$|?

1. Trouver la règle
||\begin{align}
C_n​ &= C_0 &&(1 + i)^n \\
&= 1,5 &&(1 + 0,0756)^{n}\end{align}||
2. Déterminer le nombre de périodes d'intérêt
​||\begin{align} \small\text{à tous les 3 ans} &= \small\text{1 fois à chaque 3 ans pendant 9 ans}\\
 &= 9 \div 3\\
&= 3\end{align}||
3. Calculer la valeur future selon la période donnée
||\begin{align}
C_n &=  1,5&& (1 + 0,0756 )^{n}\\
&= 1,5 && (1 + 0,0756 )^{3}\\
&= 1,5 &&(1,0756)^{3} \\
&\approx 1,87 ​\end{align}||​
3. Interpréter la réponse

Si le directeur du marketing est engagé pour les 9 prochaines années tout en conservant le même rendement, la valeur future des profits de la compagnie sera d'environ |1,87 \ M \ \$|.

Comparaison graphique des deux modèles

 

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