Physique p1017

La force équilibrante et la force résultante de plusieurs forces

La force résultante

La force résultante représente la force obtenue par l’addition vectorielle de toutes les forces en présence sur un objet. 

Une force résultante est équivalente à l'ensemble des forces appliquées sur l'objet. Pour déterminer la force résultante, il faut tenir compte de l'intensité des forces en présence, du sens et de l'orientation de ces forces.

Trois chevaux tirent sur un arbre tel que schématisé ci-dessous (chaque cheval est représenté par une force : |F_1|, |F_2| et |F_3|. Dans quelle direction l'arbre tombera-t-il? Quelle sera la force exercée sur cet arbre?p1017i1.JPG

Pour déterminer la force résultante, il faut additionner les vecteurs. Pour ce faire, la méthode des composantes est celle à privilégier, puisqu'elle permet de convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes. Il sera ensuite possible d'additionner les composantes (les composantes en x ensemble et les composantes en y ensemble) pour ensuite déterminer la norme et l'orientation du vecteur résultant.

En premier lieu, il faut décomposer les vecteurs en composantes.
​Composante horizontale
​Composante verticale
​|\color {blue} {F_1}||3\:000 \: \text {N} \times \cos 10^{\circ} = 2\:954 \: \text {N}|​|3\:000 \: \text {N}\times \sin 10^{\circ} = 521 \: \text {N}|
​|\color {red} {F_2}|​|2\:500 \: \text {N}\times \cos 60^{\circ} = 1\:250 \: \text {N}|​​|2\:500 \: \text {N}\times \sin 60^{\circ} = 2\:165 \: \text {N}|
​|\color {green} {F_3}|​|2\:300 \: \text {N} \times \cos 110^{\circ} = -787 \: \text {N}|​​|2\:300 \: \text {N}\times \sin 110^{\circ} =2\:161 \: \text {N}|

Lorsque les trois vecteurs ont été décomposés, il faut additionner les composantes horizontales de chacun des vecteurs ensemble, et faire de même avec les composantes verticales.

​Composante horizontale
​Composante verticale
​|\color {blue} {F_1}||2\:954 \: \text {N}|​|521\: \text  {N}|
​|\color {red} {F_2}|​|1\:250 \: \text {N}|​​|2\:165 \: \text {N}|
​|\color {green} {F_3}|​|-787 \: \text {N}|​​|2\:161 \: \text {N}|
|\text {​Somme}|
​|2\:954+ 1\:250 + -787 = 3\:417 \: \text {N}|
​|521+ 2\:165 + 2\:161 = 4\:847 \: \text {N}|

À partir des composantes obtenues, il faut ensuite reconstruire un vecteur en déterminant sa norme et son orientation. Il faut donc transformer les coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires.

p1017i2.JPG 

Pour déterminer la norme, il faut utiliser le théorème de Pythagore.
||\begin{align} F_r = \sqrt{{F_x}^2 + {F_y}^2} \quad \Rightarrow \quad r &= \sqrt{ {(3\:417 \: \text{N})^2} +  {(4\:847 \: \text{N})^2}}  \\ &= \sqrt{35\:169\:298}\\ & \approx 5930 \: \text{N} \end{align}||
Pour déterminer l'orientation, on utilise la trigonométrie.
||\begin{align} \theta=\tan^{-1} \left(\frac{ {y}}{ {x}} \right)\quad \Rightarrow \quad \theta &=\tan^{-1} = \left( \frac{ {4\:847 \: \text{N}}}{{3\:417\: \text{N}}} \right)\\
&= \tan^{-1}\left(1,418...\right)\\
& \approx 54,8^{\circ}\end{align}||
La force résultante est donc |5\:930\:\text {N}| à |54,8^{\circ}|. Dans le contexte du problème, si un cheval exerçait une telle force, il produirait le même résultat que les trois chevaux de la mise en situation ci-dessus.

La force équilibrante

La force équilibrante est la force qu’il faut ajouter à un système de forces pour que la somme des forces soit égale à zéro.

En d'autres mots, la force équilibrante est la force qui annule la force résultante. L'objet conserva ainsi son inertie. Elle est de même grandeur que la force résultante, mais elle est exercée en direction opposée. Pour inverser le sens de la force résultante, deux options sont offertes selon le type de coordonnées présentées:

  • Si les coordonnées polaires (norme et orientation) sont connues, il faudra ajouter |\small 180^{\circ}| à l’orientation du vecteur résultant (si l'orientation du vecteur résultant est inférieure à |\small 180^{\circ}|) ou soustraire |\small 180^{\circ}| (si l'orientation du vecteur résultant est supérieure ou égale à |\small 180^{\circ}|).

  • Si les coordonnées cartésiennes (composantes en x et y) sont connues, il faut changer le signe de chacune des composantes.

Dans l’exemple précédent, la force équilibrante serait de |\small 5\:930\:\text {N}| à |\small 234,8^{\circ}| (coordonnées polaires)  ou |\left( \small -3\: 417 \: \text {N}, -4\: 847 \text {N} \right)| en coordonnées cartésiennes.

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