Physique p1036

La vergence

​​​​​La vergence |(C)| est la capacité d’une lentille à faire dévier les rayons lumineux. 

Plus la vergence d’une lentille est grande, plus les rayons sont déviés et donc, plus le foyer sera près du centre optique.

La vergence est inversement proportionnelle à la longueur focale.

Pour déterminer la vergence d'une lentille, la formule suivante peut être utilisée:
|C = \displaystyle \frac {1}{l_{f}}|

|C| représente la vergence de la lentille en dioptries |(\delta)|
|l_{f}| représente la longueur focale en mètres |(\text {m})|

La vergence peut être calculée seulement si la longueur focale est mesurée en mètres.
De plus, par convention, on ajoutera un signe négatif devant la vergence d’une lentille divergente.

Quelle est la vergence d'une lentille biconcave ayant une longueur focale de |\small \text {20 cm}|?

Puisque la lentille est biconcave, la longueur focale doit être négative. De plus, la longueur focale doit être transformée en mètres: |l_{f} = -0,20 \: \text {m}|.
||\begin{align} C = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad C &= \frac {1}{-0,20 \: \text {m}} \\ \\ &= -5 \space \delta \end{align}|| ​
La vergence de la lentille biconcave est donc |-5 \: \delta|.

Équation de l’opticien

L’équation de l’opticien (aussi appelée l’équation du lunettier) est utilisée pour calculer la vergence d’une lentille en se basant sur ses caractéristiques physiques.  
Regardons d’abord comment une lentille est construite. 

p1036i1.JPG 

Sur le schéma ci-dessus, la lentille est colorée en gris.  La vergence de la lentille dépendra de la taille des deux cercles dont est issue la lentille et le matériau utilisé pour construire la lentille. 

L’équation de l’opticien est définie par la formule suivante:
|C = (n - 1) \times \displaystyle (\frac {1}{R_{1}} + \frac {1}{R_{2}})|

|C| représente la vergence de la lentille en dioptries |(\delta)|
|n| représente l'indice de réfraction de la lentille
|R_{1}| représente le rayon de courbure de la première surface courbe rencontrée par la lumière en mètres ​|(\text{m})|
|R_{2}| représente le rayon de courbure de la deuxième surface courbe rencontrée par la lumière en mètres |(\text{m})|

De cette formule, quelques éléments importants doivent être considérés.

  • Tout d'abord, les mesures de |R_{1}| et |R_{2}| sont positives pour une surface convexe. Elles sont négatives pour une surface concave.
  • |R_{1}| représente la mesure associée à la face de gauche sur la lentille. Elle ne représente pas nécessairement le cercle qui est à gauche, comme on peut le voir sur l’illustration ci-dessus. De même, |R_{2}| est associée à la mesure de la face droite de la lentille.
  • Lorsqu'une des faces de la lentille est plane, comme une lentille plan-convexe ou plan-concave, le rayon de courbure est considéré comme étant à l'infini. On peut donc enlever ce rayon de courbure de l'équation et considérer uniquement le rayon de courbure de la une surface courbe.
  • Enfin, dans la parenthèse |(n-1)|, le chiffre 1 représente l’indice de réfraction de  l’air ou du vide. Ainsi, si la lentille est placée dans un autre milieu, il sera nécessaire de modifier ce chiffre par l’indice de réfraction approprié.
​Type de lentille
​Biconvexe ​Plan-convexe
​Ménisque convergent
​Biconcave ​Plan-concave ​Ménisque divergent
​Forme p1035i2.JPG p1035i3.JPG p1035i4.JPG p1035i9.JPG p1035i10.JPG p1035i11.JPG
​|R_{1}| Positif
​Infini ​Négatif ​Négatif Négatif ​Négatif
​|R_{2}| Positif Positif ​Positif ​Négatif ​Infini ​Négatif

Certains éditeurs utilisent la formule suivante:
|C = (n - 1) \times \displaystyle (\frac {1}{R_{1}} - \frac {1}{R_{2}})|
Cette formule est tout aussi valable, mais les signes des différents rayons de courbure varieront par rapport aux signes présentés dans le tableau précédent.

Sur l’illustration suivante, une lentille de verre (|n = 1,5|) est formée à partir de deux cercles : le premier ayant un rayon de courbure |\small R_{1} = \text {35 cm}| et l’autre ayant un rayon de courbure |\small R_{2} = \text {20 cm}|. Quelle est la vergence de cette lentille ?
p1036i2.JPG
Dans l'illustration ci-dessus, |R_{1}| est associé à une surface concave. Le rayon de courbure de cette face sera donc négatif. Pour l'autre face de la lentille, |R_{2}| est plutôt associé à une surface convexe. Son rayon de courbure sera donc positif. 
 
Il faut transformer les longueurs focales en mètres en tenant compte des signes.
||\begin{align}R_{1} &= -0,35 \: \text{m} & R_{2} &= + 0,20 \: \text{m} \end{align}||
En utilisant l’équation de l’opticien:
||\begin{align} C = (n - 1) \times (\frac {1}{R_{1}} + \frac {1}{R_{2}}) \quad \Rightarrow \quad C &=
(1,5 - 1) \times (\frac {1}{- 0,35 \: \text  {m}} + \frac {1}{+ 0,20 \: \text  {m}}) \\ \\
&\cong 1,1 \space \delta \end{align}||
Cette lentille aura donc une vergence positive, ce qui nous informe qu’il s’agit d’une lentille convergente.

Vergence d’un système de lentilles

Lorsque plusieurs lentilles sont juxtaposées les unes aux autres, on doit additionner la vergence de chaque lentille (en considérant les signes) pour déterminer la vergence du système.

La vergence d'un système de lentilles est calculée à partir de la formule suivante:
|C_{\text{totale}} = C_{1} + C_{2} + C_{3} + ...|
ou encore
|\displaystyle \frac{1}{l_{f_{\text {totale}}}}=\frac{1}{l_{f_{1}}}+\frac{1}{l_{f_{2}}}+\frac{1}{l_{f_{3}}}+...|

On place une lentille divergente d’une longueur focale de |\small 10 \: \text{cm}| près d’une lentille de vergence de |\small +2,5 \: \delta|. Quelle sera la vergence du système ?

Pour résoudre ce problème, il faut d’abord transformer la longueur focale de la première lentille en dioptries. De plus, il faut tenir compte du signe, puisque la lentille est divergente.
|l_{f} = -0,10 \: \text {m}|
 
Pour déterminer la vergence de cette lentille:
||\begin{align} C = \displaystyle \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad C &= \displaystyle \frac {1}{-0,10 \: \text{m}} \\ \\
&= -10 \: \delta \end{align}||
Il suffit d'additionner les vergences de deux lentilles pour trouver la vergence du système de lentilles.
||\begin{align} C_{\text{totale}} = C_{1} + C_{2} \quad \Rightarrow \quad C_{\text{totale}} &=-10 \: \delta + 2,5 \: \delta \\ \\ &= -7,5 \: \delta \end{align}||
Le système de lentille est donc divergent.

Un système de trois lentilles accolées est utilisé comme objectif d'un microscope. La lentille |L_{1}| possède une distance focale de |\small \text {10 cm}| et la lentille |L_{3}| a une distance focale de |\small \text {50 cm}|. La vergence totale du système des trois lentilles est de |\small 5 \: \delta|. Quelle est la vergence de la lentille |L_{2}| ? Est-ce que la lentille |L_{2}| est convergente ou divergente ?

D'abord, il faut convertir toutes les longueurs en mètres pour utiliser la formule de la vergence.
||\begin{align}l_{f_{1}} &= 0,10 \: \text{m} &l_{f_{3}} &= 0,50  \: \text{m}\\ \end{align}||
En utilisant la formule de la vergence:
|C_{2} = ?|
|C_{\text{totale}} = 5 \:\delta|
|\begin{align} C_1 = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad C_1 &= \frac {1}{0,10 \: \text{m}} \\ \\ &= 10 \: \delta \end{align}|
|\begin{align} C_3 = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad C_3 &= \frac {1}{0,50 \: \text{m}} \\ \\ &= 2 \: \delta \end{align}|

Sachant qu'il faut additionner les vergences de chaque lentille pour déterminer la vergence d'un système:
||\begin{align} C_{\text{totale}} = C_{1} + C_{2} + C_{3} \quad \Rightarrow \quad C_{\text{2}} &= C_{\text{totale}} - C_{1} - C_{3} \\\\ &= 5 \: \delta - 10 \: \delta - 2 \: \delta \\\\ &= -7 \: \delta \end{align}||

Puisque la vergence est négative, la lentille est divergente.

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