Physique p1039

Les équations des lentilles

Les équations pour résoudre les problèmes de lentilles sont les mêmes que celles utilisées pour les problèmes de miroirs courbes.
 
Cependant, on doit tenir compte de quelques différences dans l’application des conventions. De plus, il faut considérer le fait qu’une lentille possède deux foyers : le foyer principal et le foyer secondaire, alors que cela n’est pas le cas pour les miroirs.

​Lentille convexe (convergente)
p1039i1.JPG
​Lentille concave (divergente)
p1039i2.JPG

Variables utilisées dans les lentilles

​VariablesDéfinition
​|l_{f}|​Longueur focale (ou distance focale)
​|d_{o}|​Distance objet-lentille
​|d_{i}|​Distance image-lentille
​|l_{o}|​Distance objet-foyer secondaire
​|l_{i}|​Distance image-foyer principal
​|h_{o}|Hauteur de l'objet
​|h_{i}|​Hauteur de l'image

 Certains éditeurs utilisent la variable |p| pour représenter la distance objet-miroir et la variable |q| pour représenter la distance image-miroir. Ces variables sont semblables à des variables définies ci-dessus: |p| est équivalent à |d_{o}|, alors que |q| est équivalent à |d_{i}|.

Le grandissement (ou grossissement) d'un objet

Le grandissement |(G)| ou le grossissement d'un objet est le rapport de la grandeur de l’image |(h_{i})| sur la grandeur de l’objet |(h_{o})|​.Pour calculer le grandissement, le rapport des hauteurs peut être utilisé. Toutefois, il est également possible d'utiliser d'autres proportions similaires pour déterminer si l'image est plus grande, plus petite ou de même grandeur que l'objet.
Pour calculer le grandissement, la formule à utiliser est la suivante: |G=\displaystyle \frac {h_{i}}{h_{o}} = \frac {-d_{i}}{d_{o}} = \frac {-l_{f}}{l_{o}} = \frac {-l_{i}}{l_{f}}|

Le signe négatif présent dans certaines proportions de la formule ci-dessus est inclus afin de respecter la convention de signes décrite dans cette fiche.
Une valeur de grandissement supérieur à 1 signifie que l’image est plus grande que l’objet, alors qu’une valeur de grandissement située entre 0 et 1 indique que l’image est plus petite que l’objet. Si le grandissement est égal à 1, la hauteur de l'image et de l'objet sont similaires.

Les équations des lentilles

Les formules à utiliser dans les lentilles sont les suivantes:
|G=\displaystyle \frac {h_{i}}{h_{o}} = \frac {-d_{i}}{d_{o}} = \frac {-l_{f}}{l_{o}} = \frac {-l_{i}}{l_{f}}|
|\displaystyle \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}}|
|{d_{i}} = {l_{i}} + {l_{f}}|
|{d_{o}} = {l_{o}} + {l_{f}}|
|{l_{i}} \times {l_{o}} = {l_{f}}^2|


Les formules dans les lentilles n'utilisent pas d'unités précises. Toutes les mesures représentent des mesures de longueur qui peuvent être mesurées par des mètres ou des centimètres. Bien que le choix des unités reste vaste, il est important de convertir toutes les mesures afin d'avoir les mêmes unités de mesure.

La convention de signes dans les lentilles

Afin d'interpréter plus facilement les données d'un problème, une convention de signes est déterminée. Ainsi, les réponses obtenues en utilisant les formules décrites ci-haut, permettront de déterminer les caractéristiques de l'image.

Convention de signes pour les lentilles

​Mesure ​Signe positif
​Signe négatif
Distance image-lentille |(d_{i})|
​L'image est réelle (du côté opposé de la lentille par rapport à l'objet).
​L'image est virtuelle (du même côté que l'objet par rapport à la lentille).
Longueur focale |(l_{f})|​
​La lentille est convexe (convergente).
​La lentille est concave (divergente).
​Grandissement |(G)|
Hauteur de l'image |(h_{i})|​
​L'image est droite.
L'image est inversée.

De plus, il faut tenir compte de certaines particularités pour les mesures par rapport aux foyers. Ainsi,  la distance entre l'objet et le foyer secondaire de la lentille |(l_{o})| est positive si elle est mesurée vers la gauche, mais elle est négative si elle est mesurée vers la droite.
Par contre, la distance entre l'image et le foyer principal de la lentille |(l_{i})| est positive si elle est mesurée vers la droite et négative si elle est mesurée vers la gauche.

On regarde un timbre de |\small 2 \: \text {cm}| à travers une loupe (formée d’une lentille convergente) qui a une longueur focale de |\small 15 \: \text {cm}|. Le timbre est placé à |\small 9 \: \text {cm}| de la loupe. À quelle distance de la loupe se situe l’image ? Quelle est la taille de l’image ?

Il faut d’abord identifier nos variables. 
||\begin{align}h_{o} &= 2 \: \text {cm} &d_{o} &= 9 \space \text {cm}\\
l_{f} &= +15 \space \text {cm} \end{align}||
La longueur focale est positive puisque la lentille est convergente.
 
Pour trouver la position de l'image, une équation nous permet d'identifier la variable voulue.
||\begin{align} \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{d_{i}} &= \frac {1}{l_{f}} - \frac {1}{d_{o}}  \\ \\
&= \frac {1}{15 \space \text {cm}} -\frac {1}{9 \space \text {cm}} \\ \\
&= \frac {-2}{45} \\\\
&= -22,5 \: \text {cm}\end{align}||
Le signe négatif de la valeur de |d_{i}| nous indique que l’image est virtuelle. Ce résultat était attendu, car l'objet est situé entre le foyer le centre optique de la lentille.

Pour trouver la hauteur de l'image, les proportions du grandissement seront utilisées.
||\begin{align} \frac {h_{i}}{h_{o}} =\frac {-d_{i}}{d_{o}} \quad \Rightarrow \quad h_{i} &=
\frac {h_{o}  \times -d_{i}}{d_{o}} \\ \\
&= \frac{2\: \text{cm}\times -(-22,5) \: \text  {cm}}{9 \: \text {cm}}\\ \\
&= 5 \: \text{cm} \end{align}||
Puisque le signe de |h_{o}| est positif, l’image est droite.

Une lentille divergente dont la longueur focale est de |\small 15 \: \text {cm}| produit une image 3 fois plus petite que l'objet. À quelle distance de la lentille a-t-on dû placer l'objet?

Il faut d’abord identifier nos variables.
||\begin{align}l_{f} &= -15 \: \text {cm} &G &=  \frac {1}{3}\\
 \end{align}||
On utilise le signe négatif pour la longueur focale, car la lentille est divergente.
Les valeurs de |d_{i}| et de |d_{o}| sont inconnues. Toutefois, en utilisant le g​rossissement, il est possible de connaître la relation entre ces deux variables.
||\begin{align} G=\displaystyle \frac {-d_{i}}{d_{o}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{3} &= \frac {-d_{i}}{d_{o}}  \\ \\
\frac {d_{o}}{3} &={-d_{i}} \\ \\ \frac {-d_{o}}{3} &={d_{i}} \end{align}||
Il est ensuite possible de substituer ces variables afin de trouver la valeur de |d_{o}|.
||\begin{align} \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{d_{i}} = \frac {1}{l_{f}} \quad \Rightarrow \quad \frac {1}{d_{o}} + \frac {1}{\frac {-d_{o}}{3}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}}  \\ \\
 \frac {1}{d_{o}} + \frac {-3}{d_{o}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}} \\ \\
\frac {-2}{d_{o}} &= \frac {1}{-15 \: \text {cm}} \\ \\
d_{o} &= 30 \: \text {cm}​ \end{align}||

L'objet doit donc être placé à |30 \: \text {cm}​| de la lentille pour obtenir une image trois fois plus petite.

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Les exercices
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