Modifié : 18/07/2019 09:44
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Charles Bérubé
Plus grand périmètre entre un carré et un triangle

​Bonjour,

j'ai une question qui peut parraître simple, mais je n'arrive pas à déterminer la démarche à suivre.

La question est la suivante : Un triangle et un carré ont la même aire. Lequel a le plus grand périmètre.

En fait, ici le triangle à le plus grand périmètre, puisque qu'un carré avec une aire de 4cm par exemple comprend 4 côtés de 2cm. Le triangle avec une aire similaire possède un périmètre de 2cm pour la base 4 cm de hauteur plus l'hypoténuse dans le cas d'un triangle rectangle.

Cependant, je ne vois pas comment le démontrer de façon algébrique. De plus, la question ne spécifie aucun triangle en particulier.

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Charles Bérubé

​Bonjour,

j'ai une question qui peut parraître simple, mais je n'arrive pas à déterminer la démarche à suivre.

La question est la suivante : Un triangle et un carré ont la même aire. Lequel a le plus grand périmètre.

En fait, ici le triangle à le plus grand périmètre, puisque qu'un carré avec une aire de 4cm par exemple comprend 4 côtés de 2cm. Le triangle avec une aire similaire possède un périmètre de 2cm pour la base 4 cm de hauteur plus l'hypoténuse dans le cas d'un triangle rectangle.

Cependant, je ne vois pas comment le démontrer de façon algébrique. De plus, la question ne spécifie aucun triangle en particulier.

2376423717/07/2019 14:1118/07/2019 09:44NonMathématique - secondaire 3, 4 et 5
116,058398939588
114/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 17/07/2019 17:58
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Charles Bérubé

Bonjour Francis,

Tu as raison : les énoncés mathématiques qui ont l'air les plus simples sont parfois les plus difficiles à démontrer.

Ton exemple avec une aire de 4 cm2 nous permet d'arriver à la bonne conclusion, mais c'est vrai qu'il ne s'agit pas d'une preuve algébrique, donc d'une preuve formelle.

Je te suggère d'avoir comme point de départ des aires communes de x2 et de faire le même raisonnement que tu avais fait avec ton exemple numérique. Donc, si l'aire du carré est de x2, quelle est la mesure du côté? Et quel est son périmètre? Même chose pour le triangle. Tu devrais arriver à deux expressions algébriques faciles à comparer. Par exemple, si le périmètre du carré est de 4x et que le périmètre du triangle est de 4,5x, alors il est permis d'affirmer que le périmètre du carré sera toujours plus petit que celui du triangle peu importe la valeur de x.

J'espère que mes explications t'éclairent suffisamment. Reviens nous voir si tu as encore des questions.

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Bonjour Francis,

Tu as raison : les énoncés mathématiques qui ont l'air les plus simples sont parfois les plus difficiles à démontrer.

Ton exemple avec une aire de 4 cm2 nous permet d'arriver à la bonne conclusion, mais c'est vrai qu'il ne s'agit pas d'une preuve algébrique, donc d'une preuve formelle.

Je te suggère d'avoir comme point de départ des aires communes de x2 et de faire le même raisonnement que tu avais fait avec ton exemple numérique. Donc, si l'aire du carré est de x2, quelle est la mesure du côté? Et quel est son périmètre? Même chose pour le triangle. Tu devrais arriver à deux expressions algébriques faciles à comparer. Par exemple, si le périmètre du carré est de 4x et que le périmètre du triangle est de 4,5x, alors il est permis d'affirmer que le périmètre du carré sera toujours plus petit que celui du triangle peu importe la valeur de x.

J'espère que mes explications t'éclairent suffisamment. Reviens nous voir si tu as encore des questions.

Francis237620017/07/2019 17:5817/07/2019 17:58
05/07/2019 10:11Modérateur Alloprof
Publié : 17/07/2019 18:45
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On doit comparer le carré avec un triangle équilatéral car de tous les triangles de même aire, le triangle équilatéral est celui qui a le plus petit périmètre.

Note : pour un triangle équilatéral dont le côté mesure |c|, la hauteur mesure |\tfrac{\sqrt{3c}}{2}| .

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On doit comparer le carré avec un triangle équilatéral car de tous les triangles de même aire, le triangle équilatéral est celui qui a le plus petit périmètre.

Note : pour un triangle équilatéral dont le côté mesure |c|, la hauteur mesure |\tfrac{\sqrt{3c}}{2}| .

Francis237620017/07/2019 18:4517/07/2019 18:45
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 17/07/2019 18:47
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correction : Le |c| n'est pas sous le radical.

La hauteur mesure |\tfrac{\sqrt{3}\: c}{2}|


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correction : Le |c| n'est pas sous le radical.

La hauteur mesure |\tfrac{\sqrt{3}\: c}{2}|


Francis237620017/07/2019 18:4717/07/2019 18:47
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 17/07/2019 20:42
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Francis

Je ne vois pas comment arriver au périmètre du triangle avec l'aire.

Si je prends l'exemple d'Alain et que la base du triangle est x.
L'aire sera donc (x * h) / 2
La hauteur sera de ||\frac{\sqrt{3}x}{2}||

Le périmètre d'un trangle équilatéral est 3x. Alors le périmètre du carré est plus grand dans ce cas.
Cependant, comment savoir si je dois comparer un triangle équilatéral ou un triangle quelconque?

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Je ne vois pas comment arriver au périmètre du triangle avec l'aire.

Si je prends l'exemple d'Alain et que la base du triangle est x.
L'aire sera donc (x * h) / 2
La hauteur sera de ||\frac{\sqrt{3}x}{2}||

Le périmètre d'un trangle équilatéral est 3x. Alors le périmètre du carré est plus grand dans ce cas.
Cependant, comment savoir si je dois comparer un triangle équilatéral ou un triangle quelconque?

Francis237620017/07/2019 20:4217/07/2019 20:42
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 17/07/2019 22:50
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Si l'aire est |x^2| alors pour le carré la mesure du côté est |c=x| et le périmètre est |4x|.

Pour un triangle , on a :  Aire = ½ base×hauteur , d'où

||x^2=\frac{1}{2} \: c\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\: c ||

|| x^2= \dots||

Tu dois isoler |c| , calculer le périmètre et le comparer avec |4x| .

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Si l'aire est |x^2| alors pour le carré la mesure du côté est |c=x| et le périmètre est |4x|.

Pour un triangle , on a :  Aire = ½ base×hauteur , d'où

||x^2=\frac{1}{2} \: c\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\: c ||

|| x^2= \dots||

Tu dois isoler |c| , calculer le périmètre et le comparer avec |4x| .

Francis237620017/07/2019 22:5017/07/2019 22:50
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 17/07/2019 23:18
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Cependant, comment savoir si je dois comparer un triangle équilatéral ou un triangle quelconque?

Pour comparer, à aires égale, le quadrilatère de périmètre minimum (le carré) avec le triangle de périmètre minimum (le triangle équilatéral).

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Cependant, comment savoir si je dois comparer un triangle équilatéral ou un triangle quelconque?

Pour comparer, à aires égale, le quadrilatère de périmètre minimum (le carré) avec le triangle de périmètre minimum (le triangle équilatéral).

Francis237620017/07/2019 23:1817/07/2019 23:18
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 18/07/2019 09:48
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Charles Bérubé

Bonjour Francis,

Les 2 dernières réponses d'Alain sont excellentes! Merci Alain!

Il a tout-à-fait raison de prendre le triangle équilatéral. Pour une même aire, un triangle équilatéral a un plus petit périmètre qu'un triangle rectangle par exemple. Le triangle équilatéral est celui qui a le plus petit périmètre de tous les triangles de même aire.

Reviens nous voir si tu as d'autres questions.

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Charles Bérubé

Bonjour Francis,

Les 2 dernières réponses d'Alain sont excellentes! Merci Alain!

Il a tout-à-fait raison de prendre le triangle équilatéral. Pour une même aire, un triangle équilatéral a un plus petit périmètre qu'un triangle rectangle par exemple. Le triangle équilatéral est celui qui a le plus petit périmètre de tous les triangles de même aire.

Reviens nous voir si tu as d'autres questions.

Charles Bérubé237620018/07/2019 09:4818/07/2019 09:48
05/07/2019 10:11Modérateur Alloprof
Publié : 18/07/2019 11:16
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En conclusion : Si le périmètre du carré est plus petit que le périmètre du triangle équilatéral alors il (le périmètre du carré) sera plus petit que le périmètre de tout triangle.

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En conclusion : Si le périmètre du carré est plus petit que le périmètre du triangle équilatéral alors il (le périmètre du carré) sera plus petit que le périmètre de tout triangle.

Charles Bérubé237620018/07/2019 11:1618/07/2019 11:16
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 18/07/2019 22:03
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Francis

Merci pour les réponses.

Je comprends maintenant démarche à suivre. Cependant, je ne suis pas sûr de ma réponse.

L'équation de l'aire du triangle est ||\frac{b \cdot h}{2}||.
b = c  et h = ||\frac{c\sqrt{3}}{2}||, alors l'équation est ||x² = \frac{c\cdot \frac{c\sqrt{3}}{2}}{2}||.
||x² = \frac{c}{2}\cdot \frac{c\sqrt{2}}{4}||

||x² =\frac{c²\sqrt{3}}{8}||

Ensuite, je ne vois pas. Ma démarche ne semble faire aucun sens.

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Merci pour les réponses.

Je comprends maintenant démarche à suivre. Cependant, je ne suis pas sûr de ma réponse.

L'équation de l'aire du triangle est ||\frac{b \cdot h}{2}||.
b = c  et h = ||\frac{c\sqrt{3}}{2}||, alors l'équation est ||x² = \frac{c\cdot \frac{c\sqrt{3}}{2}}{2}||.
||x² = \frac{c}{2}\cdot \frac{c\sqrt{2}}{4}||

||x² =\frac{c²\sqrt{3}}{8}||

Ensuite, je ne vois pas. Ma démarche ne semble faire aucun sens.

Charles Bérubé237620018/07/2019 22:0318/07/2019 22:03
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 18/07/2019 22:09
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Francis

J'ai fait une erreur de frappe à la deuxième étape de la démarche. C'est bien c racine 3.

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J'ai fait une erreur de frappe à la deuxième étape de la démarche. C'est bien c racine 3.

Charles Bérubé237620018/07/2019 22:0918/07/2019 22:09
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 18/07/2019 23:04
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Petite erreur: ​Le dénominateur n'est pas 8.

Pour terminer, tu dois
- exprimer |c| en fonction de |x|,
- exprimer le périmètre du triangle en fonction de |x| et
- le comparer avec |4x|.

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Petite erreur: ​Le dénominateur n'est pas 8.

Pour terminer, tu dois
- exprimer |c| en fonction de |x|,
- exprimer le périmètre du triangle en fonction de |x| et
- le comparer avec |4x|.

Francis237661018/07/2019 23:0418/07/2019 23:04
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 18/07/2019 23:20
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En fait, si les deux dénominateurs sont 2 et 4, alors 2 * 4 = 8, non?  ​

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En fait, si les deux dénominateurs sont 2 et 4, alors 2 * 4 = 8, non?  ​

Alain237663018/07/2019 23:2018/07/2019 23:20
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 19/07/2019 10:11
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Aprés plusieurs autres tentatives j'arrive à : ||x = \frac{c}{2}\sqrt{\sqrt{3}}||, mais ça ne fait pas de sens.

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Aprés plusieurs autres tentatives j'arrive à : ||x = \frac{c}{2}\sqrt{\sqrt{3}}||, mais ça ne fait pas de sens.

Charles Bérubé237620019/07/2019 10:1119/07/2019 10:11
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 19/07/2019 11:06
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Il n'y a pas deux dénominateurs 2 et 4.

Attention ! ||\frac{b\cdot h}{2}\neq \frac{b}{2}\cdot \frac{h}{2}|| mais, tel que je l'écrivais avant ||\frac{b\cdot h}{2}=\frac{1}{2}\: b\cdot h ||​

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Il n'y a pas deux dénominateurs 2 et 4.

Attention ! ||\frac{b\cdot h}{2}\neq \frac{b}{2}\cdot \frac{h}{2}|| mais, tel que je l'écrivais avant ||\frac{b\cdot h}{2}=\frac{1}{2}\: b\cdot h ||​

Francis237664019/07/2019 11:0619/07/2019 11:06
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 19/07/2019 11:07
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Relis mon message de mercredi 22:50.

C'est la variable |c| qu'il  faut isoler , pas la variable |x|.

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Relis mon message de mercredi 22:50.

C'est la variable |c| qu'il  faut isoler , pas la variable |x|.

Francis237669019/07/2019 11:0719/07/2019 11:07
28/10/2013 12:19.Autre
1
Publié : 19/07/2019 11:56
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Charles Bérubé

Bonjour Francis, 

C'est normal que tu obtiennes une racine d'une racine. Mais, comme le dis Alain, c'est la variable c que tu dois isoler. Ensuite tu calcules le périmètre du triangle avec la formule P = 3c.

Finalement tu compares ce dernier résultat avec 4x, soit le périmètre du carré.

Ne lâche pas. Tu y es presque.

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Bonjour Francis, 

C'est normal que tu obtiennes une racine d'une racine. Mais, comme le dis Alain, c'est la variable c que tu dois isoler. Ensuite tu calcules le périmètre du triangle avec la formule P = 3c.

Finalement tu compares ce dernier résultat avec 4x, soit le périmètre du carré.

Ne lâche pas. Tu y es presque.

Charles Bérubé237620019/07/2019 11:5619/07/2019 11:56
05/07/2019 10:11Modérateur Alloprof
Publié : 20/07/2019 10:32
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Francis

Bonjour,

merci de votre patience.

J'ai isolé la variable c, mais je ne suis pas sûr de ma réponse.

||x² = \frac{c²\sqrt{3}}{4}||


||x²\cdot 4 = c²\sqrt{3}||


||(x²\cdot 4)² = c²\cdot 3||


||\frac{(x²\cdot 4)²}{3} = c²||


||c = \frac{(\sqrt{x²\cdot4})²}{3}||

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Francis

Bonjour,

merci de votre patience.

J'ai isolé la variable c, mais je ne suis pas sûr de ma réponse.

||x² = \frac{c²\sqrt{3}}{4}||


||x²\cdot 4 = c²\sqrt{3}||


||(x²\cdot 4)² = c²\cdot 3||


||\frac{(x²\cdot 4)²}{3} = c²||


||c = \frac{(\sqrt{x²\cdot4})²}{3}||

Charles Bérubé237620020/07/2019 10:3220/07/2019 10:32
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 20/07/2019 11:06
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Francis

Je peux simplifer la réponse pour avoir ||c = \frac{x²\cdot 4}{3}||

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Francis

Je peux simplifer la réponse pour avoir ||c = \frac{x²\cdot 4}{3}||

Charles Bérubé237620020/07/2019 11:0620/07/2019 11:06
14/07/2019 15:32Secondaire 5
Publié : 20/07/2019 12:00
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Alain

||x^2\cdot 4=c^2\sqrt{3}|| est bon.

Tu dois isoler |c^2| en divisant par |\sqrt{3}| puis pour obtenir |c| on prend la racine carrée.


Ensuite on continue les étapes déjà écrites dans les messages précédents.

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Alain

||x^2\cdot 4=c^2\sqrt{3}|| est bon.

Tu dois isoler |c^2| en divisant par |\sqrt{3}| puis pour obtenir |c| on prend la racine carrée.


Ensuite on continue les étapes déjà écrites dans les messages précédents.

Charles Bérubé237620020/07/2019 12:0020/07/2019 12:00
28/10/2013 12:19.Autre
Publié : 20/07/2019 16:47
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Francis

J'arrive à ||c = \sqrt{\frac{x²\cdot4}{\sqrt{3}}}||​ comme réponse.

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J'arrive à ||c = \sqrt{\frac{x²\cdot4}{\sqrt{3}}}||​ comme réponse.

Alain237681020/07/2019 16:4720/07/2019 16:47
14/07/2019 15:32Secondaire 5
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