Démarré : 13/02/2020 20:49
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Émilie
Identités algébriques

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Bonjour, je n'arrive pas à résoudre les deux numéros ci-dessus. Pouvez-vous m'aider svp?

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Émilie

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Bonjour, je n'arrive pas à résoudre les deux numéros ci-dessus. Pouvez-vous m'aider svp?

513/02/2020 20:4913/02/2020 20:49NonMathématique - secondaire 3, 4 et 5
125,752747879042
21/03/2019 07:42Secondaire 5
30720021/03/2019 07:421
Modifié : 13/02/2020 21:39
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Simon Laurent

Salut Émilie, 

pour le #1, \begin{align*}\left(\csc(x) - \cot(x)\right)^2 &= \csc^2(x) - 2\csc(x)\cot(x) + \cot^2(x) \\ \\ &= \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^2 - 2\cdot \frac{1}{\sin(x)}\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)^2 \\ \\ &= \frac{1}{\sin^2(x)} - \frac{2\cos(x)}{\sin^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\ \\ &= \frac{\cos^2(x)- 2\cos(x) + 1}{\sin^2(x)}\\ \\ &= \ \dots \end{align*}

Factorise le trinôme au numérateur (méthode somme-produit) et remplace |\sin^2(x)| par |1 - \cos^2(x)| au dénominateur. Factorise ensuite le dénominateur (c'est une différence de carrés) et simplifie.

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Simon Laurent

Salut Émilie, 

pour le #1, \begin{align*}\left(\csc(x) - \cot(x)\right)^2 &= \csc^2(x) - 2\csc(x)\cot(x) + \cot^2(x) \\ \\ &= \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^2 - 2\cdot \frac{1}{\sin(x)}\cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)} + \left(\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right)^2 \\ \\ &= \frac{1}{\sin^2(x)} - \frac{2\cos(x)}{\sin^2(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\ \\ &= \frac{\cos^2(x)- 2\cos(x) + 1}{\sin^2(x)}\\ \\ &= \ \dots \end{align*}

Factorise le trinôme au numérateur (méthode somme-produit) et remplace |\sin^2(x)| par |1 - \cos^2(x)| au dénominateur. Factorise ensuite le dénominateur (c'est une différence de carrés) et simplifie.

Émilie254881013/02/2020 21:3813/02/2020 21:39
28/10/2013 17:08Modérateur Alloprof
195 75815 454145628/10/2013 17:081Modérateur Alloprof
Modifié : 13/02/2020 21:45
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Simon Laurent

Pour le #2, au départ je ne savais pas quoi faire, mais si tu regarde le dénominateur à droite, tu remarques que c'est le conjugué de |\sin(\theta) + \cos(\theta)|. Ainsi, je crois qu'on pourrait commencer avec \begin{align*}\sin(\theta) + \cos(\theta) &= \Big(\sin(\theta) + \cos(\theta)\Big) \cdot \frac{\sin(\theta) - \cos(\theta)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \frac{\Big(\sin(\theta) + \cos(\theta)\Big)\Big(\sin(\theta) - \cos(\theta)\Big)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \ \dots\end{align*}


Tu peux continuer ? 

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Simon Laurent

Pour le #2, au départ je ne savais pas quoi faire, mais si tu regarde le dénominateur à droite, tu remarques que c'est le conjugué de |\sin(\theta) + \cos(\theta)|. Ainsi, je crois qu'on pourrait commencer avec \begin{align*}\sin(\theta) + \cos(\theta) &= \Big(\sin(\theta) + \cos(\theta)\Big) \cdot \frac{\sin(\theta) - \cos(\theta)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \frac{\Big(\sin(\theta) + \cos(\theta)\Big)\Big(\sin(\theta) - \cos(\theta)\Big)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \ \dots\end{align*}


Tu peux continuer ? 

Émilie254881013/02/2020 21:4413/02/2020 21:45
28/10/2013 17:08Modérateur Alloprof
195 75815 454145628/10/2013 17:081Modérateur Alloprof
Publié : 13/02/2020 22:32
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Émilie

J'ai compris le premier. Merci! Toutefois, pour le deuxième, je ne suis pas sure de comprendre comment savoir qu'il faut multiplier par (sin(x) + cos (x))

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Émilie

J'ai compris le premier. Merci! Toutefois, pour le deuxième, je ne suis pas sure de comprendre comment savoir qu'il faut multiplier par (sin(x) + cos (x))

Émilie254881013/02/2020 22:3213/02/2020 22:32
21/03/2019 07:42Secondaire 5
30720021/03/2019 07:421
Modifié : 14/02/2020 07:14
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Simon Laurent

Salut Émilie, 

je ne le savais pas, c'est une avenue que j'ai décidé d'emprunter lorsque j'ai remarqué que le membre de gauche n'était pas une fraction alors que le membre de droite, oui. Il faut d'une façon ou d'une autre faire apparaître le dénominateur. Qui plus est, le dénominateur est le conjugué de l'expression de départ. Cela donne une bonne piste ! 


Faire la démonstration d'identités comme celle-là vient plus facile avec le temps : quand tu en as fait des dizaines, tu développes une sorte d'intuition. J'ai essayé de mettre en mots mon intuition. J'espère que c'est plus clair.


Sinon, rappelle-toi que tu peux « travailler à droite ». Le membre de gauche est plus « simple », dont tu peux essayer de partir de l'expression de droite et de simplifier. Cependant, ici, « simplifier » implique d'abord une substitution et ensuite une factorisation.

\begin{align*}\frac{2\sin^2(\theta) - 1}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} &= \frac{2\sin^2(\theta) - \color{Red}{1}}{\sin(\theta) - \cos(\theta)}\\ \\ &= \frac{2\sin^2(\theta) - \big(\color{Red}{\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)}\big)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \frac{2\sin^2(\theta) - \sin^2(\theta) - \cos^2(\theta)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \ \dots \end{align*}


Au plaisir ! 

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Simon Laurent

Salut Émilie, 

je ne le savais pas, c'est une avenue que j'ai décidé d'emprunter lorsque j'ai remarqué que le membre de gauche n'était pas une fraction alors que le membre de droite, oui. Il faut d'une façon ou d'une autre faire apparaître le dénominateur. Qui plus est, le dénominateur est le conjugué de l'expression de départ. Cela donne une bonne piste ! 


Faire la démonstration d'identités comme celle-là vient plus facile avec le temps : quand tu en as fait des dizaines, tu développes une sorte d'intuition. J'ai essayé de mettre en mots mon intuition. J'espère que c'est plus clair.


Sinon, rappelle-toi que tu peux « travailler à droite ». Le membre de gauche est plus « simple », dont tu peux essayer de partir de l'expression de droite et de simplifier. Cependant, ici, « simplifier » implique d'abord une substitution et ensuite une factorisation.

\begin{align*}\frac{2\sin^2(\theta) - 1}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} &= \frac{2\sin^2(\theta) - \color{Red}{1}}{\sin(\theta) - \cos(\theta)}\\ \\ &= \frac{2\sin^2(\theta) - \big(\color{Red}{\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)}\big)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \frac{2\sin^2(\theta) - \sin^2(\theta) - \cos^2(\theta)}{\sin(\theta) - \cos(\theta)} \\ \\ &= \ \dots \end{align*}


Au plaisir ! 

Émilie254881014/02/2020 07:1214/02/2020 07:14
28/10/2013 17:08Modérateur Alloprof
195 75815 454145628/10/2013 17:081Modérateur Alloprof
Publié : 15/02/2020 09:47
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Émilie

Merci!

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  • Émilie
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Émilie

Merci!

Émilie254881015/02/2020 09:4715/02/2020 09:47
21/03/2019 07:42Secondaire 5
30720021/03/2019 07:421

 

 

 

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