Mathématique m1046

La notation scientifique

​La notation scientifique est une notation qui permet d'exprimer et de comparer facilement de très grands ou de très petits nombres. Comme l'indique son nom, cette notation est notamment utilisée en science pour exprimer des mesures. C'est pourquoi cette notation est généralement appliquée aux nombres positifs seulement.

Définition et exemples

La notation scientifique est composée de deux facteurs.

|\tiny \bullet| Le 1er facteur, souvent appelé la mantisse, est un nombre décimal |\color{blue}{a}| supérieur ou égal à |\small 1|, mais inférieur à |\small 10| et formé des chiffres significatifs du nombre initial.

|\tiny \bullet| Le 2e facteur est un puissance de |\small 10| exprimée en notation exponentielle qui indique l'ordre de grandeur du nombre.
    |\small \circ| L'exposant |\color{green}{n}| est un nombre entier différent de zéro.
    |\small \circ| Si |\color{green}{n}\geq\small 1|, le nombre initial est plus grand que |\small 1|
    |\small \circ| Si |\color{green}{n}\leq\small \text{-}1|, le nombre initial est compris entre |\small 0| et |\small 1|
 m1046i10a.png

La distance entre la Lune et la Terre est de |384\ 400\:\text{km}|. En exprimant ce nombre en notation scientifique, on obtient ceci.
m1046i12a.png
On remarque que le 1er facteur est un nombre décimal supérieur ou égal à |\small 1| et inférieur à |\small 10|. Il contient les chiffres significatifs du nombre initial.

Pour ce qui est du 2e facteur, il indique l'ordre de grandeur du nombre initial. Comme |\small 10^5=100\ 000|, ce facteur indique que le nombre intial est de l'ordre des centaines de mille. En d'autres mots, on a ||3,844\times 10^5=3,844\times 100\ 000=384\ 400||

m1406i13.jpg
Source


Le poids de ce moustique est d'environ |0,000\ 001\ 07\:\text{kg}|. En exprimant ce nombre en notation scientifique, on obtient ceci.
m1046i14.png
On remarque que le 1er facteur est un nombre décimal supérieur à |\small 1| et inférieur à |\small 10|. Il contient les chiffres significatifs du nombre initial.

Pour ce qui est du 2e facteur, il indique l'ordre de grandeur du nombre initial. Comme |\small 10^{\text{-}6}=0,000\ 001|, ce facteur indique que le nombre intial est de l'ordre des millionièmes. En d'autres mots, on a ||1,07\times 10^{\text{-}6}=1,07\times 0,000\ 001=0,000\ 001\ 07||


Exprimer un nombre en notation scientifique

Deux cas sont possibles ici. Soit le nombre est exprimé en notation décimale, soit il est déjà exprimé comme un produit de deux facteurs dont le deuxième est une puissance de |\small 10|. Nous présenterons une méthode pour chacun des cas.

Le nombre initial est exprimé en notation décimale

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.

2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |\small 1|, mais plus petit que |\small 10|, tout en comptant le nombre de bonds!

3. Écrire le nombre en notation scientifique.
    |\small \bullet| Le 1er facteur correspond au nombre obtenu à l'étape 2 (Enlever les |\small 0| inutiles)

    |\small \bullet| Le 2e facteur correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2.
        |\small \circ| Si les bonds ont été effectués vers la gauche, l'exposant sera positif.
        |\small \circ| Si les bonds ont été effectués vers la droite, l'exposant sera négatif.

Exprime le nombre |\small 85\:200| en notation scientifique.

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.
Comme le nombre initial est un nombre entier, il ne contient pas de virgule. On lui ajoute donc une virgule à droite de la position des unités, comme ceci:
m1046i15.png
2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |\small 1|, mais plus petit que |\small 10|. Compter le nombre de bonds!
Il faut déplacer la virgule vers la gauche.
m1046i16.png
Après 4 bonds vers la gauche, on obtient le nombre |\small 8,5200|.

3. Écrire le nombre en notation scientifique.
Le 1er facteur correspond à |\small \color{blue}{8,52}|. On l'obtient en enlevant les zéros inutile au nombre obtenu à l'étape 2. On remarque que ce nombre est compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement.

Le 2e facteur correspond à |\small \color{green}{10^4}|. L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a effectué les bonds vers la gauche, l'exposant est positif.

On obtient donc que la notation scientifique du nombre |85\ 200| est
m1046i17.png

Exprime le nombre |\small 0,00002056| en notation scientifique.

1. Si le nombre initial n'a pas de virgule, ajouter une virgule à droite de la position des unités.
Ce nombre contient déjà une virgule, on peut donc passer directement à l'étape 2.
m1046i18.png
2. Déplacer la virgule par bonds vers la gauche ou vers la droite, jusqu'à l'obtention d'un nombre plus grand ou égal à |\small 1|, mais plus petit que |\small 10|. Compter le nombre de bonds!
Il faut déplacer la virgule vers la droite.
m1046i19b.png
Après 5 bonds vers la droite, on obtient le nombre |\small 2,056|.

3.Écrire le nombre en notation scientifique
Le 1er facteur correspond à |\small \color{blue}{2,056}|. On remarque que ce nombre est compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement.

Le 2e facteur correspond à |\small \color{green}{10^{\text{-}5}}|. L'exposant correspond au nombre de bonds effectués à l'étape 2. Comme on a fait les bonds vers la droite, l'exposant est négatif.

On obtient donc que la notation scientifique du nombre |0,00002056| est
:
m1046i20.png 

Voici d'autres exemples.
||\begin{align}356\: 200&=3,562\times 10^5 & &\qquad & 0,0013&=1,3\times 10^{\text{-}3}\\ \\ 404\,000\,000&=4,04\times 10^8 & &\qquad & 0,000007&=7\times 10^{\text{-6}}\end{align}||

Le nombre initial est exprimé sous la forme d'un produit de facteur dont le deuxième est une puissance de |\small 10|

Dans certaines situations, le nombre à exprimer en notation scientifique peut déjà être écrit sous la forme d'un produit de facteurs, comme ceux-ci: ||0,03\ \times\ 10^{5}\qquad \qquad 432,4\ \times\ 10^{-10}|| On peut être porté à croire que ces nombres sont déjà exprimés en notation scientifique, mais attention! Le 1er facteur de ces nombres n'est pas compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, c'est pourquoi ils ne sont pas exprimés en notation scientifique! 

Voici une méthode permettant de remettre ces nombres en notation scientifique.

1. Transformer le 1er facteur en un nombre compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |\small 10| adéquate.

2. Pour conserver la valeur du nombre, appliquer l'opération inverse au 2e facteur:
    |\small \bullet| Si on a multiplié le 1er facteur par une puissance de |\small 10|, on doit diviser le 2e facteur par cette même puissance.
    |\small \bullet| Si on a divisé le 2e facteur par une puissance de |\small 10|, on doit multiplier le 2e facteur par cette même puissance.

Exprime le nombre |\small 356,2\ \times\ 10^7| en notation scientifique.

1.Transformer le 1er facteur en un nombre compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |\small 10| adéquate.
Le 1er facteur du nombre est |\small 356,2|. Pour le transformer en nombre compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, on doit le divisier par |\small 100|, soit par |\small 10^2|. On obtient donc: ||356,2\div 10^2=\color{blue}{3,562}||
2. Appliquer l'opération inverse au 2e facteur.
Pour conserver la valeur du nombre, on doit donc multiplier le 2e facteur par |\small 10^2|. En utilisant les propriétés des exposants, on obtient que |10^7\times 10^2=10^{7+2}=\color{green}{10^9}|.

m1046i21.png

Exprime le nombre |\small 0,121\ \times\ 10^{\text{-}14}| en notation scientifique.

1.Transformer le 1er facteur en un nombre compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement en le multipliant ou en le divisant par la puissance de |\small 10| adéquate.
Le 1er facteur du nombre est |\small 0,121|. Pour le transformer en nombre compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, on doit le multiplier par |\small 10|, soit par |\small 10^1|. On obtient donc: ||0,121\times 10=\color{blue}{1,21}||
2. Appliquer l'opération inverse au 2e facteur.
Pour conserver la valeur du nombre, on doit donc diviser le 2e facteur par |\small 10|. En utilisant les propriétés des exposants, on obtient que |10^{\text{-}14}\div 10=10^{\text{-}14-1}=\color{green}{10^{\text{-}15}}|.

m1046i22b.png 

​Addition et soustraction de nombres en notation scientifique

Pour additionner ou soustraire des nombres en notation scientifique, il faut premièrement les remettre sur le même ordre de grandeur. En d'autres mots, il faut les exprimer à l'aide de la même puissance de |\small 10|. Voici une façon de procéder.

1. Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |\small 10|.

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |\small 10|.

3. Additionner ou soustraire les nombres en additionnant ou en soustrayant les 1er facteurs seulement.

4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.

 


Effectue l'opération suivante et exprime le résultat en notation scientifique.||5,6\times 10^5+4,42\times 10^7||
1.Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |\small 10|.
Le nombre ayant la puissance de |\small 10| la plus grande est |\small 4,42\times 10^7|.

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |\small 10|.
On doit exprimer le nombre |\small 5,6\times 10^5| à l'aide de la puissance |\small 10^7|. On devra donc multiplier le 2e facteur de ce nombre par |\small 10^2|. Pour conserver la valeur du nombre, on devra diviser le 1er facteur par |\small 10^2|.
m1046i23.png 

3. Additionner les nombres en additionnant les 1er facteurs seulement.
On peut maintenant effectuer l'opération.
||\color{blue}{0,056}\times 10^7+\color{blue}{4,42}\times 10^7=\color{blue}{4,476}\times 10^7||
4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Comme le 1er facteur du résultat est compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, il est déjà en notation scientifique. Il n'y a pas de changement à faire. La réponse est donc:  ||\color{blue}{4,476}\times \color{green}{10^7}||

Effectue l'opération suivante et exprime le résultat en notation scientifique. ||1,3\times 10^{\text{-}4}-7,9\times 10^{\text{-}5}||
1. Identifier le nombre en notation scientifique ayant la plus grande puissance de |\small 10|.
Le nombre ayant la puissance de |\small 10| la plus grande est |\small 1,3\times 10^{\text{-}4}|. 

2. Exprimer l'autre nombre à l'aide de cette puissance de |\small 10|.
On doit exprimer le nombre |\small 7,9\times 10^{\text{-}5}| à l'aide de la puissance |\small 10^{\text{-}4}|. On devra donc multiplier le 2e facteur de ce nombre par |\small 10^1|. Pour conserver la valeur de ce nombre, on devra diviser le 1er facteur par |\small 10^1|.
m1046i24.png 
3. Soustraire les nombres en soustrayant les 1er facteurs seulement.
On peut maintenant effectuer l'opération.
||\color{blue}{1,3}\times 10^{\text{-}4}-\color{blue}{0,79}\times 10^{\text{-}4}=\color{blue}{0,51}\times 10^{\text{-}4}||
4. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Le 1er facteur n'est pas inclus entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement. On doit donc effectuer les changements suivants pour obtenir une réponse en notation scientifique.
m1046i25.png 

Multiplication et division de nombres en notation scientifique

Il existe quelques méthodes permettant de multiplier ou de diviser des nombres en notation scientifique. Nous en présenterons une.

1. Multiplier ou diviser les 1er facteurs ensemble et les 2e facteurs ensemble.

2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin. 


Effectue l'opération suivante et exprime ton résultat en notation scientifique. ||2,9\times 10^{15}\quad \times \quad 8,1\times 10^{\text{-}3}||
1. Multiplier les 1er facteurs ensemble et les 2e facteurs ensemble.
||\begin{align}\color{blue}{2,9}\times \color{green}{10^{15}}\quad \times \quad \color{blue}{8,1}\times \color{green}{10^{\text{-}3}}&=(\color{blue}{2,9}\times\color{blue}{8,1} )\ \times \ (\color{green}{10^{15}}\times \color{green}{10^{\text{-}3}})\\ \\ &=\color{blue}{23,49} \times \color{green}{10^{15-3}}\\ \\ &=\color{blue}{23,49}\times \color{green}{10^{12}} \end{align}||
2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Comme le premier facteur du résultat n'est pas inclus entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, on doit effectuer les changement suivants pour obtenir une réponse en notation scientifique.
m1046i26b.png

Effectue l'opération suivante et exprime ton résultat en notation scientifique. ||\frac{7,8\times 10^{\text{-}2}}{1,5\times 10^{-8}}||
1. Diviser les 1er facteurs ensemble et les 2e facteurs ensemble.
||\begin{align}\frac{\color{blue}{7,8}\times \color{green}{10^{\text{-}2}}}{\color{blue}{1,5}\times \color{green}{10^{-8}}}&=\frac{\color{blue}{7,8}}{\color{blue}{1,5}}\ \times\ \frac{\color{green}{10^{\text{-}2}}}{\color{green}{10^{-8}}}\\ \\ &=\color{blue}{5,2}\ \times\ \color{green}{10^{\text{-}2-\text{-}8}}\\ \\ &=\color{blue}{5,2}\ \times\ \color{green}{10^6}\end{align}||
2. Exprimer le résultat en notation scientifique, au besoin.
Comme le 1er facteur du résultat est compris entre |\small 1| inclusivement et |\small 10| exclusivement, il est déjà en notation scientifique. Il n'y a pas de changement à faire. La réponse est donc: ||\color{blue}{5,2}\times \color{green}{10^6}||

Préfixes en lien avec la notation scientifique

Afin de simplifier l'écriture de très grands ou de très petits nombres, le système international propose certains préfixes en lien avec la notation scientifique. En voici quelques uns.

​PUISSANCE DE 10
​NOMBRE​PRÉFIXESYMBOLE
​|10^{12}|​|\small 1\,000\,000\,000\,000|Téra​|\text{T}|
​|10^9|​|\small 1\, 000\, 000\, 000|
​Giga​|\text{G}|
​|10^6|​|\small 1\, 000\, 000|
Méga​|\text{M}|
​|10^3|​|\small 1\, 000|
Kilo​|\text{k}|
​|10^2|
​|\small 100|
Hecto​|\text{h}|
​|10|​|\small 10|
​Déca​|\text{da}|
​|10^{\text{-}1}|​|\small 0,1|
​Déci​|\text{d}|
​|10^{\text{-}2}|​|\small 0,01|
​Centi​|\text{c}|
​|10^{\text{-}3}|​|\small 0,001|
​Milli​|\text{m}|
​|10^{\text{-}6}|​|\small 0,000\,001|
​Micro​|\mu|
​|10^{\text{-}9}|​|\small 0,000\,000\,001|
​Nano​|\text{n}|
​|10^{\text{-}12}|​|\small 0,000\,000\,000\,001|
​Pico​|\text{p}|


Voici quelques exemples d'utilisation de ces préfixes.

​Julien vient tout juste de se procurer un disque dur externe d'une capacité de |\small 5| gigaoctets.

En utilisant les préfixes du système international, on peut connaître combien d'octets cela représente.
||5\:\text{Go}=5\times 10^9\:\text{o}||
m1046i30.png
source

m1406i31.jpg
                source
​Chaque goutelette dans un brouillard a un diamètre d'environ |\small 2| micromètres.

Une fois convertie en mètres, cette grandeur correspond à ||2\:\mu\text{m}=2\times 10^{\text{-}6}\:\text{m}||
Les vidéos
 
Les exercices
Les références