La soustraction d'expressions algébriques

On peut donc définir trois étapes à suivre pour soustraire des polynômes :

1. Regrouper les termes semblables.

2. Soustraire les termes constants.

3. Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.

On retient que lors de la soustraction :

• Seuls les termes semblables peuvent être simplifiés.

• Ce sont les coefficients de chacun des termes semblables qui sont soustraits.

Il est rare qu'une équation soit formée uniquement par des soustractions. Il faudra, dans ce cas, respecter la priorité des opérations lors de la réduction de l'expression algébrique.

Prenons l'expression algébrique suivante :||(2x^3+3x + 2)-(x^3+2x-4)|| Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit soustraire. Afin de les enlever, le négatif devant la deuxième parenthèse doit être distribué à chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.

On obtient alors l'expression suivante : ||2x^3+3x+2\color{red}{-}x^3\color{red}{-}2x\color{red}{+}4|| On peut ensuite réduire l'expression. Pour ce faire, on suit les étapes suivantes :

1. Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).||\color{green}{2x^3- x^3}+\color{red}{3x - 2x}+\color{blue}{2 + 4}||

2. Soustraire les termes constants.||\color{green}{2x^3- x^3}+\color{red}{3x - 2x}+\color{blue}{6}||

3. Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.||\color{green}{x^3}+\color{red}{x}+\color{blue}{6}||

La réponse est donc : |x^3+x+6.|

Selon la loi de la distributivité, un négatif devant une parenthèse se distribue à chacun des termes situés à l'intérieur de la parenthèse.

Prenons l'expression algébrique suivante : ||(5x^2-11xy+6x-13)-(-2x^2+y^2-8xy+12)||

Les parenthèses distinguent les deux polynômes que l'on doit soustraire. Afin de les enlever, le négatif devant la deuxième parenthèse doit être distribué à chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.

On obtient alors l'expression suivante : ||5x^2-11xy+6x-13+2x^2-y^2+8xy-12||On peut ensuite réduire l'expression. Pour ce faire, on suit les étapes suivantes :

1. Regrouper les termes semblables (les mêmes lettres affectées des mêmes exposants).||\color{green}{5x^2+2x^2}\color{red}{-11xy+8xy}+6x-y^2\color{blue}{-13-12}||

2. Soustraire les termes constants.||\color{green}{5x^2+2x^2}\color{red}{-11xy+8xy}+6x-y^2\color{blue}{-25}||

3. Soustraire les coefficients des termes algébriques semblables.||\color{green}{7x^2}\color{red}{-3xy}+6xy-y^2\color{blue}{-25}||

La réponse est donc : |7x^2-3xy+6x-y^2-25.|

On peut vérifier si l'expression de départ est équivalente à l'expression réduite, on peut remplacer chaque variable par une valeur choisie et calculer la valeur de chaque expression. Si les expressions obtenues sont de même valeur, cela indique qu'elles sont équivalentes.

Si on vérifie le premier exemple ci-dessus: ||(2x^3+3x+2)-(x^3+2x-4)=x^3+x+6|| On choisit une valeur pour les variables. Par exemple, si |x=2|:||\begin{align}2(\color{red}{2})^3+3(\color{red}{2})+2-\color{red}{2}^3-2(\color{red}{2})+4&=(\color{red}{2})^3+\color{red}{2}+6\\ \\
16+6+2-8-4+4&=8+2+6\\ \\
16&=16\end{align}||
Les deux expressions sont donc équivalentes.

Soit les deux polynômes suivants avec leur représentation en tuiles algébriques :
|2x^3+3x+2|

|x^3+2x-4|

On remarque qu'une valeur positive est représentée par une tuile de couleur pleine alors qu'une valeur négative est plutôt représentée par une tuile hachurée.

La soustraction de ces deux polynômes sera représentée de la façon suivante avec les tuiles algébriques.
|(2x^3+3x+2)-(x^3+2x-4)|

En distribuant le négatif au deuxième polynôme, les valeurs des termes changent de signes.

On regroupe maintenant les termes semblables comme lors d’une addition.

On fait l’addition des tuiles. Une tuile de couleur pleine et une tuile hachurée s’annulent entre elles.

On obtient :
|x^3+x+6|