Mathématique m1083

La notion d'équation et la traduction d'un énoncé

​Une équation est une égalité mathématique impliquant une ou plusieurs variables pour lesquelles on cherchera la ou les valeurs la rendant vraie.

Pour qu'un énoncé mathématique puisse être qualifié d'équation, deux items doivent s'y retrouver: une ou des variables, et une relation d'égalité

|10x+6=36| est une équation puisqu'une variable et une relation d'égalité s'y retrouvent.

|5+10=15| n'est pas une équation puisqu'on n'y retrouve pas de variable; il s'agit plutôt d'une égalité.

|2x-7| n'est pas une équation puisqu'il n'y a pas de relation d'égalité.

|\frac{x+7}{x+4}=\frac{2x-3}{2x}| est une équation puisqu'une variable et une relation d'égalité s'y retrouvent.

|a-12<9| n'est pas une équation puisqu'il s'agit d'une relation d'inégalité et non d'égalité; c'est donc une inéquation.

Les équations mathématiques ne sont pas toujours données dans un problème écrit. Afin de résoudre une telle situation, il faut donc d'abord traduire les énoncés écrit par une ou des équations. On pourra par la suite procéder à la résolution des équations afin de solutionner le problème. 

La traduction d’un énoncé de problème en une équation

Le passage d'un problème à une équation mathématique est comparable à la traduction d’une langue à  une autre. D’ailleurs, on dit souvent « traduire » un énoncé écrit en équation mathématique.

Afin de traduire un énoncé en équation, il faut suivre les étapes suivantes:

1. Lire attentivement le problème écrit et identifier les données connues et les variables

2. Identifier la relation entre les variables

3. Traduire cette relation par une équation ou par une expression algébrique

Lorsqu'on traduit un énoncé en équation, certains mots clés donnent des indices sur les opérations à effectuer.

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Dans ce tableau, seules les expressions les plus communes sont écrites. Pour avoir une liste plus exhaustive sur chacune des opérations (l'addition, la soustraction, la multiplication​ et la division​), les fiches de la bibliothèque virtuelle de ces opérations sont une bonne source. ​

Certains énoncés d'un problème peuvent mettre des données en relation. Il faudra, dans ce cas, établir les expressions algébriques relatives à chaque variables avant d'établir quelque équation que ce soit.

Traduction d'énoncés en expressions algébriques

1. Si on dit « trois fois plus de chats que de chiens », on peut écrire l’équation suivante:

Chats = 3 fois chiens

La relation entre le nombre de chats et de chiens sera :
Si |n| est le nombre de chiens, le nombre de chats est |3n|.
|\text{nombre de chiens} = n|
|\text{nombre de chats} = 3n|

2. Si on dit « trois fois moins de chiens que de chats », on peut écrire l’équation suivante:

Chiens = 1/3 fois chats

La relation entre le nombre de chiens et de chats sera :
Si |m| est le nombre de chats, le nombre de chiens est |\frac{m}{3}| ou |\frac{1}{3}\cdot m|.
|\text{nombre de chiens} = \frac{m}{3}|
|\text{nombre de chats} = m|

3. Si on dit « Luc a quatre ans de plus que Kim », on peut écrire l’équation suivante:

Âge de Luc = âge de Kim + 4

La relation entre l’âge de Luc et l’âge de Kim sera :
Si |x| est l’âge de Kim, l’âge de Luc est |x + 4|.
|\text{âge de Kim} = x|
|\text{âge de Luc} = x + 4|

4. Si on dit « Kim a quatre ans de moins que Luc », on peut écrire l’équation suivante:

Âge de Kim = âge de Luc – 4

La relation entre l’âge de Kim et l’âge de Luc sera :
Si |y| est l’âge de Luc, l’âge de Kim est |y – 4|.
|\text{âge de Luc} = y|
|\text{âge de Kim} = y-4|

Après avoir déterminer l'expression mathématique des variables, la situation problème peut être traduire en équation.

Martine tond des pelouses pour amasser de l’argent de poche. Elle demande 5 $ pour tondre une pelouse. Quelle équation traduit cette situation?

1. On identifie les variables (ce qui peut varier dans le problème) :

variable 1 : le nombre de pelouses tondues par Martine (|x|);
variable 2 : l’argent amassé par Martine en fonction du nombre de pelouses tondues (|y|).

2. On identifie la relation entre les variables

Martine reçoit 5 $ pour chaque pelouse qu’elle tond.
On peut aussi dire que plus elle tond un grand nombre de pelouse, plus la somme ramassée sera grande.

3. On traduit cette relation par une équation :

L’argent amassé par Martine = 5 $ multiplié par le nombre de pelouses tondues
 
|y  =  5x|

 

Dans deux ans, Charles aura la moitié de l'âge que Dany aura à ce moment. Quelle équation traduit cette situation?

1. On identifie les variables (ce qui peut varier dans le problème) :
 
variable 1 : l'âge de Charles en ce moment (|x|);
variable 2 : l'âge de Dany en ce moment (|y|).

2. On identifie la relation entre les variables :
 
Dans deux ans, Charles aura la moitié de l'âge de Dany aura à ce moment.
On peut aussi dire que l'âge de Charles actuellement plus 2 ans sera égale à la moitié de l'âge de Dany actuellement, plus deux ans.

3. On traduit cette relation par une équation :

L'âge de Charles dans deux ans = 1/2 de l'âge de Dany dans deux ans.

|x+2=\frac{1}{2}(y+2)|

 

Attention, certains énoncés ne se traduiront pas par une équation. Ils se traduiront plutôt par une inéquation:

La notion d'inéquation et la traduction d'un énoncé

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