Mathématique m1137

La fonction rationnelle (variation inverse)

La fonction de variation inverse, aussi appelée la fonction rationnelle, est une fonction dont la variable dépendante (|y|) diminue à mesure que l'on augmente  la variable indépendante (|x|).

 

La forme de base d'une fonction rationnelle (variation inverse) est
||f(x)= \displaystyle \frac{1}{x}||
où |x \neq 0|.

Il n'est pas nécessaire que le numérateur soit 1. En effet, on rencontre souvent la forme : |f(x)= \displaystyle \frac{k}{x}|
où |xy=k| et |x \neq 0|.

Il existe d'autres formes pour l'équation d'une fonction de variation inverse (que l'on appelle alors une fonction rationnelle).
-La forme canonique de la fonction rationnelle
-La forme générale de la fonction rationnelle (forme homographique)

 

On peut déterminer qu'une fonction est de variation inverse si le produit de |x| et de |y| donne toujours le même nombre, c'est-à-dire la valeur de |k|.

Exemple:


Le produit de |x| et |y| donne toujours 320, donc cette fonction est de variation inverse

Cette fiche traite de la fonction rationnelle sous la forme |f(x)= \displaystyle \frac{k}{x}|.

Pour des informations supplémentaires, vous pouvez consulter les fiches suivantes.

 

Tracer le graphique d'une fonction de variation inverse

Pour tracer une fonction inverse sous la forme |f(x)= \displaystyle \frac{k}{x}|, on choisit différentes valeurs de |x| et on calcule les valeurs de |y| à partir de l'équation donnée.

Soit l'équation: |f(x)=\displaystyle \frac{1}{x}|

On peut produire une table des valeurs à partir de cette équation :

x y
1 1
2 1/2
3 1/3
4 1/4
5 1/5


Voici le graphique de cette fonction inverse, lorsque |x>0|.

Analyse du paramètre |k|

|\bullet| Si le paramètre |k| est plus grand que 1 (|k>1|), la fonction s'éloigne de l'origine.

|\bullet| Si le paramètre |k| est compris entre 0 et 1 (|0<k<1|), la fonction s'approche de l'origine.


La fonction de variation inverse sous la forme |f(x)=\displaystyle \frac{k}{x}| ne touche jamais aux deux axes du plan cartésien.

Recherche de la règle d'une fonction de variation inverse

Dans une table de valeurs ou un graphique

1. On prend un couple |(x,y)|.

2. On remplace dans la formule |y=\displaystyle \frac{k}{x}| par les coordonnées choisies en 1.

3. On isole |k|.

 

Trouvez l'équation de la fonction dont le graphique est :


1. On prend le couple (2,5).

2. On remplace dans notre équation.

|5 = \displaystyle \frac{k}{2}|

3. On isole |k|.

|10=k|

Ainsi, l'équation de notre fonction est |y= \displaystyle  \frac{10}{x}|.

 

On peut prendre un autre couple et vérifier si notre équation est correcte.

Dans un problème écrit

Dans un problème écrit, on identifie que la fonction est inverse lorsque la valeur de la valeur dépendante diminue lorsque la valeur dépendante augmente. Bref, la valeur de |y| diminue lorsque celle de |x| augmente.
À partir d'un problème écrit d'une fonction inverse, il est préférable de produire une table de valeurs pour bien comprendre la variation de la fonction.

Louis décide de louer un chalet dans les Laurentides pour fêter son anniversaire. Il invite plusieurs de ses amis pour fêter avec lui. Le coût de la location du chalet s’élève à 320,00 $ pour la fin de semaine. Les amis de Louis décident de se partager entre eux les coûts de la location du chalet.

Louis s’intéresse donc au coût que chacune des personnes aura à débourser selon le nombre de personnes qui seront présents lors de cette fin de semaine.

Donc si 1 personne loue le chalet, cela lui coutera 320$. Si 2 personnes louent le chalet, cela coutera 160$ à chaque personne. On peut donc produire la table de valeurs suivantes.


Pour trouver la fonction, il ne reste plus qu'à remplacer |x| et |y| dans l'équation  de la fonction inverse.

1. Si on prend le couple (10,32) :

|32= \displaystyle \frac{k}{10}|

2. On isole |k|.

|32\cdot10=k|
|320=k|

L'équation de cette fonction de variation inverse est donc :

|y= \displaystyle \frac{320}{x}|

 

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