Mathématique m1196

La classification des polygones

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Tout comme le mentionne la définition même d'un polygone, des segments de droites sont utilisés pour le dessiner. Par ailleurs, certains de ces segments on des noms particuliers avec des caractéristiques bien précises.

​Ainsi, on peut utiliser les propriétés de ces segments pour bien définir les divers types de polygones.

​Nomenclature des segments

          

La longueur (L) correspond à la grandeur d'un objet dans le sens de sa plus grande dimension. Per ailleurs, elle représente la distance entre deux sommets consécutifs.

Dans un rectangle, la longueur est la mesure du plus long côté. Elle est perpendiculaire à la largeur (l). La longueur peut être définie comme une base (b ou B) lorsqu'elle est horizontale, ou comme une hauteur (h) si elle est verticale.

La largeur (l) correspond à la grandeur d'un objet dans le sens de sa plus petite dimension.

Si on désire être plus précis, on peut également utiliser les concepts de base et de hauteur pour qualifier les différents segments présents dans un polygone.

La hauteur (h) est la mesure d'un segment qui est vertical et perpendiculaire au sol. 

 

La base a deux sens différents.

1. La base (b ou B) peut être la mesure de segments horizontaux dans le triangle (b), le rectangle (b), le parallélogramme et le trapèze (petite base b et grande base B).

2. La base peut aussi être la figure plane servant de «fond» ou d'«embout» (de là le terme base) à un prisme, une pyramide, un cylindre ou un cône.

Fait à noter, la hauteur et la base en géométrie sont toujours perpendiculaire. En d'autres mots, un angle de |90^\circ| est formé ​au point d'intersection de ces deux segments ou de leur prolongement. 

Le nom des polygones

On attribue le nom d'un polygone en fonction de son nombre de côtés et ce, qu'il soit régulier ou non. Comme il existe une infinité de polygones différents, voici le nom de ceux qui sont le plus couramment utilisés:

Nombre de côtés Nom du polygone
3TRIANGLE
4QUADRILATÈRE
5PENTAGONE
6HEXAGONE
7HEPTAGONE
8OCTOGONE
9ENNÉAGONE
10DÉCAGONE
11HENDÉCAGONE
12DODÉCAGONE

Il est à noter qu'il est possible de spécifier le nom des triangles et des quadrilatères selon la mesure de leurs angles, de leurs côtés ou de leurs diagonales. 

​On distingue les polygones convexes des polygones non convexes selon la mesure de leurs angles intérieurs​. En ce qui concerne l​​es polygones croisés, ils détiennent deux côtés sécants, comme l'indique l'appelation​​​​.

Polygones convexes

Un polygone est convexe si tous ses angles intérieurs ont une mesure inférieure à |180^\circ|. 

Peu importe le nombre d'angles présents, ils doivent tous être inférieurs à |180^\circ| pour que le poygone soit qualifié de convexe.​​

m1196i16.PNG  

Somme de ses angles intérieurs d'un polygone convexe

​|\text{somme des angles intérieurs} = (n-2) \cdot 180^\circ|
avec |n = | nombres de cotés du polygone.​
Avec cette formule, on peut déterminer la valeur totale des angles intérieurs de tous les polygones convexes.

Triangles
|\begin{align*}
\text{somme des angles intérieurs} &= (n-2) \cdot 180^\circ \\
&= (\color{red}{3} - 2) \cdot 180^\circ \\
&= 180^\circ
\end{align*}|

Quadrilatères
|\begin{align*}
\text{somme des angles intérieurs} &= (n-2) \cdot 180^\circ \\
&= (\color{red}{4} - 2) \cdot 180^\circ \\
&= 360^\circ
\end{align*}|

Pentagones
|\begin{align*}
\text{somme des angles intérieurs} &= (n-2) \cdot 180^\circ \\
&= (\color{red}{5} - 2) \cdot 180^\circ \\
&= 540^\circ
\end{align*}|

Hexagones
|\begin{align*}
\text{somme des angles intérieurs} &= (n-2) \cdot 180^\circ \\
&= (\color{red}{6} - 2) \cdot 180^\circ \\
&= 720^\circ
\end{align*}|
​Ainsi, la formule à utiliser est toujours la même. Seule la valeur associée au nombre de côtés change d'un polygone convexe à l'autre. 

Polygones non convexes (concaves)

On peut définir les polygones non convexes à l'aide du même concept. ​

Un polygone est non convexe s’il possède au moins un angle intérieur dont la mesure est ​ supérieure à |180^\circ|.

Comme le mentionne la définition, cette condition est suffisante pour définir cette catégorie de polygones.​​​

m1196i17.PNG

Les polygones croisés

Finalement, il peut arriver que les côtés d'un polygone se croisent.  Dans ce cas, on parlera d'un polygone croisé.

​Un polygone croisé est un polygone dont au moins deux côtés sont sécantsPour bien voir le polygone croisé, il faut garder en mémoire la définition même d'un polygone, soit qu'il s'agit d'une figure formée d'une ligne brisée fermée. ​​

m1196i50.gif​​​

Les propriétés des polygones

Pour bien définir chacun des polygones, on établit généralement leurs caractéristiques selon quatre concepts: leurs axes de symétrie, la mesure et la position relative de leurs côtés, de leurs angles et de leurs diagonales. 

Axes de symétrie

Certains polygones possèdent un ou plusieurs axes de symétrie.

Un axe de symétrie est une ligne qui coupe une figure en deux parties identiques

Pour illustrer le tout, on peut associer l'axe de symétrie à l'endroit où on doit placer un miroir pour que le reflet dans ce dernier corresponde exactement à la partie du polygone qui est cachée derrière le miroir.

m1198i16.PNG

De façon générale, on peut déduire les axes de symétrie simplement en analysant le polygone avec lequel on travaille. 

Côtés et angles

Bien entendu, on peut qualifier un polygone selon la mesure de ses côtés et de ses angles, mais aussi selon leur position les uns par rapport aux autres.

  Une paire de côtés consécutifs (ou adjacents) d'un polygone est constituée de deux côtés qui ont un sommet en commun.

Il est à noter qu'il y a autant de paires de côtés consécutifs qu'il y a de sommets dans un polygone. ​

m1198i12.PNG

Dans ce cas, les paires de côtés consécutifs sont :

- |\color{red}{\overline{AD}}| et |\color{blue}{\overline{AB}}|
- |\color{red}{\overline{AD}}| et |\color{fuchsia}{\overline{CD}}|
- |\color{green}{\overline{BC}}| et |\color{blue}{\overline{AB}}|
- |\color{green}{\overline{BC}}| et |\color{fuchsia}{\overline{CD}}|

De plus, on peut effectuer la même comparaison de position avec les angles des polygones.

Les angles consécutifs d'un polygone sont des angles qui ont un côté du polygone en commun

​De par cette définition, on peut déduire qu'il y a autant de paires d'angles consécutifs dans un polygone qu'il y a de sommets. ​​

m1198i18.PNG
Dans le cas de ce polygone, les paires d'angles consécutifs sont: 
- |\color{green}{\angle{A}}| et |\color{blue}{\angle{B}}|
- |\color{blue}{\angle{B}}| et |\color{red}{\angle{C}}|
- |\color{red}{\angle{C}}| et |\color{fuchsia}{\angle{D}}|
- |\color{fuchsia}{\angle{D}}| et |\color{orange}{\angle{E}}| ​​
- |\color{orange}{\angle{E}}| et |\color{green}{\angle{A}}|

​En se basant sur la parité associée au nombre de côtés d'un polygone, on peut établir la position relative entre deux angles, deux côtés, ou un angle  et un côté. 

Pour les polygones qui ont un nombre de côtés (|n|) pair: 
- des angles (sommets) sont opposés lorsqu'ils sont séparés par |\displaystyle \frac{n}{2}| côtés

- des côtés sont opposés lorsqu'ils sont séparés par |\displaystyle \frac{n}{2}| sommets.​
Ainsi, on peut appliquer cette définition à tous les polygones dont le nombre de côtés est |2, 4, 6, 8, ...|

Voici un exemple où l'on peut ​identifier une paire d'angles et de côtés opposés.
m1196i15.PNG
Ainsi, les côtés |\color{blue}{\overline{C_1D_1}}| et |\color{blue}{\overline{G_1H_1}}| sont opposés, car ils sont séparés par |\color{green}{\displaystyle \frac{n}{2} = \frac{8}{2} = 4 \ \text{sommets}}|.

De la même façon, les angles (sommets) |\color{fuchsia}{B_2}| et |\color{fuchsia}{F_2}| sont opposés, car ils sont séparés par |\color{red}{\displaystyle \frac{n}{2} = \frac{8}{2} = 4 \ \text{côtés}}|.​
Bien entendu, ce ne sont pas les seules paires de côtés et d'angles opposés, mais si on veut déterminer les paires manquantes, il suffit d'appliquer la définition à partir d'un nouvel angle ou d'un nouveau côté.

Pour les polygones qui ont un nombre de côtés (|n|) impair, on dit qu'un côté est opposé à un angle (ou un sommet) lorsque ces derniers sont séparés par |\displaystyle \frac{n-1}{2}|côtés.Ainsi, tous les polygones dont le nombre de côtés est |3, 5, 7, 9, ...| seront rattachés à cette définition.​​​ ​​

Les dessins suivants illustrent deux couples d'angles et de côtés qui sont opposés.​m1196i13.PNG
En se fiant à la définition, les angles et les côtés qui sont opposés doivent être séparés par |\displaystyle \frac{n-1}{2} = \frac{7-1}{2} = 3| côtés. 

Dans le |1^\text{er}| couple, le sommet |\color{blue}{B_1}| et le côté |\color{blue}{\overline{E_1F_1}}| sont opposés, car ils sont ​séparés par |\color{red}{3 \ \text{côtés}}|.

Dans le |2^e| couple, le sommet |\color{orange}{G_2}| et le côté |\color{orange}{\overline{C_2D_2}}| sont opposés, car ils sont aussi séparés par |\color{green}{3 \ \text{côtés}}|.

Diagonale

Contrairement à ce qu'on peut penser, une diagonale n'est pas nécessairement un axe de symétrie.

Une diagonale est un segment qui relie deux sommets non consécutifs

​Ainsi, il peut exister plus d'une diagonales dans un même polygone.

​À partir de l'hexagone initial suivant, on a tracé deux diagoanles issues du même sommet |A|.

m1196i14.PNG
On peut affirmer que |\color{green}{\overline{A_1E_1}}| est une diagonale. En effet, les sommets |A_1| et |E_1| ne sont pas consécutifs, car ils sont séparés par les sommets |B_1| et |D_1|. 

On peut également affirmer que |\color{red}{\overline{A_2D_2}}| est une diagonale. De par leur position, les sommets |A_2| et |D_2| ne sont pas consécutifs, car ils sont séparés par le sommet |B_2|.


Les vidéos
Les exercices

Les références