Mathématique m1201

Le périmètre et l'aire des triangles

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Le triangle est une figure plane dont les calculs du périmètre et de l'aire nécessitent la connaissance de certaines mesures spécifiques.

Afin de bien appliquer ces deux différents concepts, il est important de se rappeler de la différence entre le périmètre et l'aire​ d'une figure plane. 

Calcul du périmètre des triangles

Peu importe le triangle avec lequel on travaille, on peut toujours calculer son périmètre en additionnant la mesure de tous ses côtés.​​​

|\begin{align*} P_\text{triangle quelconque} &= \color{red}{a} + \color{blue}{b} + \color{green}{c}\\​ \\ P_\text{triangle isocèle}&= \color{red}{a} + \color{blue}{b} + \color{green}{c} \\
&= \color{red}{a} + \color{red}{a} + \color{green}{c} \\
&= 2\color{red}{a} + \color{green}{c}​\\ \\ P_\text{triangle équilatéral}&= \color{red}{a} + \color{blue}{b} + \color{green}{c} \\
&= \color{red}{a} + \color{red}{a} + \color{red}{a} \\
&= 3\color{red}{a}
\end{align*}|​​​

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​Ainsi, la nature précise du triangle avec lequel on travaille peut influencer le choix de la formule à utiliser.​

Lequel des deux triangles suivants a le plus grand périmètre ?
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1. Si nécessaire, détermine la classe des triangles
|\color{blue}{\text{Le triangle bleu est scalène.}}|
|\color{red}{\text{Le triangle rouge est isoangle, donc isocèle.}}|

2. Calculer le périmètre de chacun selon la formule appropriée
|\begin{align*}
\color{blue}{P_\text{triangle scalène}} &= \color{red}{a} + \color{blue}{b} + \color{green}{c} \\
&= \color{red}{7} + \color{blue}{3} + \color{green}{5} \\
&= 15 \ \text{cm} \\
\color{red}{P_\text{triangle isocèle}} & = 2\color{red}{a} + \color{green}{c} \\
&= 2 \cdot \color{red}{(5)}+ \color{green}{3} \\
&= 13 \ \text{cm}
\end{align*}|

3. Interpréter la réponse
Ainsi, |\color{blue}{\text{le triangle scalène}}| est celui avec le plus grand périmètre.

Calcul de l'aire des triangles

Comme le faisait état la définition de l'aire, il s'agit de calculer la superficie, en unités carrées, occupée par le polygone. Dans certains cas, on peut y arriver en utilisant une feuille quadrillée et en déplaçant certaines sections de la figure pour former des «carrés complets».​​

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En rabattant les deux petits triangles des extrémités sur les triangles du milieu, on peut affirmer que l'aire du grand triangle initial est de |8 \ cm^2|.
Par contre, cette méthode peut être assez fastidieuse dans bien des cas. Il est donc préférable d'utiliser la formule associée à l'aire d'un triangle. 

Avec les mesures de la base et de la hauteur

|\text{Aire}_\text{triangle} =​ \displaystyle \frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2}|​ où |\color{blue}{b} \perp \color{red}{h}|​

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Dans ce cas-ci, la formule d'aire demeure la même et ce, peu importe la nature du triangle. Par contre, il est bien important de se rappeler que la |\color{blue}{\text{base}}| et la |\color{red}{\text{hauteur}}| doivent être perpendiculaires.

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1. Identifier la base et la hauteur
Puisque le côté de |\color{blue}{18 \ cm}| est perpendiculaire à celui de |\color{red}{22 \ cm}|, on détermine que :
|\color{blue}{\text{base} = 18 \ cm}|
|\color{red}{\text{hauteur} = 22 \ cm}|
 
2. Appliquer la formule
|\begin{align*}
\text{Aire}_\text{triangle} &= \displaystyle \frac{\color{blue}{b} \cdot \color{red}{h}}{2} \\
&= \frac{\color{blue}{18} \cdot \color{red}{22}}{2} \\
&= 198 \ cm^2
\end{align*}|

3. Interpréter la réponse
Puisque le coût de |1 \ cm^2 = 5$|, celui de  |189 \ cm^2 = 189 \cdot 5 = 945 $|

​​De par cet exemple, on se rend compte que la hauteur n'est pas obligatoirement représentée par un segment vertical. Pour bien illustrer le tout, on peut se référer à la définition de la hauteur​ dans un polygone. ​

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