Mathématique m1212

Trouver une mesure manquante selon l'aire d'un polygone

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Par définition, trouver une mesure manquante à l'aide d'expression algébrique fait référence à l'algèbre. Pour permettre une certaine évolution dans la démarche de calculs, des variables seront utilisées pour identifier les mesures manquantes. 

Expression algébrique à 1 variable​

​Dans les cas où les mesures manquantes sont toutes en lien avec une seule et même mesure, il suffit d'utiliser une seule variable, généralement |x|, pour toutes les définir. Afin de s'assurer d'une construction adéquate et juste​ des expressions et équations algébriques, on peut s'inspirer de ce modèle.

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures

3. Construire l'équation en lien avec l'aire

4. Résoudre l'équation

5. Donner la réponse appropriée à la question posée
Par ailleurs, les propriétés des figures avec lesquelles on travaille peuvent être utilisées pour trouver des informations additionnelles. 

​​Selon l'aire d'un polygone (degré 1)

​Quelle est la mesure de la hauteur d'un triangle dont la base mesure |10 \ \text{cm}| et l'aire est de |12,5 \ \text{cm}​^2|? 

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information

|x=| mesure de la hauteur du triangle

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures
m1212i01.PNG 
3. Construire l'équation en lien avec l'aire

|\begin{align*}​ A_\Delta &= \frac{b \cdot h}{2} \\ 12,5 &= \frac{10 \cdot x}{2}\end{align*}|

4. ​Résoudre l'équation

|\begin{align*} 12,5 &= \frac{10 \cdot x}{2}\\ 12,5 \color{red}{\cdot 2} &= \frac{10 \cdot x}{2} \color{red}{\cdot 2} \\ \frac{25}{\color{red}{10}} &= \frac{10 \cdot x}{\color{red}{10}} \\ 2,5 &= x ​\end{align*}|

5. Donner la réponse appropriée à la question posée

La mesure de la hauteur du triangle est |2,5 \ \text{cm}|.

Selon l'aire d'un polygone (degré 2)

En sachant que l'aire d'un rectangle est de |124 \ \text{cm}^2|, détermine la mesure de sa hauteur si cette-dernière mesure |7 \ \text{cm}| de plus que le double de sa base?

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information

|x =| mesure de la base du rectangle

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures
m1212i02.PNG 

3. Construire l'équation en lien avec l'aire

|\begin{align} 
A_\text{rectangle} &= b \cdot h \\
124 &= x \cdot (2x +7) \\
124 &= 2x^2 + 7x
\end{align}|

4. ​Résoudre l'équation

|\begin{align}
124 \color{red}{-124} &= 2x^2 +7x  \color{red}{-124}\\
0 &= 2x^2 +7x-124\\​ \Rightarrow \frac{\text-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2x} &= \frac{\text-(7) \pm \sqrt{7^2-4\cdot 2 \cdot (\text-124)}}{2 \cdot 2} \\
&= \frac{\text-7 \pm \sqrt{1041}}{4}\\
&\Rightarrow x_1 \approx \text-9,82 \ \text{et} \ x_2 \approx 6,32
\end{align}|

5. Donner la réponse appropriée à la question posée

Par définition, on peut rejeter |x_1 \approx \text-9,82| puisqu'on cherche une mesure de longueur, donc nécessairement une valeur positive.
Ainsi, |x = x_2 \approx 6,32 \Rightarrow \text{hauteur} = 2x + 7 = 2 \cdot (6,32)+7 \approx 19,64 \ \text{cm}|. 

Expression algébrique à 2 variables

​Que l'on travaille avec une ou deux variables, la démarche à suivre est relativement la même. Par contre, on ne doit plus résoudre une équation, mais un système d'équations. 

1. À l'aide du dessin et des informations contenus dans le texte, construire les équations en lien avec les aires

2. Résoudre le système d'équations

3. Donner la réponse appropriée à la question posée
Pour résoudre ce genre de système d'équations, il existe trois méthodes qui sont plus communes, soient les méthodes par comparaison, par substitution et par élimination.​​

​​Selon l'aire de polygones (degré 1)

Quelles sont les mesures de deux rectangles suivants sachant qu'ils ont des aires respectives de |17,28 \ \text{cm}^2​| et |17,2 \ \text{cm}^2|?
m1212i03.PNG 
1. À l'aide du dessin et des informations contenus dans le texte, construire les équations en lien avec les aires
||\begin{align} 
\color{red}{A_\text{rectangle}} &= \color{red}{b \cdot h}\\
\color{red}{17,28} &= \color{red}{3 \cdot (y-x)} \\
\color{red}{17,28} &= \color{red}{3y-3x} \\
\color{red}{17,28 + 3x} &= \color{red}{3y} \\
\color{red}{5,76 +x} &= \color{red}{y} \\
&\\
\color{fuchsia}{A_\text{rectangle}} &= \color{fuchsia}{b \cdot h}\\
\color{fuchsia}{17,2} &= \color{fuchsia}{2 \cdot (x+y)}\\
\color{fuchsia}{17,2} &= \color{fuchsia}{2x + 2y} \\
\color{fuchsia}{17,2 - 2x} &= \color{fuchsia}{2y} \\
\color{fuchsia}{8,6 - x} &= \color{fuchsia}{y}
\end{align}||​
2. Résoudre le système d'équations

Par comparaison, on obtient:
|\begin{align}
\color{red}{5,76 + x} &= \color{fuchsia}{8,6 - x}\\
 2x &= 2.84\\ ​x &= 1,42
\end{align}|

En substituant |x| par sa valeur dans une des deux équations de départ, on obtient:
|\begin{align}
\color{red}{17,28} &= \color{red}{3 \cdot (y-x)}\\
\Rightarrow 17,28 &= 3 \cdot (y-1,42) \\
17,28 &= 3y -  4,26 \\
21,54 &= 3y \\
7,18 &= y
\end{align}|

3. Donner la réponse appropriée à la question posée

Ainsi, les dimensions des rectangles sont les suivantes:
​​​m1212i04.PNG

​​​ Selon l'aire de polygones (degré 2)

Quelles sont les mesures numériques des segments qui sont associés à des expressions algébriques en prenant que considération que:
|\tiny \bullet| l'aire totale du trapèze est de |42 \ \text{cm}^2|;
|\tiny \bullet| l'aire de la rég​ion triangulaire est de |6 \ \text{cm}^2|?​​
m1212i05.PNG 
1. À l'aide du dessin et des informations contenus dans le texte, construire les équations en lien avec les aires
||\begin{align}
\color{fuchsia}{A_\text{trapèze}} &= \color{fuchsia}{\frac{(B+b) \cdot h}{2}} \\
\color{fuchsia}{42} &= \color{fuchsia}{\frac{((x+y)+x) \cdot \frac{4x}{9}}{2}}\\
\color{fuchsia}{42} &= \color{fuchsia}{\frac{8x^2+4xy}{18}}\\
\color{fuchsia}{756} &= \color{fuchsia}{8x^2 +4xy}\\
& \\
\color{red}{A_\text{triangle}} &= \color{red}{\frac{b \cdot h}{2}} \\
\color{red}{6} &= \color{red}{\frac{y \cdot \frac{4x}{9}}{2}} \\
\color{red}{6} &= \color{red}{\frac{4xy}{18}}\\
\color{red}{108} &= \color{red}{4xy}
\end{align}||
2. Résoudre le système d'équations

Par substitution dans l'équation associée à l'aire du trapèze, on obtient:
||\begin{align}
\color{fuchsia}{756} &= \color{fuchsia}{8x^2} + \color{red}{4xy} \\
\color{fuchsia}{756} &= \color{fuchsia}{8x^2 }​​+ \color{red}{108} \\
648 &= 8x^2 \\
81 &= x^2 \\
\color{blue}{\pm 9} &= \color{blue}{x} 
\end{align}||
Selon le contexte, on conserve la valeur de |x| positive et on substitue dans une des équations départ pour trouver la valeur de |y|:
||\begin{align}
\color{red}{6} &= \frac{\color{red}{y} \cdot \frac{\color{red}{4}\color{blue}{x}}{\color{red}{9}​​}}{\color{red}{2}}\\
\color{red}{6} &= \frac{\color{red}{y} \cdot \frac{\color{red}{4} \cdot \color{blue}{9}}{\color{red}{9}}}{\color{red}{2}}\\
6&= \frac{y \cdot 4}{2} \\
3 &= y 
\end{align}||
3. Donner la réponse appropriée à la question posée

Les mesures de côtés recherchées sont les suivantes:
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Les vidéos
Les exercices

Les références