Mathématique m1212

Trouver une mesure manquante selon l'aire d'une figure décomposable (1 variable)

​​​​​​Dans les cas où les mesures manquantes sont toutes en lien avec une seule et même mesure, il suffit d'utiliser une seule variable, généralement |x|, pour toutes les définir. Afin de s'assurer d'une construction adéquate et juste​ des expressions et équations algébriques, on peut s'inspirer de ce modèle.​

Expression algébrique de degré 1

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information.

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures.

3. Construire l'équation en lien avec l'aire.

4. Résoudre l'équation.

5. Donner la réponse appropriée à la question posée.

Par ailleurs, les propriétés des figures avec lesquelles on travaille peuvent être utilisées pour trouver des informations additionnelles. 

​Afin d'assurer une sécurité maximale, une compagnie de transport scolaire tient à recouvrir le contour du bras d'arrêt de ses autobus de lumières scintillantes. Concrètement, ce bras est formé d'un rectangle et d'un octogne régulier.
m1531i13.PNG 
En te servant des mesures qui sont données sur le dessin et du fait que l'aire totale de ce polygone décomposable est de |\small 15,42 \ \text{dm}^2|, détermine sur quelle longueur seront installées les lumières scintillantes?
*Les mesures sur l'illustration sont en décimètre.

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information.

   |x=| mesure de la longueur du rectangle

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures.

  Pour cette situation, il n'y a aucne autre expression algébrique à utiliser.

3. Construire l'équation en lien avec l'aire
||\small\begin{align} A_\text{totale} &= A_\text{rectangle} + \color{red}{A_\text{octogone}} \\ \\
15,42 &= b \cdot h + \color{red}{\frac{c \cdot a \cdot n}{2}} \\ \\
15,42 &= x \cdot 1,5 + \color{red}{\frac{1,5 \cdot 1,82 \cdot 8}{2}}\\ \\
15,42 &= 1,5x + \color{red}{10,92} \end{align}||
4. Résoudre l'équation.
||\small\begin{align} 15,42 \color{fuchsia}{-10,92} &= 1,5x + \color{red}{10,92} \color{fuchsia}{-10,92}\\ \\
\frac{4,5}{\color{fuchsia}{1,5}} &= \frac{1,5x}{\color{fuchsia}{1,5}}\\
3 &= x \end{align}|| 5. Donner la réponse appropriée à la question posée​.

Pour obtenir la longueur sur laquelle il y aura des lumières scintillantes, il suffit d'additionner la mesure de chacun des côtés:
||\small \begin{align} \text{Longueur} &= 1,5 \cdot 8 + 2 \cdot 3 \\
&= 18 \ \text{dm} \end{align}||

Expression algébrique de degré 2

​Puisqu'on va travailler avec des expressions algébriques de degré 2, il est essentiel de maîtriser la formule quadratique​

Quelles sont les mesures associées au dessin suivant
m1212i10.PNG 
en sachant que
|\tiny \bullet| la hauteur du rectangle mesure |\small 3\ \text{cm}| de plus que sa base,
|\tiny \bullet| la mesure du diamètre du demi-disque équivaut au triple de la longueur de la base du rectangle,
|\tiny \bullet| l'aire totale de cette figure est de |\small 84,55 \ \text{cm}^2|?

1. Associer la variable |x| à la mesure pour laquelle on a le moins d'information.

   |x=| mesure de la base du rectangle

2. À l'aide d'un dessin, identifier les expressions algébriques des autres mesures.
m1212i18.PNG
3. Construire l'équation en lien avec l'aire.
||\small\begin{align} A_\text{totale} &= A_\text{rectangle} + \color{blue}{A_\text{demi-disque}} \\ \\
84,55 &= b \cdot h + \color{blue}{\frac{\pi \cdot r^2}{2}} \\ \\
84,55 &= \color{red}{x} \cdot (\color{magenta}{x+3}) + \frac{\pi \cdot \left(\frac{\color{orange}{3x}}{2}\right)^2}{2}\\ \\
84,55 &\approx x^2+3x+3,54x^2 \end{align}||
4. Résoudre l'équation.
||\small\begin{align} 84,55 &\approx x^2+3x+3,54x^2 \\ \\
0&= 4,54x^2+3x-84,55\end{align}|| À l'aide de la formule quadratique, on obtient: ||\small \begin{align} \displaystyle x_{1,2} =\frac{\text{-}b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\quad \Rightarrow \quad
x_{1,2}&=\frac{\text{-}3 \pm \sqrt{3^2-4 \cdot 4,54 \cdot (\text{-}84,55)}}{2 \cdot 4,54}\\\\
&=\frac{-3\pm \sqrt{1\ 544,428}}{9,08}\\\\
\Rightarrow x_1 \approx 4 \ &\text{et} \ x_2\approx \text{-}4,66\end{align}||
Puisqu'on cherche une mesure de longueur, on conserve seulement la valeur positive, soit |\small x_1 \approx 4|.

5. Donner la réponse appropriée à la question posée​.

Ainsi, les m​esures recherchées sont les suivantes:
m1212i12.PNG
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Les exercices

Les références