Mathématique m1270

L'homothétie

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Parfois, il arrive qu'une figure doive être agrandie ou rétrécie. Lorsque la figure finale obtenue conserve les mêmes proportions que la figure initiale, il est question d'homoth​étie.

L’homothétie, notée |h_{(O,k)}|, est une transformation géométrique qui permet d’agrandir ou de réduire une figure selon un rapport d'homothétie |k| et un centre |O|.

Ainsi, une homothétie a pour conséquence d'augmenter ou de diminuer de façon proportionnelle les mesures des côtés d'une figure.

Les expressions «rapport de similitude» et «rapport d'homothétie» représentent la même valeur et sont représentées par la même variable |k|.

Par contre, le rapport de similitude fait référence aux mesures des côtés homologues et non au centre d'homothétie. Malgré tout, dans les deux cas, la valeur finale du rapport obtenu sera la même.

Pour plus de précisions sur ce sujet, on peut consulter la fiche sur le rapport de similitude.


Effet du rapport d'homothétie |k| sur l'image

Le rapport d'homothétie influence la taille de la figure image obtenue par homothétie. Il peut également avoir un impact sur l'orientation de la figure.

Rapport d'homothétie positif |(k>0)|

Lorsque le rapport est positif, les sommets des figures initiale et image sont du même côté par rapport au centre d'homothétie.

Exemple d'agrandissement |(k>1)|
Le rectangle A'B'C'D' a été obtenu par l'homothétie de centre O du rectangle ABCD selon un rapport d'homothétie |k = 2|.
m1270i20.PNG
Exemple de réduction |(0<k<1)|
Le rectangle E'F'G'H' a été obtenu par l'homothétie de centre O du rectangle EFGH selon un rapport d'homothétie |k = 0,5|.
m1270i41.PNG

Rapport d'homothétie négatif |(k<0)|

Lorsque le rapport est négatif, les sommets homologues des figures initiale et image sont situés de part et d'autre du centre d'homothétie.

Exemple d'agrandissement |(k<-1)|
Le quadrilatère A'B'C'D' a été obtenu grâce à l'homothétie du quadrilatère ABCD selon un rapport d'homothétie |k = -2|.
m1270i40(final).gif​​​

Exemple de réduction |(-1<k<0)|
Le trapèze E'F'G'H' a été obtenu grâce à l'homothétie du trapèze EFGH selon un rapport d'homothétie |k = -0,75|.
m1270i26.PNG

​En gardant ces relations en mémoire, on peut plus facilement valider le résultat associé à la figure image lors de la construction d'une homothétie.

Construction d'une figure par homothétie

Pour réaliser une homothétie, on doit connaitre le centre d'homothétie et le rapport d'homothétie |(k)|. Ensuite, il suffit d'utiliser une règle et un crayon.

1) Pour chacun des sommets, tracer une droite qui relie chaque point au centre d'homothétie. Pour faciliter la suite, s'assurer que la droite est prolongée au-delà du centre d'homothétie et du sommet.

2) À l'aide d'une règle, mesurer la distance entre chaque sommet de la figure et le centre d'homothétie.

3) Mulitiplier chacune des distances par le rapport d'homothétie |k|.

4) En allant du bon côté du centre d'homothétie, marquer les distances obtenues sur les segments de droite respectifs en prenant soin de bien identifier chaque sommet image par le symbole « ' ».

5) Rejoindre les sommets images correspondants afin de reconstituer la figure image. ​​

Homothétie lorsque |k| est positif

Dans l'animation interactive suivante, il est possible de déplacer les points O (centre d'homothétie), A, B et C (sommet du triangle initial) et de modifier la valeur du rapport. En modifiant ces éléments à différents moments de l'animation, on peut bien comprendre leur impact sur la figure image. 


En modifiant le rapport, on réalise qu'un rapport d'homothétie entre 0 et 1 engendre une réduction de la figure initiale alors que s'il est supérieur à 1, elle s'agrandit.

Homothétie lorsque |k| est négatif

Dans le cas où le rapport d'homothétie est négatif, il est important de prolonger chacun des segments reliant le centre d'homothétie aux sommets des deux côtés de ce même centre.

Lorsque les calculs sont faits, une distance négative est obtenue. Géométriquement parlant, cela signifie qu'il faut mesurer à partir du centre d'homothétie vers le côté opposé.


​​Trouver le centre d'homothétie

Afin de déterminer l'emplacement du centre d'homothétie, on doit utiliser les informations fournies par les figures initiale et image.

1) Tracer une droite qui passe par A et A'.
2) Tracer une droite qui passe par B et B'.
3) Inscrire le centre d'homothétie au point d'intersection des deux droites tracées précédemment.
Un minimum de deux droites est nécessaire pour trouver le centre d'homothétie. Si une troisième et une quatrième droites sont tracées, elles passeront toutes par le même point d'intersection trouvé initialement à l'aide des deux premières droites. 

Dans l'animation suivante, on peut déplacer les sommets de la figure initiale, on peut déplacer horizontalement et verticalement la figure image et on peut changer la valeur du rapport d'homothétie.

Calculer le rapport d'homothétie

Il arrive parfois que la valeur du rapport d'homothétie |k| soit donnée et qu'on doive tracer l'homothétie. À d'autres moments, c'est le contraire : l'homothétie est complètement tracée et la question est de trouver la valeur de ce rapport.

Il est possible de déterminer le rapport d'homothétie à partir du centre d'homothétie et d'au moins deux points dont un est l'image de l'autre.

||\begin{align}
k\ &=\ \displaystyle \frac{\text{distance entre le centre d'homothétie et un sommet image}}{\text{distance entre le centre d'homothétie et le sommet initial}}\\
&=\ \frac{m \ \overline{OA'}}{m \ \overline{OA}}
= \frac{m \ \overline{OB'}}{m \ \overline{OB}}
= \frac{m \ \overline{OC'}}{m \ \overline{OC}}
=\  ... \end{align}||
Avec
||\begin{align}
O &=&& \text{centre d'homothétie} \\
A,B,C,... &=&& \text{sommets de la figure initiale}\\
A', B', C', ... & = && \text{sommets de la figure image}
\end{align}||

Les exemples suivants illustrent la procédure à suivre pour déterminer le rapport de similitude d'une homothétie.

1) Au besoin, trouver le centre d'homothétie.
m1270i35.PNG 
​​​​
2) Mesurer un segment image au choix.
m1270i36.PNG 
3) Mesurer le segment initial associé au segment image.
m1270i37.PNG

4) Calculer le rapport d'homothétie |k| selon la formule.
|k = \displaystyle \frac{\text{m} \overline{OC'}}{\text{m} \overline {OC}} = \displaystyle \frac{5}{9,3} \approx 0,54|

5) Déterminer le signe du rapport d'homothétie |k|.
Dans le cas présent, les points |C| et |C'| sont du même côté du centre d'homothétie. Dans ce cas, le rapport d'homothétie est positif.

Alors, |k \approx 0,54|.
Les vidéos
 
Les exercices
Les références