Mathématique m1294

La loi des cosinus

​​​​La loi des cosinus est une formule qui permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Elle est donc valable pour tous les triangles.

​La loi des cosinus est une généralisation de la relation de Pythagore aux triangles quelconques. Elle permet de trouver la mesure d'un côté ou d'un angle dans un triangle quelconque. Pour ce faire, il faut connaître les mesures de deux côtés et de l'angle qu'ils forment, ou les mesures des trois côtés du triangle.

La loi des cosinus peut prendre les formes suivantes:
||\begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc\cdot \cos A\\
b^2 &= a^2 + c^2 – 2ac\cdot \cos B\\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab\cdot \cos C\end{align}||
avec ​​         
m1294i1.jpg

Généralement, on utilise cette loi des cosinus dans deux situations:

-quand on connaît le mesures de deux côtés et de l'angle qu'ils forment dans le triangle ce qui permet de trouver la mesure du troisième côté (comme dans le triangle de gauche ci-dessous);
-lorsqu'on connaît les mesures des trois côtés du triangle ce qui permet de trouver la mesure d'un angle (comme dans le triangle de droite ci-dessous).
m1294i5.JPG


Les mesures de de​ux côtés et de l'angle qu'ils forment sont connues

Quelle est la mesure du côté |\overline{AB}| dans le triangle ci-dessous?
m1294i6.JPG 

||\begin{align} c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab\cdot \cos C\\
 &= 10^2 + 8^2 – 2(10)(8)\cdot \cos 70^\circ\\
 &= 100 + 64 - 160\cdot \cos 70^\circ\\
 &= 164 - 160\cdot \cos 70^\circ\\
 &= 164 - 54,72\\
 &= 109,28\\
c &= 10,45\end{align}||

Réponse: Le côté |\overline{AB}| est égal à 10,45 cm.

Les mesures des trois côtés sont connues

Quelle est la mesure de l'angle R dans le triangle ci-dessous?
m1294i7.JPG 
||\begin{align}r^2 &= s^2 + t^2 – 2st\cdot \cos R\\
4^2 &= 7^2 + 6^2 – 2(7)(6)\cdot \cos R\\
16 &= 49 + 36 – 84\cdot \cos R \\
16 &= 85 – 84\cdot \cos R \\
\text{-}69 &= \text{–} 84\cdot \cos R \\
0,82 &= \cos R \\
34,92^\circ &= R\end{align}||
Réponse: L'angle R est égal à 34,92 degrés.

Les mesures de deux côtés et d'un autre angle que celui qu'ils forment sont connues​​

​Quelle est la mesure du troisième côté du triangle ci-dessous?
m1294i8.JPG 

Dans cet exemple, il peut être utile de se servir de la loi des cosinus. On pose d’abord l’équation mettant en relation la mesure du troisième côté et les mesures connues:
||b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cdot \cos B||
dans laquelle:
||\begin{align} a& =10,6 \mathrm{cm} \\
b &=16 \mathrm{cm} \\
 c &= \ \text{mesure du troisième côté} \\
m\angle B &=120°\end{align}||
En utilisant la formule, on obtient,
||\begin{align} 16^2 &= 10,6^2 + c^2 – 2(10,6)(c)\cdot \cos 120° \\
256 &= 112,36 + c^2 – 21,2(c)\cdot (-0,5) \\
256 &= 112,36 + c^2 + 10,6\cdot c \\
0 &= 112,36 – 256 + c^2 + 10, 6c \\
0 &= c^2 + 10, 6c – 143, 64\\\\
\Rightarrow c &= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-(4ac)}}{2a} \\\\
&= \frac{-10,6\pm\sqrt{10,6^{2}-(4\cdot1\cdot-143,64)}}{2\cdot1}\\\\
&= \frac{-10,6\pm\sqrt{686,92}}{2} \\\\
&= \frac{-10,6\pm26,21}{2}\\\\
&= 7,80 \ \text{OU} \ \text{-}18,40\end{align}||
La valeur négative est à rejeter puisqu'on cherche une mesure de côté.

Donc, la réponse est 7,80 cm.
Les vidéos
Les exercices
Les références