Mathématique m1490

L'écriture des nombres

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Les nombres peuvent être écrits de différentes façons: en fraction, en notation décimale, en notation scientifique, etc. Il est important de connaître les caractéristiques de chacune de ces écritures ainsi que les méthodes pour passer d'une forme à l'autre.

Par contre, les nombres ne se sont pas toujours écrits avec les chiffres tels qu'on les connaît aujourd'hui. En fonction de l'époque et de la culture, différentes écritures et modes de représentation ont été utilisés au fil des années. De plus, la base 10 telle qu'on la connaît aujourd'hui n'a pas toujours fait l'unanimité. 

​​L'écriture des nombres comme on la connaît utilise l'écriture indo-arabe, soit|0, \ 1, \ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9|. En théorie, cette écriture s'applique seulement à l'écriture en base |10| des nombres. 

Or, pour faciliter la compréhension, ces mêmes chiffres seront utilisés tout au long de la fiche. Pour faire une différence au niveau de la base utilisée, on utilisera l'indice comme référence:
||576_{\color{blue}{12}} = 576 \ \small\text{en base} \ \color{blue}{12}||

​​Écriture en base 12 et 60

Com​​me les formes d'écritures étaient très diversifiées vers |3500| av JC, les humains de cette époque devaient utiliser les moyens à leur disposition pour compter. Dans le cas présent, ils ont utilisé les doigts de la main gauche (5) et les phalanges de la main droite (12) de l'autre. Ainsi, 1 doigt de la main gauche était associé au groupe de 12 phalanges de la main droite.

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Par exemple, 
||\begin{align} \small\text{index gauche levé} +  \small{1^{\small\text{ère}} \ \text{phalange de l'index droit}}&= 4 \cdot \underbrace{\color{blue}{12}^1}_{\small\text{valeur de position}} + 10 \cdot \underbrace{\color{blue}{12}^0}_{\small\text{valeur de position}}\\
&=4 \cdot \color{blue}{12}+ 10 \cdot \color{blue}{1} \\
&= 48 + 10 \\
&= 58 \end{align}||​Tout comme la numérotation en base |10|, on peut utiliser le système des valeurs des positions​ et la forme développée des nombres pour bien interpréter la valeur d'un nombre en base |12|. 

Ainsi, cette façon de quantifier avec les doigts et les phalanges a fait apparaître le système duodécimal, soit en base |12|. 

Par ailleurs, cette façon de compter avec les doigts et les phalanges est également en lien avec le système sexagésimal, soit en base |60|. 

En considérant les |5| doigts de la main gauche et les |12| phalanges de la main droite, on obtient un total de |60| possibilités. |\small{(5 \times 12 =60)}|

En ce qui concerne notre société contemporaine, cette base est présente dans nos unités de temps, soient les secondes, les minutes et les heures. 

Combien y a-t-il de secondes dans 5 heures et 17 minutes et 34 secondes?
​||\begin{align} (\small 5\ \small\text{h}\ 17\ \small\text{min} \ 34 \ \small\text{sec})​​_{\color{blue}{60}} &= 5 \cdot \underbrace{\color{blue}{60}^2}_{\small\text{valeur de position}} + 17 \cdot \underbrace{\color{blue}{60}^1}_{\small\text{valeur de position}} + 34 \cdot \underbrace{\color{blue}{60}^0}_{\small\text{valeur de position}}\\
&=5 \cdot \color{blue}{60 \cdot 60}+ 17 \cdot \color{blue}{60} + 34 \cdot \color{blue}{1} \\
&= 1 \ 800 + 1 \ 020 + 34 \\
&= 2 \ 854 \ \small\text{sec}\end{align}||

​Par contre, cette méthode présentait un inconvénient de taille, soit la représentation des nombres avec une très grande valeur telle |5 \ 458 \ 384|. Pour pallier à cette difficulté, d'autres découvertes ont été faites dans les siècles suivants.

​Écriture en base 10

Lorsqu'est venu le temps de représenter de grande quantité, l'utilisation de 10 doigts et de 2 mains ne suffisaient plus. Ainsi, entre le XIV et XI siècle av JC, c'est en Chine qu'est apparue le système décimale, soit la base 10.

En fait, l'utilisation du 10 semblait évident pour eux puisqu'ils étaient habitués de dénombrer à l'aide de leurs 10 doigts. Par contre, l'apparition et l'utilisation  officielle du 0 s'est fait attendre jusqu'au V siècle de notre ère. 

Avec cette apparition de la valeur nulle est venue la notion de regrouper pour mieux représenter. Ainsi, un paquet de dix unités devenait une dizaine; un paquet de dix dizaines devenait une centaine et ainsi de suite.​

Pour plus d'informations, les fiches sur les valeurs des positions​ et la forme développée des nombres sont disponibles sur la bibliothèque virtuelle. 

Écriture en base 20

Toujours durant le V siècle, le peuple des Mayas ont basé leur calendrier en utilisant une base 20. Pourquoi? Non seulement ils utilisaient leurs 10 doigts, mais également leurs 10 orteils! 

Puisqu'il ne s'agit pas d'une base 10, les symboles utilisés pour représenter les différentes quantités ne sont pas les chiffres comme on les connait.
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De plus, ​l'écriture des nombres par le biais de ce sytème ne se faisait pas de gauche à droite, mais du bas vers le haut.​

Tout comme la numérotation en base 10, on peut utiliser le système des valeurs des positions​ et la forme développée des nombres pour bien interpréter leur valeur respective. 

En utilisant les chiffres tels qu'on les connaît, détermine le nombre associé à cette illustration
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​||\begin{align} \small \text{ce nombre}​​_{\color{blue}{20}} &= 11 \cdot \underbrace{\color{blue}{20^2}}_{\small\text{valeur de position}} + 6 \cdot \underbrace{\color{blue}{20}^1}_{\small\text{valeur de position}} + 16 \cdot \underbrace{\color{blue}{20}^0}_{\small\text{valeur de position}}\\
&=11 \cdot \color{blue}{20\cdot 20}+ 6 \cdot \color{blue}{20} + 16 \cdot \color{blue}{1} \\
&= 4 \ 400 + 120 + 16\\
&= 4 \ 536_{10} \ \small\text{est sa valeur décimale} \end{align}||

​Écriture en base 2 et 16

Contrairement aux autres bases, le système binaire, soit en base 2, est assez récent. Même si sa découverte a été réalisée vers la fin du XVII siècle, c'est surtout depuis le début du XX siècle qu'il est pleinement exploité.

En fait, cette manière de coder les informations est la seule qui peut être comprise par les diverses composantes électroniques d'un ordinateur. Généralement associé aux bits (de l'anglais binary digit), ce code n'est composé que de deux symboles: 0 et 1. 

Pour standardiser le codage informatique, ces bits ont été regroupés par 8 pour former des octets. Ainsi, chaque octet est associé à un chiffre, une lettre, une ponctuation, un accent, etc. Bref, chaque octet est associé à un caractère précis de l'alphabet latin​. Voici un aperçu de la table des caractères utilisés par le code ISO/CEI 8859-1, soit "l'alphabet informatique" selon le codage par octet.​​
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Tout comme la numérotation en base 10, on peut utiliser le système des valeurs des positions​ et la forme développée des nombres pour bien interpréter leur valeur respective. 

Puisque chaque caractère possède un octet qui lui est unique, on peut en déduire une valeur décimale. Par ailleurs, cette valeur décimale est souvent associée à des touches raccourcies universelles. 

Quelle est la valeur décimale de ce caractère?

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​||\begin{align} 11001000_{\color{blue}{2}} &= 1 \cdot \underbrace{\color{blue}{2^7}}_{\small\text{valeur de position}} + 1 \cdot \underbrace{\color{blue}{2}^6}_{\small\text{valeur de position}} + 1 \cdot \underbrace{\color{blue}{2}^3}_{\small\text{valeur de position}}\\
&=1 \cdot \color{blue}{2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}+ 1 \cdot \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} + 1 \cdot \color{blue}{2 \cdot 2 \cdot 2} \\
&= 128 + 64+ 8\\
&= 200_{10} \ \small\text{est sa valeur décimale}\end{align}||​

​Fait à noter, les |0| ont volontairement été éliminés des calculs puisque leur valeur nulle n'affecte en rien la réponse finale. 

Par contre, avec ces interminables suites de |0| et de |1|, il peut être facile de se tromper. Dans ce cas, on n'obtient pas le caractère que l'on désire et on doit vérifier le code en entier pour trouver son erreur. Pour pallier à cette difficulté, la base |16| a été introduite au langage informatique. 

​​Par définition, tous les nombres de |0| à |15| inclusivement pouvaient être utilisés pour former le code. Par ailleurs, cela présentait un problème puisqu'il ne pouvait y avoir qu'un caractère par position. Ainsi, la nomenclature suivante a été adoptée:
||\begin{align}​ 0 &= 0 &4 &= 4 & 8 &= 8 & 12 &=C\\
1&=1 &5 &=5 & 9 &= 9 & 13&=D \\
2&=2 &6 &=6 &10 &= A & 14 &= E \\
 3 &= 3 & 7 &=7 & 11&= B & 15&= F \end{align}||
Ainsi, quelle est la valeur décimale de ce caractère?

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​||\begin{align} \small \text{CA}​​_{\color{blue}{16}} &= C\cdot \underbrace{\color{blue}{16^1}}_{\small\text{valeur de position}} + A \cdot \underbrace{\color{blue}{16}^0}_{\small\text{valeur de position}}\\​ &= 12 \cdot \underbrace{\color{blue}{16^1}}_{\small\text{valeur de position}} + 10 \cdot \underbrace{\color{blue}{16}^0}_{\small\text{valeur de position}}\\
&=12 \cdot \color{blue}{16}+ 10 \cdot \color{blue}{1}  \\
&= 192 + 10\\
&= 202_{10} \ \small\text{est sa valeur décimale}\end{align}||​​

Pour avoir une meilleure représentation d'un tel changement, voici le même caractère avec ses codes binaire et hexadécimal:

||\begin{align} &\small\text{code binaire} && \small\text{code hexadécimal} && \small\text{caractère} \\
&11001010 && CA && \text{É} \end{align}||

Ainsi, les codes deviennent plus légers donc plus faciles à lire et à créer.

Passage d'une écriture en base 10 vers une autre base​​

Grace aux valeurs de position qui sont présentes dans chacune des bases, il est possible d'écrire un même nombre sous deux bases différentes. 

Puisque le système décimale est généralement modifié, c'est ce système qui sera utilisé comme référence.

De la base 10 vers une autre base

Comment écrit-on 345 en base 12?

1. Déterminer la valeur des positions de la base identifiée
​||\begin{align} 1^\text{ère} \ \text{position}​​_{\color{blue}{12}} &= 12^0 = 1 \\
2^\text{e} \ \text{position}​​_{\color{blue}{12}} &= 12^1 = 12 \\
3^\text{e} \ \text{position}​​_{\color{blue}{12}} &= 12^2 = 144 \\
4^\text{e} \ \text{position}​​_{\color{blue}{12}} &= 12^3 = 1 \ 728 \\
\end{align}||
2. Procéder par soustraction en commençant par la plus grande position possible
||\begin{align} &345 - (144 + 144) && 3^e \ \text{position}\\
\Rightarrow &57 - (12 + 12 + 12 + 12) && 2^e \ \text{position}\\
\Rightarrow &9 - (1+1+1+1+1+1+1+1+1) && 1^{ère} \ \text{position}\end{align}||
3. Associer une quantité à chaque position
||\begin{align} 345_{10}&=\underbrace{144 + 144}_{3^e \ \text{position}} + \underbrace{12+12+12+12}_{2^e \ \text{position}} + \underbrace{1+1+1+1+1+1+1+1+1}_{1^{ère} \ \text{position}} \\
&=2 \cdot \underbrace{144 }_{\text{valeur de position}} + 4 \cdot \underbrace{12}_{\text{valeur de position}} + 9 \cdot \underbrace{1}_{\text{valeur de position}} \\
&=2 \cdot \underbrace{\color{blue}{12}^2}_{\text{valeur de position}} + 4 \cdot \underbrace{\color{blue}{12}^1}_{\text{valeur de position}} +9 \cdot \underbrace{\color{blue}{12}^0}_{\text{valeur de position}} \\
&=249_{\color{blue}{12}} \end{align}||​
On peut également faire le chemin inverse.

Passage d'une base quelconque vers la base 10

Comment écrit-on |\small{346_8}| en base 10?

1. Développer selon la valeur de chacune des positions
||346_\color{blue}{8}=3\cdot \color{blue}{8}^2+4\cdot \color{blue}{8}^1+6\cdot \color{blue}{8}^0||
2. Calculer le total
||\begin{align}\phantom{346-\color{blue}{8}} &= 3 \cdot 64 &+ &4 \cdot 8 &+ &6 \cdot 1 \\
&= 192 &+ &32 &+ &6 \\
&= 230_{\color{blue}{10}} \end{align}||​

Voici les symboles utilisés pour le passage de l'écriture de la base |10| vers l'écriture de la base |12|: 
||0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A \ et \ B||
Ici, on écrit |A| pour désigner «dix» et |B| pour désigner «onze». 

Par exemple, si on veut écrire |22_{10}| en base |12|, alors |22_{10}| deviendrait |1A| en base |12|. 

|\begin{align} 22_{10} &= 1 \cdot 12^1 + 10 \cdot 12^0\\
&= 1A_{12} \ \text{(une douzaine et 10 unités)} \end{align}|

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Les références