Mathématique m1565

Mathématiques financières

En finance, lorsque vient le temps de faire des emprunts, des placements ou des investissements, les frais d'emprunts et le rendement sont généralement déterminés à l'aide de pourcentages. Sur le plan mathématique, le tout peut être modélisé à l'aide de la fonction exponentielle. Pour bien comprendre les calculs derrière cette branche des mathématiques, il est important de maitriser le langage et la terminologie qui leur sont associés.

Définition des concepts​

Peu importe si la situation fait référence à un gain ou à une perte d'argent, la situation décrite est toujours en lien avec une période de temps précise et un taux d'intérêt précis.

Par contre, la méthode de calcul de ces intérêts peut différer d'une situation à l'autre. Pour savoir quelle méthode utiliser, il faut s'en remettre aux informations et aux mots-clés présents dans l'énoncé. 

Période d'intérêt​

La période d'intérêt est le temps, généralement en années, qui s'écoule entre le début d'un placement ou d'un prêt et une capitalisation future.

La période d'intérêt a une signification différente pour le prêteur ou l'emprunteur. 

Prêt

Prêt
Pour un prêteur, l'intérêt se transforme en une quantité d'argent qu'il reçoit en plus du montant initial prêté.  ​
||\$ \ \text{final reçu} = \$ \ \text{initial prêté}  + \$ \ \text{des intérêts}||

​Ainsi, lorsque le prêt arrive à terme, le prêteur récupère le montant initial en plus de la prime pour son geste, soit l'intérêt.

Afin d'aider un ami d'enfance à créer sa propre compagnie, un homme lui prête 5 000 $. 5 ans plus tard, son ami s'acquitte de ses dettes en lui remettant le 5 000 $ et 500 $ d'intérêt en guise de remerciement.

Après 5 ans, voici le portrait de la situation du point de vue du prêteur:
||\begin{align}
\$ \ \text{final reçu} & = && \$ \ \text{initial prêté} && + && \$  \ \text{des intérêts} \\
5 \ 500 & = && 5 \ 000 && + && 500 \end{align}||

Au final, un prêteur finit avec plus d'argent qu'il en avait prêté au départ. 

​Emprunt

De l'autre côté de la médaille, une personne qui emprunte doit non seulement rembourser la totalité du montant initial, mais doit aussi rembourser l'intérêt.

Emprunt
Pour un emprunteur, l'intérêt se transforme en une quantité d'argent qu'il remet au prêteur en plus du montant initial emprunté. 
||\$ \ \text{final remis} = \$ \ \text{intial prêté} + \$ \ \text{des intérêts}||

​​​Ainsi, lorsque l'emprunt arrive à terme, l'emprunteur rembourse le montant initial en plus de la prime pour son geste, soit l'intérêt. Revoyons le même exemple du point de vue de l'emprunteur.

Afin d'aider un ami d'enfance à créer sa propre compagnie, un homme lui prête 5 000 $. 5 ans plus tard, son ami s'acquitte de ses dettes en lui remettant le 5 000 $ et 500 $ en guise de récompense.
 
Après 5 ans, voici le portrait de la situation du point de vue de l'emprunteur:
||\begin{align}
\$ \ \text{final remis} & = && \$ \ \text{initial prêté} && + && \$ \ \text{des intérêts} \\
5 \ 500 & = && 5 \ 000 && + && 500 \end{align}||

Au final, un emprunteur rembourse plus d'argent qu'il en a emprunté au départ. ​

​Dans un contexte plus concret, voici comment les notions de prêts et d'emprunts se manifestent.

Prêt personnel
Généralement, les institutions financières et les compagnies de crédit prêtent de l'argent à leurs membres tout en y associant un taux d'intérêt. Au final, l'argent amassé par le biais de ce taux d'intérêt se traduit en gain pour les prêteurs, mais en perte pour le membre.

Placement
Lorsqu'une personne prête de l'argent à une institution financière, il est alors question de placements. En général, les placements ont un capital garanti, mais un faible rendement. En d'autres mots, la personne ne perdra pas le montant initial placé, mais le montant d'argent qu'il obtiendra par le biais des intérêts sera peu élevé. Financièrement parlant, on parlera de risques faibles et d'un faible potentiel de rentabilité. 

Investissement
Lorsqu'une personne prête de l'argent à une compagnie, il est alors question d'investissement. En général, la compagnie utilise cet argent pour s​e développer et augmenter ses revenus. Ainsi, si la compagnie augmente ses revenus, une part de ce gain sera remise à la personne. Par contre, si la compagnie ne fait aucun revenu et qu'elle ferme ses portes, alors la personne risque de perdre son ​capital investi​. En termes financiers, on parlera de risques élevés, mais d'un fort potentiel de rentabilité. 

Les exemples précédents permettent de bien comprendre le concept d'intérêt vu par le prêteur et l'emprunteur. Cependant, dans la plupart des situations à saveur financière, l'intérêt calculé en fonction du montant initial sera rarement un montant fixe; l'intérêt augmentera avec le temps. Cette augmentation de l'intérêt dans le temps est généralement dictée par ce que l'on appelle des taux d'intérêt. 

Capitalisation​


​Une valeur future, généralement notée |C_n|, est le montant final que l'on obtient au terme d'un prêt ou d'un emprunt.

En terme financier, on fait référence à cette valeur en utilisant le terme capitalisation.

Ainsi, on peut vulgariser le tout en disant que la valeur future et la capitalisation sont des synonymes. Dans les deux cas, il s'agit du montant que l'on désire obtenir au terme de la période d'intérêt. 

​Une personne désire faire des placements​ pour sa retraite. Il place un montant de 10 000 $ sur 20 ans à un taux d'intérêt de 2,05 % composé annuellement. 

Ainsi, la capitalisation de son 10 000 $ initial est estimée à 15 005,84 $. 

​Comme en fait état l'exemple précédent, il faut absolument connaitre la période et le taux d'intérêt afin de déterminer la capitalisation. 

Pour bien comprendre le raisonnement mathématique qui se cache derrière ces nombres, n'hésite pas à consulter les fiches sur le taux d'intérêt simple et le taux d'intérêt composé.

Actualisation

​​Une valeur actuelle, généralement notée |C_O|, est le montant initial que l'on désire prêter ou emprunter. 

En terme financier, cette valeur actuelle est synonyme de capital​.
En fait, l'actualisation est l'inverse de la capitalisation.

En effet, si la valeur future, la période et le taux d'intérêt sont connus, l'actualisation consiste à déterminer la valeur actuelle permettant d'atteindre un certain objectif.

​Suite à de durs labeurs, un père de famille désire utiliser une partie de ses économies pour la faire fructifier afin d'emmener sa famille en voyage dans exactement 3 ans. 

S'il sait que le voyage lui coutera un total de 7500 $ et que les taux d'intérêt actuels sont de 2,55 %, alors l'actualisation de 7500 $ se chiffrera à 6 954,31 $.

En d'autres mots​, le père devra placer 6 954,31 $ sur une période d'intérêt de 3 ans afin de pouvoir partir en voyage.

Comparaison graphique des deux modèles

 



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