Salut!
Pour représenter ce système d'inéquations dans un plan cartésien, tu dois commencer par tracer chaque droite du système.
Pour tracer une droite, tu peux commencer par réécrire tes inéquations pour qu'elles aient la forme canonique y(ou > selon l'inéquation). Tu peux remplacer temporairement le signe d'inégalité par un signe d'égalité, puisqu'on cherche simplement pour l'instant à tracer la droite.
Ensuite, tu peux placer dans ton graphique l'ordonnée à l'origine, qui correspond au paramètre b de la règle \(y=ax+b\). Puis, tu peux trouver un second point de la fonction en calculant y pour la valeur x de ton choix. Par exemple, si on a la règle \(y=\frac{3}{5}x-2\) et qu'on cherche y pour x=5, on obtient :
$$f(5)=\frac{3}{5}(5)-2$$
$$f(5)=3-2=1$$
On a alors trouvé le point (5, 1), que l'on peut placer sur le graphique.
Finalement, tu pourras placer ta règle pour faire en sorte de relier ces deux points (l'ordonnée à l'origine et le point trouvé), puis tracer la droite.
La fiche suivante explique justement comment tracer le graphique d'une fonction linéaire à partir des paramètres a et b de la règle : Tracer une fonction affine | Secondaire | Alloprof
Une fois que tu auras tracé les 4 droites du système, tu peux analyser les signes d'inégalités pour hachurer la région-solution de chaque inéquation, et tu pourras déterminer la région-solution de l'ensemble du système. Tu peux aussi déterminer les points d'intersection de chaque droite.
Pour trouver le point d'intersection de deux droites de façon algébrique, c'est-à-dire les coordonnées du point où les deux droites se croiseront, où elles se toucheront, on doit résoudre un système d'équations contenant ces deux droites. Voici un exemple :
Tu dois utiliser la méthode de comparaison pour résoudre ce système d'équations. Nous avons :
$$\left\{\begin{matrix} y_{1}=\frac{1}{2}x+3 \\y_{2}=-x-3 \end{matrix}\right. $$
On cherche un point tel que \((x_{1},y_{1}) = (x_{2}. y_{2})\). On commence par former une équation à une variable en comparant les deux règles :
$$ y_{1} = y_{2}$$
$$\frac{1}{2}x+3 = -x-3$$
On peut maintenant résoudre cette équation à une variable.
On place les termes semblables du même côté de l'équation :
$$\frac{1}{2}x+3 +x= -x-3+x$$
$$(\frac{1}{2}+1)x+3 = -3$$
$$(\frac{1}{2}+\frac{2}{2})x+3 = -3$$
$$\frac{3}{2}x+3 = -3$$
On déplace la constante 3 de l'autre côté de l'équation :
$$\frac{3}{2}x+3-3 = -3-3$$
$$\frac{3}{2}x= -6$$
On élimine le coefficient de la variable x :
$$\frac{3}{2}x \div \frac{3}{2}= -6\div \frac{3}{2}$$
$$x= -6\div \frac{3}{2}$$
$$x= -6\times \frac{2}{3}$$
$$x= \frac{-6\times2}{3}$$
$$x= \frac{-12}{3}$$
$$x= -4$$
Nous avons ainsi trouvé la coordonnée en x du point d'intersection des deux droites. Il nous reste maintenant à trouver la coordonnée en y. Pour cela, on peut utiliser l'une des deux équations de notre système (n'importe laquelle, le résultat sera le même), et calculer y pour x=-4.
$$y=\frac{1}{2}x+3 $$
$$y=\frac{1}{2}(-4)+3 $$
$$y=\frac{-4}{2}+3=-2+3=1$$
ou
$$y=-x-3$$
$$y=-(-4)-3=4-3=1$$
Voilà! Le couple solution de ce système est donc (-4, 1).
Voici des fiches sur ces notions qui pourraient t'être utiles :
La résolution de systèmes d'équations linéaires | Secondaire | AlloprofLa représentation des inéquations dans un plan cartésien | Secondaire | Alloprof
J'espère que c'est plus clair pour toi! Si tu as d'autres questions, on est là! :)
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