L'aire des prismes
Secondaire 2-3
Plusieurs solides répondent à la définition d'un prisme. Avant toute chose, il faut être en mesure de reconnaitre les différents éléments d’un prisme : les figures qui composent les bases, les faces latérales et la hauteur. Une fois cette étape accomplie, on peut faire le calcul de son aire.
L'aire d'une base
Les bases du prisme sont des figures planes. Il est possible de connaitre l'aire de ces bases en utilisant la formule d'aire associée à la figure plane. Par ailleurs, ces bases sont isométriques, ce qui veut dire qu'il suffit de trouver l'aire d'une base, identifiée par |A_b,| et de la multiplier par 2 pour obtenir l'aire des 2 bases.
Remarque : Le choix de la formule varie en fonction de la base. En fait, la formule est celle qui est associée à la figure plane servant de base au prisme. Pour la liste de ces formules, n'hésite pas à consulter le tableau résumé des formules de périmètre et d'aire.
Afin d'attirer l'attention des acheteurs potentiels, une compagnie décide d'imprimer une image du jouet contenu dans une boite en grandeur nature sur les bases de l'emballage. En te fiant au plan de la boite présenté ci-dessous, détermine la surface recouverte par les imprimés.
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Identifier les faces concernées
Dans le cas présent, les bases sont les 2 trapèzes puisque ce sont les 2 seules figures qui sont parallèles et isométriques dans ce solide.
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Appliquer la formule appropriée
Ainsi, il faut calculer l’aire d’un trapèze à l’aide de cette formule : ||\begin{align} A_\text{b} &= A_\text{trapèze} \\&=\dfrac{(\color{#3A9A38}{B} + \color{#51B6C2}{b}) \times \color{#EC0000}{h}}{2}\\&= \dfrac{(\color{#3A9A38}{1{,}4} + \color{#51B6C2}{0{,}8}) \times \color{#EC0000}{0{,}5}}{2}\\&= 0{,}55 \ \text{m}^2\end{align}|| -
Interpréter la réponse
Puisqu'il y a 2 bases, il suffit de multiplier le résultat précédent par 2 : ||\begin{align} A_\text{bases} &= 0{,}55 \times 2\\&= 1{,}1 \ \text{m}^2\end{align}||Réponse : La surface recouverte par les imprimés (les 2 bases) est de |1{,}1\ \text{m}^2.|
L'aire latérale
Peu importe les bases du prisme droit, on peut calculer l'aire des faces latérales à l’aide de cette formule.
||A_L = P_b \times h|| où ||\begin{align} A_L&:\text{Aire latérale} \\ P_b &: \text{Périmètre d'une base}\\ h\ &: \text{hauteur du prisme}\end{align}||
Une entreprise de friandises veut mettre en vente une nouvelle barre de chocolat avec la forme particulière suivante :
Par contre, l'emballage des faces latérales requiert un papier plus dispendieux. Afin de limiter les pertes, détermine la mesure de cette aire latérale.
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Identifier le solide
Dans le cas présent, il s'agit d'un prisme régulier à base pentagonale. -
Appliquer la formule de l'aire latérale du solide identifié ||\begin{align}A_L &= P_b \times h\\ &= (4 + 4 + 4 + 4 + 4) \times 13\\ &= 260 \ \text{cm}^2\end{align}||
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Interpréter la réponse
Dans ce contexte, la mesure de l'aire latérale de la barre de chocolat est de |260 \ \text{cm}^2.|
En savoir plus
Démonstration de la formule d'aire latérale
La formule est basée sur le développement du solide.
Ainsi, on peut dessiner l'aire latérale avec un seul grand rectangle.
La mesure de la longueur de la base de ce rectangle est équivalente à la mesure du périmètre de la base du prisme.
Voilà la raison pour laquelle on voit le périmètre de la base apparaitre dans la formule du calcul de l'aire latérale d'un prisme.
L'aire totale
En se basant sur le mot « totale », on peut déduire que la formule associée à cette aire correspond à la somme de l'aire des bases et de l'aire latérale.
||A_T = 2 A_b + A_L|| où ||A_T:\text{Aire totale}||
Pour cette formule, il est important de ne pas oublier qu'il y a 2 bases isométriques dans un prisme, d'où le |2A_b.|
Afin d'assurer l'imperméabilité d'une tente, on veut la recouvrir d'un produit disponible en aérosol. Par contre, une canette de ce produit couvre seulement une surface moyenne de |6 \ \text{m}^2.|
Selon les mesures du dessin ci-dessous, détermine combien de canettes il faut acheter pour imperméabiliser la tente complètement.
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Identifier les faces concernées
Il est mentionné qu'on veut « imperméabiliser la tente complètement ». Ainsi, c'est l'aire des 5 faces qu'il faut calculer. -
Calculer l'aire d'une base
Puisqu'il s'agit d'un prisme à base triangulaire, on applique la formule de l’aire d’un triangle. ||\begin{align} A_\text{b} &= A_\text{triangle}\\ &= \frac{b \times \color{#EC0000}{h}}{2}\\ &= \frac{1{,}732 \times \color{#EC0000}{1{,}5}}{2}\\ &= 1{,}299 \ \text{m}^2\end{align}|| -
Calculer l'aire latérale
Puisque c'est un prisme, on applique la formule suivante.||\begin{align} A_L &= P_b \times h\\ &= (1{,}732 + 1{,}732 + 1{,}732) \times 2{,}2\\ &\approx 11{,}431 \ \text{m}^2\end{align}|| -
Calculer l'aire totale||\begin{align} A_T &= 2 A_b + A_L \\ &= 2 \times 1{,}299 + 11{,}431 \\ &= 14{,}029 \ \text{m}^2\end{align}||
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Interpréter la réponse
Pour déterminer le nombre total de canettes à acheter, on doit utiliser la division |14{,}029\ \text{m}^2 \div 6\ \text{m}^2/\text{canette} \approx 2{,}34\ \text{canettes}.|
Réponse : Puisqu'on doit acheter un nombre entier de canettes, il faut se procurer un total de |3| canettes.
Dans d'autres circonstances, on pourrait s'intéresser à la mesure d’une dimension de la base ou encore de la hauteur du prisme alors que l’aire totale est donnée. C’est ce qui s’appelle trouver une mesure manquante d'un prisme à partir de l'aire. Dans ce cas, la démarche est un peu différente, mais il demeure essentiel de se rappeler la formule de l’aire totale associée aux prismes.
Vidéo
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Exercices
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