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L'ellipse (conique)
Fiche | Mathématiques
Secondaire
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Table des matières
- Haut de page
- Les propriétés de l’ellipse
- L'ellipse centrée à l'origine
- Les relations dans l’ellipse centrée à l’origine
- L'ellipse non centrée à l'origine
- Déterminer l’équation d’une ellipse non centrée à l’origine
- Tracer une ellipse non centrée à l’origine à l’aide de son équation
- L'inéquation d'une ellipse
- L’équation de l’ellipse sous forme générale
- À voir aussi
L’ellipse fait partie des coniques. Elle s’obtient par l’intersection d’une surface conique et d’un plan.
Une ellipse est le lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances à 2 points fixes, appelés foyers, est constante.
Les propriétés de l’ellipse
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L'ellipse possède 2 axes de symétrie. Le plus long se nomme le grand axe et le plus court, le petit axe.
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L'ellipse possède 2 foyers, |F_1| et |F_2.|
-
L'ellipse possède 4 sommets, |S_1,| |S_2,| |S_3| et |S_4.|
-
L'ellipse peut être verticale ou horizontale.
Ellipse verticale
Ellipse horizontale
Les propriétés d'une ellipse
L'ellipse centrée à l'origine
L'équation de l'ellipse centrée à l'origine
L'équation qui définit l'ellipse centrée à l’origine utilise les paramètres |a| et |b.|
||\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1||où||\begin{align} a &:\text{Demi-mesure de l'axe horizontal}\\ b &: \text{Demi-mesure de l'axe vertical} \end{align}||
-
Si |\color{#ec0000}a < \color{#3b87cd}b,| l'ellipse est verticale.
-
Si |\color{#ec0000}a > \color{#3b87cd}b,| l'ellipse est horizontale.
Les relations dans l’ellipse centrée à l’origine
Voici les représentations graphiques des 2 types d’ellipses sur lesquelles sont placés les points importants et leurs coordonnées en fonction des relations qui établissent leurs paramètres.
Ellipse verticale
La somme des distances d'un point de l'ellipse verticale par rapport à chacun des foyers est de |2\color{#3b87cd}b.|
La relation entre les mesures |\color{#ec0000}a,| |\color{#3b87cd}b| et |\color{#3a9a38}c| peut être exprimée à l’aide du théorème de Pythagore. ||\color{#3a9a38}c^2=\color{#3b87cd}b^2-\color{#ec0000}a^2||
Ellipse horizontale
La somme des distances d'un point de l'ellipse horizontale par rapport à chacun des foyers est de |2\color{#ec0000}a.|
La relation entre les mesures |\color{#ec0000}a,| |\color{#3b87cd}b| et |\color{#3a9a38}c| peut être exprimée à l’aide du théorème de Pythagore. ||\color{#3a9a38}c^2=\color{#ec0000}a^2-\color{#3b87cd}b^2||
Déterminer l’équation d’une ellipse centrée à l’origine
Pour déterminer l'équation d'une ellipse centrée, il faut trouver la valeur des paramètres |a| et |b.|
Généralement, on utilise la démarche suivante.
-
Déterminer la valeur du paramètre |\color{#ec0000}a,| qui correspond à la moitié de l'axe horizontal de l'ellipse, et/ou du paramètre |\color{#3B87CD}b,| qui correspond à la moitié de l'axe vertical.
-
S’il manque un des deux paramètres, le déduire à l’aide d’une des stratégies suivantes :
a) Si le paramètre |\color{#3A9A38}c| (la distance entre le centre et un foyer) est fourni, utiliser le théorème de Pythagore afin de déterminer la valeur du paramètre manquant. ||\begin{align}\text{Ellipse verticale :}&\ \color{#3a9a38}c^2=\color{#3b87cd}b^2-\color{#ec0000}a^2\\ \text{Ellipse horizontale :}&\ \color{#3a9a38}c^2=\color{#ec0000}a^2-\color{#3b87cd}b^2 \end{align}||
b) Si un couple |(x,y)| est fourni, substituer toutes les informations dans l'équation et déterminer la valeur du paramètre manquant.
-
Écrire l'équation de l'ellipse.
Détermine l’équation de cette ellipse.
Voir la solution
Détermine l’équation de cette ellipse.
Voir la solution
Tracer une ellipse centrée à l’origine à l’aide de son équation
Pour tracer une ellipse centrée à l'aide de son équation, on peut suivre les étapes suivantes.
-
Placer le centre de l’ellipse.
-
Placer les 2 sommets situés sur l’axe horizontal à l’aide de la valeur du paramètre |\color{#EC0000}a.| Voici les coordonnées des sommets. ||\begin{align}S_1&=(\color{#EC0000}{-a},0)\\ S_3&=(\color{#EC0000}a,0)\end{align}||
-
Placer les 2 sommets situés sur l’axe vertical à l’aide de la valeur du paramètre |\color{#3B87CD}b.| Voici les coordonnées des sommets. ||\begin{align}S_2&=(0,\color{#3B87CD}b)\\ S_4&=(0,\color{#3B87CD}{-b})\end{align}||
-
Tracer l'ellipse en reliant les 4 sommets.
Trace l'ellipse représentée par l'équation suivante. ||\dfrac{x^{2}}{289}+\dfrac{y^{2}}{196}=1||
Voir la solution
L'ellipse non centrée à l'origine
L’équation de l’ellipse non centrée à l’origine
L'équation qui définit l'ellipse non centrée utilise les paramètres |a,| |b,| |h| et |k.|
||\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1|| où ||\begin{align} a &:\text{Demi-mesure de l'axe horizontal}\\ b &: \text{Demi-mesure de l'axe vertical}\\ (h,k) & : \text{Coordonnées du centre de l'ellipse}\end{align}||
-
Si |\color{#ec0000}a < \color{#3b87cd}b,| l'ellipse est verticale.
-
Si |\color{#ec0000}a > \color{#3b87cd}b,| l'ellipse est horizontale.
Les relations dans l’ellipse non centrée à l’origine
Ellipse verticale
La somme des distances d'un point de l'ellipse verticale par rapport à chacun des foyers est de |2\color{#3b87cd}b.|
La relation entre les mesures |\color{#ec0000}a,| |\color{#3b87cd}b| et |\color{#3a9a38}c| peut être exprimée à l’aide du théorème de Pythagore. ||\color{#3a9a38}c^2=\color{#3b87cd}b^2-\color{#ec0000}a^2||
Ellipse horizontale
La somme des distances d'un point de l'ellipse horizontale par rapport à chacun des foyers est de |2\color{#ec0000}a.|
La relation entre les mesures |\color{#ec0000}a,| |\color{#3b87cd}b| et |\color{#3a9a38}c| peut être exprimée à l’aide du théorème de Pythagore. ||\color{#3a9a38}c^2=\color{#ec0000}a^2-\color{#3b87cd}b^2||
Déterminer l’équation d’une ellipse non centrée à l’origine
Pour déterminer l'équation d'une ellipse non centrée à partir d'un graphique, il faut trouver la valeur des paramètres |a,| |b,| |h| et |k.|
Généralement, la démarche ressemble à celle-ci.
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Déterminer la valeur des paramètres |\color{#FF55C3}h| et |\color{#560FA5}k| à partir des coordonnées du centre de l'ellipse.
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Déterminer la valeur du paramètre |\color{#ec0000}a,| qui correspond à la moitié de l'axe horizontal de l'ellipse, et/ou du paramètre |\color{#3B87CD}b,| qui correspond à la moitié de l'axe vertical.
-
S’il manque un des 2 paramètres |a| ou |b,| le déduire à l’aide d’une des stratégies suivantes :
a) Si le paramètre |\color{#3A9A38}c| (la distance entre le centre et un foyer) est fourni, utiliser le théorème de Pythagore et déterminer la valeur du paramètre manquant. ||\begin{align}\text{Ellipse verticale :}&\ \color{#3a9a38}c^2=\color{#3b87cd}b^2-\color{#ec0000}a^2\\ \text{Ellipse horizontale :}&\ \color{#3a9a38}c^2=\color{#ec0000}a^2-\color{#3b87cd}b^2 \end{align}||
b) Si un couple |(x,y)| est fourni, substituer toutes les informations dans l'équation et déterminer la valeur du paramètre manquant.
-
Écrire l’équation de l’ellipse.
Détermine l’équation de cette ellipse.
Voir la solution
Détermine l’équation de cette ellipse, sachant que son axe horizontal mesure |16| unités.
Voir la solution
Tracer une ellipse non centrée à l’origine à l’aide de son équation
Pour tracer une ellipse à l'aide de son équation, on peut suivre les étapes suivantes.
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Identifier les paramètres |\color{#FF55C3}h| et |\color{#560FA5}k| dans l'équation et placer le centre de l’ellipse.
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Placer les 2 sommets situés sur l’axe horizontal à l’aide de la valeur du paramètre |\color{#EC0000}a.| Voici les coordonnées des sommets. ||\begin{align}S_1:(\color{#FF55C3}h\color{#EC0000}{-a},\color{#560FA5}k)\\ S_3:(\color{#FF55C3}h\color{#EC0000}{+a},\color{#560FA5}k)\end{align}||
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Placer les 2 sommets sur l’axe vertical à l’aide de la valeur du paramètre |\color{#3B87CD}b.| Voici les coordonnées des sommets. ||\begin{align}S_2:(\color{#FF55C3}h,\color{#560FA5}k\color{#3B87CD}{+b})\\ S_4:(\color{#FF55C3}h,\color{#560FA5}k\color{#3B87CD}{-b})\end{align}||
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Tracer l'ellipse en reliant les 4 sommets.
Trace l'ellipse représentée par l'équation suivante. ||\dfrac{(x-5)^{2}}{64}+\frac{(y+4)^{2}}{100}=1||
Voir la solution
L'inéquation d'une ellipse
Lorsqu’on veut représenter une région délimitée par une ellipse, on applique les relations suivantes.
| Secteur du plan | Représentation graphique |
Inéquation correspondante |
|---|---|---|
|
L'extérieur, excluant la courbe |
 |
||\begin{align}\dfrac{x^2}{a^2}&+\dfrac{y^2}{b^2}>1\\\\ |
|
L'intérieur, excluant la courbe |
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||\begin{align}\dfrac{x^2}{a^2}&+\dfrac{y^2}{b^2}<1\\\\ |
|
L'extérieur, incluant la courbe |
 |
||\begin{align}\dfrac{x^2}{a^2}&+\dfrac{y^2}{b^2}\geq1\\\\ |
|
L'intérieur, incluant la courbe |
 |
||\begin{align}\dfrac{x^2}{a^2}&+\dfrac{y^2}{b^2}\leq1\\\\ |
L’équation de l’ellipse sous forme générale
L'équation générale de toutes les coniques, dont l'ellipse, pour lesquelles l'axe horizontal est parallèle à l'axe des abscisses et l'axe vertical est parallèle à l'axe des ordonnées est : || Ax^2+ By^2+Cx+Dy+E=0||
Passer de la forme générale à la forme canonique peut être utile pour résoudre certains problèmes concernant l'ellipse.