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La rationalisation d'une fraction
Fiche | Mathématiques
Secondaire
3-5
La rationalisation est la transformation en nombre rationnel du dénominateur irrationnel d'une expression écrite sous forme fractionnaire. Pour ce faire, il suffit de multiplier l'expression fractionnaire par la fraction-unité appropriée.
La rationalisation
Le dénominateur de la fraction est un monôme
Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le radical.
||\begin{align}\dfrac{2}{\sqrt{7}}&=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\\[3pt]&=\dfrac{2\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}\\[3pt]&=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\end{align}||
||\begin{align}\dfrac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{22}}&=\dfrac{1}{3\sqrt{11}}\\[3pt]&=\dfrac{1\times\sqrt{11}}{3\sqrt{11}\times\sqrt{11}}\\[3pt]&=\dfrac{\sqrt{11}}{3\times11}\\[3pt]&=\dfrac{\sqrt{11}}{33}\end{align}||
||\begin{align}\dfrac{x+2}{\sqrt{2}}&=\dfrac{x+2}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\[3pt]&=\dfrac{\sqrt{2}\times\left(x+2\right)}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\[3pt]&=\dfrac{\sqrt{2}\left(x\right)+2\sqrt{2}}{2}\end{align}||
Le dénominateur de la fraction est un binôme
D'abord, on identifie le conjugué du dénominateur, c'est-à-dire la même expression dans laquelle on fait l'opération inverse. Ensuite, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué.
||\begin{align}\dfrac{4}{3+\sqrt{2}}&=\dfrac{4}{3+\sqrt{2}}\times\dfrac{3-\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}\\[3pt]&=\dfrac{4\left(3-\sqrt{2}\right)}{\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)}\\[3pt]&=\dfrac{12-4\sqrt{2}}{\left(9-2\right)}\\[3pt]&=\dfrac{12-4\sqrt{2}}{7}\end{align}||Lorsqu'on multiplie les deux dénominateurs, on multiplie deux binômes. Voici ce que cela donne :||\begin{align}\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right) &=\left(3\times3\right)+\left(3\times-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{2}\times3\right)+\left(\sqrt{2}\times-\sqrt{2}\right)\\[3pt]&=9\boldsymbol{\color{#ec0000}{-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}}}-2\\[3pt]&=9-2\\&=7\end{align}||