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Le théorème de Thalès
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Démonstration
| Affirmation | Justification | ||
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1 |
Les angles |DAE| et |BAC| sont isométriques.||\angle DAE\cong\angle BAC|| |
A |
Il s’agit d’un angle commun aux 2 triangles. |
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2 |
Les angles |ADE| et |ABC| sont isométriques.||\angle ADE\cong\angle ABC|| |
A |
Des parallèles |(\color{#ec0000}{BC}| et |\color{#ec0000}{DE})| coupées par une sécante |(\color{#3a9a38}{AB})| forment des angles correspondants isométriques. |
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3 |
Les triangles |ABC| et |ADE| sont semblables.||\triangle ABC\sim\triangle ADE|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
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4 |
||\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}} = \dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}} = \dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}|| |
Dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. |
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Secondaire
4
Le théorème de Thalès est très utile lorsqu'on recherche une ou des mesures manquantes dans une figure formée par des sécantes qui croisent des droites parallèles.
Si, dans une figure…
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… les droites |\color{#3a9a38}{BD}| et |\color{#3b87cd}{CE}| sont sécantes en |A;|
-
… les droites |\color{#ec0000}{BC}| et |\color{#ec0000}{DE}| sont parallèles,
alors, on a la proportion suivante.||\color{#3a9a38}{\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}}}=\color{#3b87cd}{\dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}}}= \color{#ec0000}{\dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}}||
Remarque : Le théorème de Thalès s'applique peu importe si les sécantes |(\color{#3b87cd}{EC}| et |\color{#3a9a38}{BD})| se croisent à l’extérieur ou à l’intérieur des parallèles |(\color{#ec0000}{ED}| et |\color{#ec0000}{BC}).|
La démonstration du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès repose sur les proportions des côtés homologues des triangles semblables. On le prouve en démontrant que |\triangle ABC \sim \triangle ADE| à l’aide du cas de similitude AA.
Hypothèses
Soit les droites parallèles distinctes |\color{#ec0000}{BC}| et |\color{#ec0000}{DE},| ainsi que les droites sécantes |\color{#3a9a38}{AB}| et |\color{#3b87cd}{AC}.|
Conclusion
||\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}} = \dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}} = \dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}||
Démonstration
| Affirmation | Justification | ||
|---|---|---|---|
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1 |
Les angles |DAE| et |BAC| sont isométriques.||\angle DAE\cong\angle BAC|| |
A |
Il s’agit d’un angle commun aux 2 triangles. |
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2 |
Les angles |ADE| et |ABC| sont isométriques.||\angle ADE\cong\angle ABC|| |
A |
Des parallèles |(\color{#ec0000}{BC}| et |\color{#ec0000}{DE})| coupées par une sécante |(\color{#3a9a38}{AB})| forment des angles correspondants isométriques. |
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Les triangles |ABC| et |ADE| sont semblables.||\triangle ABC\sim\triangle ADE|| |
Ils respectent la condition minimale AA : des triangles sont semblables s’ils ont 2 paires d’angles homologues isométriques. |
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||\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}} = \dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}} = \dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}|| |
Dans les triangles semblables, les côtés homologues sont proportionnels. |
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La démonstration du théorème de Thalès dans le cas où le point d’intersection des droites sécantes |(A)| est situé entre les 2 droites parallèles se fait aussi à l’aide de la condition minimale de similitude AA.
La recherche de mesures manquantes à l’aide du théorème de Thalès
Dès qu’on sait qu’on a 2 droites parallèles coupées par 2 sécantes, on peut utiliser le théorème de Thalès et résoudre la proportion dans les triangles sans avoir à prouver qu’ils sont semblables.
Trouve la mesure manquante, sachant que les droites |\color{#ec0000}{ED}| et |\color{#ec0000}{BC}| sont parallèles.
Selon le théorème de Thalès, comme les droites |\color{#ec0000}{ED}| et |\color{#ec0000}{BC}| sont parallèles, on peut appliquer la proportion suivante.||\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}}= \dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}}= \dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}||Pour trouver |\text{m}\overline{BC},| on utilise l’égalité suivante, qu’on résout.||\begin{align}\dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}}&= \dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}\\ \dfrac{2}{4}&=\dfrac{4}{\text{m}\overline{BC}}\\\\ \text{m}\overline{BC}&=\dfrac{4\times 4}{2}\\&=8\end{align}||Réponse : |\text{m}\overline{BC} = 8\ \text{unités}|
La réciproque du théorème de Thalès
Avec les configurations associées au théorème de Thalès, si les droites sont parallèles, alors on en retire une proportion. Toutefois, il est aussi possible de suivre le raisonnement inverse, c’est-à-dire que si la proportion est vérifiée, alors on en déduit que les droites sont parallèles. C'est ce qu'on appelle la réciproque du théorème de Thalès.
Sachant que les droites |\color{#3b87cd}{EC}| et |\color{#3a9a38}{BD}| sont sécantes en |A,| démontre que les droites |\color{#ec0000}{ED}| et |\color{#ec0000}{BC}| sont parallèles.
On doit vérifier que la proportion du théorème de Thalès entre les côtés homologues des triangles |ADE| et |ABC| est vraie. Si on montre que les 3 rapports sont équivalents, alors on peut conclure que les droites sont parallèles.||\begin{align}\color{#3a9a38}{\dfrac{\text{m}\overline{AD}}{\text{m}\overline{AB}}}&=\color{#3b87cd}{\dfrac{\text{m}\overline{AE}}{\text{m}\overline{AC}}}= \color{#ec0000}{\dfrac{\text{m}\overline{DE}}{\text{m}\overline{BC}}}\\ \color{#3a9a38}{\dfrac{4}{8{,}9}}\quad &\neq\quad\color{#3b87cd}{\dfrac{2}{4}}\quad \neq\quad\color{#ec0000}{\dfrac{3}{6{,}8}}\end{align}||Conclusion : Puisque les 3 rapports ne sont pas égaux, les droites |\color{#ec0000}{ED}| et |\color{#ec0000}{BC}| ne sont pas parallèles.
La généralisation du théorème de Thalès
Lorsqu'on a plusieurs droites parallèles interceptées par 2 droites, il est possible d'utiliser ce qu'on appelle le théorème de Thalès généralisé.
Si, dans une figure…
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… les droites |\color{#ec0000}{AA’},| |\color{#ec0000}{BB’}| et |\color{#ec0000}{CC’}| sont parallèles;
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… les points |A,| |B| et |C| sont alignés;
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… les points |A’,| |B’| et |C’| sont alignés,
alors, on a la proportion suivante.||\dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{A’B’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{AB}}} = \dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{B’C’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{BC}}} = \dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{A’C’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{AC}}}||
Dans le théorème de Thalès généralisé, on ne peut pas établir une proportion entre les segments situés sur les droites parallèles |(AA’,| |BB’| et |CC’).| ||\dfrac{\text{m}\overline{AA’}}{\text{m}\overline{BB'}}\boldsymbol{\color{#ec0000}\neq} \dfrac{\text{m}\overline{BB’}}{\text{m}\overline{CC'}}\boldsymbol{\color{#ec0000}\neq} \dfrac{\text{m}\overline{AA’}}{\text{m}\overline{CC'}}||
Sachant que les droites |\color{#ec0000}{AA’},| |\color{#ec0000}{BB’}| et |\color{#ec0000}{CC’}| sont parallèles, trouve |\text{m}\overline{B'C'}.|
Selon le théorème de Thalès généralisé, comme les droites |\color{#ec0000}{AA’},| |\color{#ec0000}{BB’}| et |\color{#ec0000}{CC’}| sont parallèles, on peut appliquer la proportion suivante. ||\dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{A’B’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{AB}}} = \dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{B’C’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{BC}}} = \dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{A’C’}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{AC}}}||Pour trouver |\text{m}\overline{B’C’},| on utilise l’égalité suivante, qu’on résout. ||\begin{align}\dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{A'B'}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{AB}}}&= \dfrac{\color{#3b87cd}{\text{m}\overline{B'C'}}}{\color{#3a9a38}{\text{m}\overline{BC}}}\\ \dfrac{\color{#3b87cd}{2{,}2}}{\color{#3a9a38}{2{,}1}}&= \dfrac{\color{#3b87cd}{x}}{\color{#3a9a38}{3{,}15}}\\\\ x&=\dfrac{3{,}15\times 2{,}2}{2{,}1}\\&=3{,}3\end{align}||Réponse : |\text{m}\overline{B’C’}=3{,}3\ \text{unités}|