Merci pour ta question!
D'abord, établissons x comme étant le nombre de personnes qui visitent le banquet.
On cherche à trouver une équation qui décrit le revenu du restaurateur. Celle-ci prendra la forme suivante :
$$ revenus=nombre\:de\:visiteurs•prix\:par\:visiteur $$
Bref, on peut déconstruire cette équation en deux parties importantes :
• le nombre de visiteurs
• le prix par visiteur
Comme la variable x décrit directement le nombre de visiteurs, on peut considérer que cette partie de l'équation est simplement x.
Ensuite, le prix par visiteur varie selon le nombre de visiteurs. On dit qu'il diminue de 1,50$ pour chaque 10 personnes additionnelles. On peut traduire cette affirmation mathématiquement de la manière suivante :
$$ \frac{x}{10}•(-1,50) $$
Cependant, il y existe un prix de base inconnu, ajoutant un paramètre b à cette partie de l'équation :
$$ prix = \frac{x}{10}•(-1,50) + b $$
Heureusement, un point est connu dans cette équation : (60, 30), c'est-à-dire, le banquet coûte 30$ par personne lorsque 60 personnes y assistent. Bref, on peut isoler b avec ce point :
$$ prix = \frac{x}{10}•(-1,50) + b $$
$$ 30 = \frac{60}{10}•(-1,50) + b $$
$$ b = 39 $$
Ainsi, on obtient la partie de formule suivante :
$$ prix = \frac{x}{10}•(-1,50) + 39 $$
Finalement, on peut assembler les parties ensemble pour former la formule finale décrivant les recettes de l'organisateur :
$$ revenus = x • (\frac{x}{10}•(-1,50) + 39) $$
En distribuant le facteur x, on trouve l'équation suivante :
$$ \frac{x^2}{10}•(-1,50) + 39x $$
On peut encore simplifier l'équation :
$$ -0,15x^2 + 39x $$
Et voilà! Comme tu l'auras peut-être constaté, il s'agit d'une parabole. Le sommet de la parabole correspondra alors aux recettes maximales. À toi de les trouver 😉
N'hésite pas si tu as d'autres questions!
Explication d’élève
10 septembre 2021
bonjour,
Voici une solution alternative:
Soit \(x\) : le nombre d'augmentations de 10 du nombre de personnes.
Le nombre de personnes est \(60+10x\).
Le prix par personne est alors \( 30-1,\! 50x \).
Le revenu du restaurateur \(R\) est le nombre de personnes multiplié par le prix par personne.
On a \( R = (60+10x)(30-1,\! 50x) \)
C'est une fonction du second degré dont la courbe est une parabole.
On trouve le sommet et on l'interprète.
L’explication sera supprimée définitivement. Voulez-vous continuer?