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Explications (3)
bonjour Loutre,
J'aimerais avoir ton avis sur ma démarche.
no 1 b). On demande de déduire ... alors normalement on utilise le résultat démontré en a).
J'arrive à \[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq\left ( \frac{1+c}{2} \right )^2(1-c) \]
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{(1+c)(1-c^2)}{4} \]
Comme \(1+c<2\) et \(1-c^2<1\), on a
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{2\cdot 1}{4}=\frac{1}{2} \]
Par contre, si on étudie la fonction \(y=(1+c)(1-c^2)\) sur l'intervalle [0, 1] alors on découvre que le maximum est 32/27 lorsque \(c=1/3\).
Ainsi, on pourrait écrire un meilleur résultat, soit
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{8}{27} \]
J'aimerais avoir ton avis sur ma démarche.
no 1 b). On demande de déduire ... alors normalement on utilise le résultat démontré en a).
J'arrive à \[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq\left ( \frac{1+c}{2} \right )^2(1-c) \]
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{(1+c)(1-c^2)}{4} \]
Comme \(1+c<2\) et \(1-c^2<1\), on a
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{2\cdot 1}{4}=\frac{1}{2} \]
Par contre, si on étudie la fonction \(y=(1+c)(1-c^2)\) sur l'intervalle [0, 1] alors on découvre que le maximum est 32/27 lorsque \(c=1/3\).
Ainsi, on pourrait écrire un meilleur résultat, soit
\[ (1-a)(1-b)(1-c)\leq \frac{8}{27} \]
Bonjour,
Ce problème fait appel à la pensée mathématique dont les démonstrations.
Tu peux avoir recours à la preuve par la méthode directe, la méthode à l'envers, la contradiction, le contre-exemple et bien d'autres.
Tu as d'abord un énoncé p ⇒ q.
La méthode directe suit cet ordre p ⇒ q.
La méthode avant-arrière est utile lorsqu'il est plus facile de commencer par l'énoncé qu'il faut montrer plutôt que l'énoncé que nous savons déjà vrai. Par exemple, il serait plus facile de commencer avec ce qui est écrit en a) que par l'énoncé trop général indiquant que a, b et c font partie des R+ et que a+b+c=1.
La méthode de la contradiction démontre qu'un énoncé est vrai parce qu'il serait absurde de dire qu'il est faux. On suppose l'énoncé p et le contraire de q. Tu aboutiras à une contradiction et donc, tu peux conclure que l'énoncé original doit être vrai.
p ⇒ q ≡ (p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r ).
Par exemple, dire que si a, b et c sont parmi les R+ et que a+b+c=1, cela signifierait que (1-a)(1-b) > ((1+c)/2)^2. Remarque que le signe d'égalité a été changé. Cet énoncé sera faux, alors l'original est vrai.
La contrapositive suffit de réécrire le contraire de chaque côté, puis de commencer par la conclusion.
p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p
Tu peux trouver une partie de ces notions théoriques sur le lien suivant.
http://www.iro.umontreal.ca/~boyer/Archives/Automne07/Aut07/cours/semaine2.pdf%PDF-1.4 %???? 5 0 obj > endobj 8 0 obj (1. Introduction) endobj 9 0 obj > endobj 12 0 obj (2. Preuves d\351ductives) endobj 13 0 obj > endobj 16 0 obj (2.1. Preuves directes) endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj (2.2. Preuves par contradiction \(ou preuves par l'absurde\)) endobj 21 0 obj > endobj 24 0 obj (2.3. Preuve par contrapositive) endobj 25 0 obj > endobj 28 0 obj (2.4.Tu y trouveras aussi des exemples ci-dessous.
http://www.iro.umontreal.ca/~dift1063/cours3.pdf%PDF-1.3 5 0 obj > endobj 8 0 obj (4. Preuves) endobj 9 0 obj > endobj 12 0 obj (4.1. Syst\350me math\351matique) endobj 13 0 obj > endobj 16 0 obj (4.2. Preuves directes) endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj (4.3. Preuves par contradiction) endobj 21 0 obj > endobj 24 0 obj (4.4. Preuve par contrapositive) endobj 25 0 obj > endobj 28 0 obj (4.5. Preuve par cas) endobj 29 0 obj > endobj 32 0 obj (4.6.Pour le 1 b), tu peux peut-être non seulement montrer que l'énoncé est vrai, mais aussi utiliser ce que tu as trouvé en a) pour le prouver. Cela peut te venir en aide puisque tu as davantage d'informations avec lesquelles travailler.
Fais-nous savoir si les explications sont suffisantes ou si tu veux que nous fassions un des problèmes ensemble.
Bon travail!
Ce problème fait appel à la pensée mathématique dont les démonstrations.
Tu peux avoir recours à la preuve par la méthode directe, la méthode à l'envers, la contradiction, le contre-exemple et bien d'autres.
Tu as d'abord un énoncé p ⇒ q.
La méthode directe suit cet ordre p ⇒ q.
La méthode avant-arrière est utile lorsqu'il est plus facile de commencer par l'énoncé qu'il faut montrer plutôt que l'énoncé que nous savons déjà vrai. Par exemple, il serait plus facile de commencer avec ce qui est écrit en a) que par l'énoncé trop général indiquant que a, b et c font partie des R+ et que a+b+c=1.
La méthode de la contradiction démontre qu'un énoncé est vrai parce qu'il serait absurde de dire qu'il est faux. On suppose l'énoncé p et le contraire de q. Tu aboutiras à une contradiction et donc, tu peux conclure que l'énoncé original doit être vrai.
p ⇒ q ≡ (p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r ).
Par exemple, dire que si a, b et c sont parmi les R+ et que a+b+c=1, cela signifierait que (1-a)(1-b) > ((1+c)/2)^2. Remarque que le signe d'égalité a été changé. Cet énoncé sera faux, alors l'original est vrai.
La contrapositive suffit de réécrire le contraire de chaque côté, puis de commencer par la conclusion.
p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p
Tu peux trouver une partie de ces notions théoriques sur le lien suivant.
http://www.iro.umontreal.ca/~boyer/Archives/Automne07/Aut07/cours/semaine2.pdf%PDF-1.4 %???? 5 0 obj > endobj 8 0 obj (1. Introduction) endobj 9 0 obj > endobj 12 0 obj (2. Preuves d\351ductives) endobj 13 0 obj > endobj 16 0 obj (2.1. Preuves directes) endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj (2.2. Preuves par contradiction \(ou preuves par l'absurde\)) endobj 21 0 obj > endobj 24 0 obj (2.3. Preuve par contrapositive) endobj 25 0 obj > endobj 28 0 obj (2.4.Tu y trouveras aussi des exemples ci-dessous.
http://www.iro.umontreal.ca/~dift1063/cours3.pdf%PDF-1.3 5 0 obj > endobj 8 0 obj (4. Preuves) endobj 9 0 obj > endobj 12 0 obj (4.1. Syst\350me math\351matique) endobj 13 0 obj > endobj 16 0 obj (4.2. Preuves directes) endobj 17 0 obj > endobj 20 0 obj (4.3. Preuves par contradiction) endobj 21 0 obj > endobj 24 0 obj (4.4. Preuve par contrapositive) endobj 25 0 obj > endobj 28 0 obj (4.5. Preuve par cas) endobj 29 0 obj > endobj 32 0 obj (4.6.Pour le 1 b), tu peux peut-être non seulement montrer que l'énoncé est vrai, mais aussi utiliser ce que tu as trouvé en a) pour le prouver. Cela peut te venir en aide puisque tu as davantage d'informations avec lesquelles travailler.
Fais-nous savoir si les explications sont suffisantes ou si tu veux que nous fassions un des problèmes ensemble.
Bon travail!
Salut,
ça dépend pas mal de ce que tu as fait ou démontré avant et ce que tu as le droit d'utiliser comme justification ou pas. De plus, il ne s'agit pas de la matière vue au secondaire dans le programme de formation de l'école québécoise.
Je te donne un exemple de démarche. Pour le 2b), tu pourrais utiliser l'inégalité moyenne arithmétique - moyenne géométrique. As-tu vu cette notion ? L'as-tu démontrée ? Pour deux nombres \(x>0\) et \(y>0\), on a toujours \[\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\]ou, si on préfère, \[x + y \geq 2\sqrt{xy}\]
Puisque \[a + b + c = 1\]tu sais que \[1-a = b + c\]que \[1-b = a + c\] et que \[1-c = a + b\]
Ainsi, \[(1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(a+c)(a+b)\]
Or, puisque \(a>0\), \(b>0\) et \(c>0\), on sait que \[b + c \geq 2\sqrt{bc}\]que \[a+c \geq 2\sqrt{ac}\]et que \[a+b \geq 2\sqrt{ab}\]Ainsi, on a
\begin{align*}(1-a)(1-b)(1-c) &= (b+c)(a+c)(a+b) \\ \\ &\geq 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac} \cdot 2 \sqrt{ab} \\ \\ &\geq 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{bc \cdot ac \cdot ab} \\ \\ &\geq 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} \\ \\ &\geq 8abc\end{align*}
Tu dois utiliser des raisonnements semblables pour les autres numéros. Pour le 2a), n'oublie pas que \(1-c = a+b\). En utilisant l'inégalité de la moyenne arithmétique - moyenne géométrique, tu devrais t'en sortir sans trop de peine.
Bon succès !
Réf :
Inégalité arithmético-géométrique — WikipédiaEn mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.
ça dépend pas mal de ce que tu as fait ou démontré avant et ce que tu as le droit d'utiliser comme justification ou pas. De plus, il ne s'agit pas de la matière vue au secondaire dans le programme de formation de l'école québécoise.
Je te donne un exemple de démarche. Pour le 2b), tu pourrais utiliser l'inégalité moyenne arithmétique - moyenne géométrique. As-tu vu cette notion ? L'as-tu démontrée ? Pour deux nombres \(x>0\) et \(y>0\), on a toujours \[\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}\]ou, si on préfère, \[x + y \geq 2\sqrt{xy}\]
Puisque \[a + b + c = 1\]tu sais que \[1-a = b + c\]que \[1-b = a + c\] et que \[1-c = a + b\]
Ainsi, \[(1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(a+c)(a+b)\]
Or, puisque \(a>0\), \(b>0\) et \(c>0\), on sait que \[b + c \geq 2\sqrt{bc}\]que \[a+c \geq 2\sqrt{ac}\]et que \[a+b \geq 2\sqrt{ab}\]Ainsi, on a
\begin{align*}(1-a)(1-b)(1-c) &= (b+c)(a+c)(a+b) \\ \\ &\geq 2\sqrt{bc} \cdot 2\sqrt{ac} \cdot 2 \sqrt{ab} \\ \\ &\geq 2\cdot 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{bc \cdot ac \cdot ab} \\ \\ &\geq 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} \\ \\ &\geq 8abc\end{align*}
Tu dois utiliser des raisonnements semblables pour les autres numéros. Pour le 2a), n'oublie pas que \(1-c = a+b\). En utilisant l'inégalité de la moyenne arithmétique - moyenne géométrique, tu devrais t'en sortir sans trop de peine.
Bon succès !
Réf :
Inégalité arithmético-géométrique — WikipédiaEn mathématiques, l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique. C'est un résultat classique lié à la convexité.