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Mathématiques

Secondaire 5 • 21 avril 2021

bonjour! j'ai une petite question importante! je voudrais juste comprendre dans les fonctions trigonométriques lorsqu'on résout équations de premier et deuxième degré, est-ce qu'on donne toujours la valeur de 1 et 0 au n. Par exemple:
Résous l'équation sin^(2)x=1 --> on obtient
x=π/2 et x=3π/2
la période de fonction est de 2π donc j'écris ma solution comme:
( π/2 + 2πn, 3π/2 + 2πn) où n ∈ ℤ
maintenant, comment on obtient toutes les solutions? Est-ce que mon n vaut 0 et 1 pour trouver les autres solutions? Et est-ce vrai peut importe le problème? Merci pour votre aide
:)

Explications (2)

Explication d’Alloprof

21 avril 2021

Bonjour à toi!

Les fonctions sinus, cosinus et tangente sont des fonctions périodiques qui ont un motif qui se répète à chaque cycle (période) du domaine.
Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus sont définies sur tous les réels (ℝ).
Puisque les solutions se trouvent dans le domaine, il faut trouver leur domaine, nommé période.
Quand on résout une équation trigonométrique, il faut déduire la ou les solutions en lien avec le cercle trigonométrique. Il ne faut pas oublier que −1 ≤ sin⁡x ≤ 1, ∀x∈R et que −1 ≤ cos⁡x ≤ 1, ∀x∈R.
Le voici-ci :

Peu importe la valeur de θ, il est toujours possible de lui associer un point (x, y) = (cosθ, sinθ) situé sur le cercle trigonométrique.
Dans le cas des points trigonométriques, la période est de 2π radians (dans l'intervalle [0,2π]).
Voici un lien sur les fonctions périodiques:
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J'espère avoir pu t'aider!

Explication d’élève

21 avril 2021

Comme tu l'as écrit «n ∈ ℤ» alors n = 0, ±1, ±2, ±3, ...

D'autre part, dans ce cas particulier, on remarque qu'il y a un écart de π entre π/2 et 3π/2.

L'ensemble solution peut s'écrire {x ∈ R | x = π/2 + πn} où n ∈ ℤ.