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Bonjour,

Tu as bien commencé ta résolution. En effet, tu as vu qu'il fallait essayer de mettre le maximum de termes en base 2.

Toutefois, à partir de la deuxième ligne tu as commis quelques erreurs.

Tout d'abord, tu as bien vu que 6^x pouvait s'écrire (2·3)^x. Or, dans la deuxième ligne tu as changé l'exposant x pour x-x, ce qu'on ne peut pas faire. En fait, il faut simplement utiliser la propriété des exposants suivante:
$$(a·b)^m=a^m·b^m$$
Ainsi:
$$(2·3)^x=2^x·3^x$$
Pour le côté gauche de ton égalité, tu te retrouves alors avec:
$$2^x·3^x·2^{(x-1)}$$
Tu peux alors réunir les termes ayant une base 2 et utiliser la propriété des exposants suivante:
$$a^m·a^n=a^{(m+n)}$$
Quant au côté droit de ton équation, tu avais bien commencé en transformant ta base 4 en base 2. Il fallait simplement poursuivre de la sorte:
$$2·(2^2)^{(x+2)}=2^1·2^{(2(x+2))}=2^1·2^{(2x+4)}$$

Ensuite, il te suffit d'appliquer la propriété des exposants qu'on vient de voir et d'additionner les exposants d'une même base entre eux:
$$2^1·2^{(2x+4)}=2^{(2x+4+1)}=2^{(2x+5)}$$

Il ne te reste alors plus qu'à diviser les deux côtés de ton équation le terme en base 2 que tu auras trouvé à gauche de ton équation.
Ainsi, tu devrais obtenir l'équation suivante:
$$3^x=\frac{2^{(2x+5)}}{2^{(2x-1)}}$$
Pour diviser les deux termes à droite de ton équation, il te faudra alors utiliser la propriété des exposants suivante:
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{(m-n)}$$
En procédant à ta division, tu verras que tes exposants x disparaîtront et qu'il ne te restera qu'une base 2 affectée d'un nombre.
Il ne te restera alors plus qu'à transformer ton équation sous forme logarithmique:
$$\log_{3}n=x$$
où n correspond au résultat que tu auras trouvé (c'est à toi de trouver la valeur de n).
Enfin, tu pourras procéder à un changement de base en utilisant la loi des logarithmes suivante:
$$\log_{c}m=\frac{\log_{a}m}{\log_{a}c}$$
Dans ton cas:
$$\log_{c}m=\frac{\ln{m}}{\ln{c}}$$


Je te laisse ici deux liens (concernant respectivement les lois des exposants et les lois des logarithmes) qui pourraient t'aider:

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À toi de jouer maintenant!