Bonjour j'ai de la difficulté à calculer les probabilités que évènement se passe avec ou sans remise et avec ou sans ordre.
Je suis juste pas capable de comprendre la logique derrière la leçon.
Seriez-vous capable de m'aider
Explication (1)
Explication d’élève
29 mai 2021
Bonjour,
Voyons les explications de chaque expériences suivies d'exemples et de calculs de probabilités.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC REMISE
Une expérience aléatoire avec remise est une expérience lors de laquelle un élément pigé est toujours remis dans l'univers des possibles avant le tirage suivant.
Dans une expérience aléatoire composée avec remise, la probabilité d'un événement reste identique durant toute l'expérience. On dit alors que les événements intermédiaires sont indépendants l'un de l'autre puisque les résultats possibles sont les mêmes pour chaque étape.
Par exemple, si dans un sac j'ai une boule bleue, une jaune et une rouge et que j'en pige une, je peux obtenir trois résultats différents. Je peux soit obtenir bleu, jaune ou rouge. Après avoir pigé une boule, je la remet dans le même sac. À la deuxième pige, j'ai donc encore la possibilité de piger une bleue, une jaune ou une rouge.
Supposons que je veux calculer la probabilité de piger deux boules bleues.
D'abord, il y a une boule bleue parmi trois boules. La probabilité de piger une boule bleue est donc de 1/3. Puisque c'est un tirage avec remise, la probabilité sera toujours la même durant l'expérience.
$$ \begin{align} \mathbb{P}(Bleu\, suivi\, de\, Bleu) &=\mathbb{P}(Bleu)\times \mathbb{P}(Bleu)\\ & =\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} \\ &=\frac{1}{9} \\ \end{align}$$
Il est aussi possible de l'illustrer grâce à un diagramme en arbre.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE SANS REMISE
Dans ce cas ci, on ne remet pas l'élément pigé dans l'univers des résultats possibles. La probabilité qu'un événement se produit va changer à chaque étape.
Reprenons l'exemple de tantôt avec les trois boules bleue, jaune et rouge.
À la première pige, nous avons une chance sur trois de piger la boule bleue. Par contre, puisqu'on ne remet pas la boule dans le sac pour la deuxième pige, nous avons zéro chance sur trois de l'obtenir.
Quelle est la probabilité de piger une boule bleue à chaque tirage? 0.
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE AVEC ORDRE
On définit uneexpérience aléatoire composée avec ordrelorsque l'on veut que les événements de l'expérience se suivent selon une séquence particulière.
Nous cherchons la probabilité de piger une boule bleue suivie d'une boule rouge. On remet les boules dans le sac après chaque pige. Le résultat est 1/9.
$$ \mathbb{P}(B,R)=\mathbb{P}(B)\times \mathbb{P}(R)= \mathbb{P}(B,R)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9} $$
EXPÉRIENCE ALÉATOIRE SANS ORDRE
L'expérience aléatoire composée sans ordre, elle, ne nécessite pas que les événements se suivent selon une séquence particulière.
Nous cherchons la probabilité de piger une boule bleue et une boule rouge cette fois. Il n'y a pas d'ordre précis sur l'ordre de couleurs lorsque l'on pige.
Probabilité de piger bleu : 1/3
Probabilité de piger rouge: 1/3
Probabilité de piger bleu, ensuite rouge:
$$\mathbb{P}(B,R)=\mathbb{P}(B)\times \mathbb{P}(R)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $$
Probabilité de piger rouge, ensuite bleu:
$$\mathbb{P}(R,B)=\mathbb{P}(R)\times \mathbb{P}(B)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} $$
Probabilité de piger bleu et rouge:
On fait la somme de ces probabilités pour répondre à la question.
$$\mathbb{P}(B \text{ ou } R)= \mathbb{P}(B,R)+ \mathbb{P}(R,B)=\mathbb{P}(B \text{ ou } R)= \frac{1}{9}+ \frac{1}{9}=\frac{2}{9} $$
Il est aussi possible de le voir à l'aide d'un dessin.
En plus de ces explications, tu peux consulter les fiches disponibles sur Alloprof. Voici quelques unes très pertinentes.
Les expériences aléatoires composées avec et sans remise:
Les expériences aléatoires composées avec ou sans ordre:
Notions générales de probabilités:
Si après cette lecture tu éprouves encore de la difficulté, dis nous ce qui est moins compris et nous t'aideront avec plaisir!
En effaçant cette explication, vous supprimerez aussi définitivement la question. Voulez-vous continuer?