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AzoteTimide2132

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bonjour, je ne comprend pas comment résoudre ce numéro. Je suis en mesure d'identifier les données et de les mettre dans la formule, mais c'est la première fois qu'on mentionne les versements dans la question. Est-ce qu'il existe une formule autre ?

FerUpsilon5520

Co est le montant initial emprunté

v est le versement mensuel

au temps t (en mois) le montant à rembourser C(t) est:

pour t = 0

C(0) = Co tout le montant et l'intérêt n'est pas encore appliqué

pour t = 1

C(1) = le montant du mois précédent avec l'intérêt - versement du mois = Co(1+i/k) - v

ici cela correspond à Co(1+0.108/12) - 324.64

pour t = 2

C(2) = le montant du mois précédent avec l'intérêt - versement du mois = (Co(1+i/k) - v)(1+i/k)) - v = Co(1+i/k)² - v(1+i/k) - v

pour t = 60

C(60) = Co(1+i/k)^60 - v(1+i/k)^59 - v(1+i/k)^58 -..... -v(1+i/k)^1 - v

Comme au 60ème versement, le montant est payé =>

C(60) = 0

donc

Co(1+i/k)^60 = v(1+i/k)^59 + v(1+i/k)^58 +..... +v(1+i/k)^1 + v (1)

Or tu as peut-être vu que pour une somme S telle que

S = u + ur¹ + ur² + ur³ + ... + ur^(n-1)

et Sr = ur¹ + ur² + ur³ + ... + ur^n

en faisant la différence

S - Sr = u - ur^n

et après mise en évidence

S(1-r) = u(1-r^n)

on trouve

S = u(1-r^n)/(1-r) (2)

En applicant le résultat (2) sur la somme en (1) on trouve

Co(1+i/k)^60 = v(1-(1+i/k)^60)/(1-(1+i/k))

en isolant Co

Co = v(1+i/k)^(-60)(1-(1+i/k)^60)/(-i/k)

Co = v((1+i/k)^(-60)-1)/(-i/k)

Co = v(1-(1+i/k)^(-60))/(i/k)

ici

i/k = 0.108/12 = 0.009

1 + i/k = 1 + 0.108/12 = 1.009

Co = 324.64(1 -1.009^(-60))/0.009 = 14999.90

si je ne me suis pas trompée

Andréa C

Bonsoir, AzoteTimide2132!

Tu es sûrement habitué à utiliser des formules dont:

• C₀ est la valeur actuelle (capital initial);
• i est le taux d'intérêt composé annuel en notation décimale;
• k est le facteur en lien avec la période d'intérêt;
• n est le nombre de périodes d'intérêt (durée).

https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/le-taux-d-interet-compose-m1571

J'imagine que tu as trouvé:

• i = 10.8%;
• k = 12;
• n = 60;
• versement = 324,64$.

Dans ce cas, on peut utiliser la formule suivante.

$$ C_0=\text{versement}\times \frac{1-(1+\frac{i}{k})^{-n}}{\frac{i}{k}} $$

N'hésite pas à poser d'autres questions!