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DauphinZen7719

Comment puis-je résoudre ce genre d’exercices ? Lorsque l’équation des logarithmes ne comporte pas la même base ?

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Mélodie B.

Bon matin DauphinZen7719 😊

Merci de faire appel à nos services :)

Quand les logarithmes n’ont pas la même base, le truc est de les mettre dans la même base avant de résoudre. On peut le faire soit avec le changement de base, soit en réécrivant une base comme une puissance de l’autre (par exemple 8=2^3).

Regardons ton a),

$$\log_8(2x+5) = -\log_2(2x+5)$$

1) Domaine

Il faut que l’argument du log soit positif :

$$2x+5 > 0 \Rightarrow x > -2.5$$

2) Mettre les deux logs dans la même base

Comme 8=2^3, on utilise la règle:

$$\log_{2^3}(M) = \frac{1}{3}\log_2(M)$$

Donc,

$$\frac{1}{3}\log_2(2x+5) = -\log_2(2x+5)$$

3) Regrouper et factoriser

$$\frac{1}{3}\log_2(2x+5) + \log_2(2x+5) = 0$$

$$\left(\frac{1}{3} + 1\right)\log_2(2x+5) = 0$$

$$\frac{4}{3}\log_2(2x+5) = 0$$

4) Résoudre

$$\log_2(2x+5) = 0$$

$$2x+5 = 2^0 = 1$$

$$x = -2$$

5) Vérifier le domaine

$$-2 > -2.5 \quad \text{(vrai)}$$

La solution est donc valide!

Si jamais tu as d'autres questions, n'hésite surtout pas!

Mélodie 🎶