Secondaire 5 • 1m
e^(2x-1)= e^(x) +6
pouvez-vous m’expliquer en détail svp
e^(2x-1)= e^(x) +6
pouvez-vous m’expliquer en détail svp
Bonjour LibelluleHumoristique1150 😊
Merci pour ta question :)
Ici, on veut résoudre l'équation suivante
$$e^{2x-1} = e^x + 6$$
La première étape sera d'utiliser la propriété suivante:
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Ainsi, on peut écrire
$$e^{2x-1} = e^{2x} \cdot e^{-1}$$
Comme $$e^{2x} = (e^x)^2$$
On obtient que $$e^{2x-1} = \frac{(e^x)^2}{e}$$
L'équation devient alors:
$$\frac{(e^x)^2}{e} = e^x + 6$$
Ensuite, on peut ramener tous les termes du même côté:
$$\frac{(e^x)^2}{e} - e^x - 6 = 0$$
Ici on peut observer que cette équation ressemble drôlement à une équation polynomiale de degré 2 de cette forme:
$$ay^2+by+c=0$$
Ainsi, en posant $$y = e^x$$
on obtient l'équation suivante:
$$\frac{y^2}{e} - y - 6 = 0$$
On peut ensuite multiplier par e des deux côtés:
$$y^2 - ey - 6e = 0$$
En appliquant la formule quadratique, on peut résoudre pour trouver y:
$$y = \frac{e \pm \sqrt{e^2 + 24e}}{2}$$
Comme y=e^x, on a:
$$e^x = \frac{e + \sqrt{e^2 + 24e}}{2}$$
Comme e^x est toujours plus grand que 0, on garde seulement la solution positive.
Finalement,
$$x = \ln\left(\frac{e + \sqrt{e^2 + 24e}}{2}\right)$$
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Mélodie 🎶
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