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BoreGamma4732

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Bonjour,

Je ne comprends pas comment faire pour trouver l'equationde cette ellipse. J'ai demandeé cette question mais je n'ai pas trop compris.

Merci!

Katia K

Salut!

Tout d'abord, en observant le graphique et les coordonnées des deux foyers, nous pouvons constater qu'il s'agit d'une ellipse centrée à l'origine.

Ainsi, l'équation d'une ellipse de base centrée à l'origine est

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} =1 $$

puisque h=0 et k=0

Nous pouvons aussi constater qu'il s'agit d'une ellipse horizontale, donc nous savons que a > b.

À l'aide des coordonnées des foyers, on peut déterminer c, la distance entre le centre et le foyer. On obtient donc c = 10

Ainsi, la formule :

$$ c² = a² - b² $$

devient :

$$ 10² = a² - b² $$

Appelons cette équation l'équation A

Aucun sommet n'est fourni, nous avons plutôt les coordonnées d'un point sur l'ellipse. Donc, nous pouvons intégrer ce point à l'équation de base d'une ellipse, ce qui nous donne :

$$ \frac{8,7^2}{a^2} + \frac{8,4^2}{b^2} =1 $$

Appelons cette équation l'équation B

Maintenant, puisque nous cherchons 2 inconnus, a et b, et que nous avons 2 équations, nous pouvons combiner ces équations afin de trouver les inconnus. Ainsi, après avoir isolé la variable a dans l'équation A, on obtient :

$$ 10^2 + b^2 = a^2 $$

Il faut maintenant insérer cette nouvelle équation A dans l'équation B. Pour faire cela, nous allons remplacer la variable a² dans l'équation B par ce que nous avons obtenu comme valeur de a² dans l'équation A, soit 10² + b², comme ceci :

$$ \frac{8,7^2}{10^2 + b^2} + \frac{8,4^2}{b^2} = 1 $$

Nous obtenons ainsi une équation ayant une seule inconnue. En isolant la variable b, nous obtenons b=-10,5 et b=10,5, ce qui est tout à fait normal, puisqu'il y a une réflexion de l'axe des ordonnées. Puisque nous cherchons une mesure, nous allons garder la valeur positive.

Maintenant, nous pouvons trouver a en insérant la valeur trouvée de b, 10,5 , dans une des deux équations et en isolant a par la suite, comme ceci :

$$ 10^2 = a^2 - 10,5^2 $$

$$ a = 14,5 $$

Ici, j'ai utilisé l'équation A, mais nous aurions aussi pu utiliser l'équation B et nous aurions obtenu le même résultat.

Tu peux constater que a est effectivement plus grand que b, nous sommes donc sur la bonne voie.

En insérant les variables trouvées, soit h=0, k=0, a=14,5 et b=10,5 l'équation de l'ellipse est donc :

$$ \frac{x^2}{14,5^2} + \frac{y^2}{10,5^2} =1 $$

Voilà! N'hésite pas si tu as d'autres questions :)