Mathématique m1009

Les formules mathématiques (secondaire)

ARITHMÉTIQUE
ET ALGÈBRE
​GÉOMÉTRIE ​GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
PROBABILITÉS ET STATISTIQUES
Exprimer un nombre en pourcentage
Les propriétés des opérations
Les fonctions réelles

Les fonctions exponentielles et logarithmiques
Les fonctions trigonométriques
​Les identités trigonométriques



Conversion des unités de mesures
​Périmètre et aire des figures planes
​Les mesures dans le cercle
Les mesures dans les polygones

​Aire et volume des solides
Les mesures dans les triangles rectangles
​Les figures et les solides semblables
Les vecteurs
Les droites dans le plan cartésien
Les transformations géométriques
​Les coniques

​Le cercle trigonométrique







Les probabilités d'événements
Les mesures de tendance centrales
Les mesures de dispersion
​Les mesures de position

Le coefficient de corrélation




Arithmétique et algèbre

Exprimer un nombre en pourcentage

​|\small \displaystyle \frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}\times 100|
​​|\small \displaystyle \frac{\text{numérateur}}{\text{dénominateur}}=\frac{\text{nombre recherché}}{100}|

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Les propriétés des opérations

​ADDITION ​MULTIPLICATION
​1) Commutativité:
|\small a+b=b+a|
​1) Commutativité:
|\small a\cdot b=b\cdot a|
​2) Associativité:
|\small (a+b)+c=a+(b+c)|
​2) Associativité:
|\small (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)|
​3) Élément neutre:
|\small a+0=0+a=a|
​3) Élément neutre:
|\small a\cdot 1=1\cdot a=a|
​4) Élément absorbant:
|\small a\cdot 0=0|
​4) Inverse additif:
|\small a+\text{-}a=\text{-}a+a=0|
​5) Inverse multiplicatif:
|\small a\cdot\frac{1}{a}=1|
​6) La distributivité de la multiplication sur l'addition:
|\small a\cdot (b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c|

 |\large\Uparrow|

Les fonctions réelles

​FONCTIONS​BASES​ ​ ​TRANSFORMÉES
​Degré |0|
​|\small y=a|
​Degré |1|
|\small y=x|
​Forme
fonctionnelle
​Forme
symétrique
​Forme
générale
​|\small \displaystyle y=ax+b\phantom{+ \frac{y}{b}}|

|\small a| : taux de variation
|\small b| : ordonnée à l'origine
|\small a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}|
​|\small \displaystyle \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1|

|\small a| : abscisse à l'origine
|\small b| : ordonnée à l'origine
|\small \phantom{a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}|
​|\small Ax+By+C=0|





​|\Rightarrow| symétrique
  ​|\small \displaystyle a_s=\frac{\text{-}b_f}{a_f}\phantom{+\frac{-A}{B}}\\ |
  |\small b_s=b_f \displaystyle \phantom{b_f=\frac{-C}{B}}\\ |
​​|\Rightarrow| fonctionnelle
​  |\small \displaystyle a_f=\frac{\text{-}b_s}{a_s}\phantom{+\frac{-A}{B}}\\ |
  |\small b_f=b_s\displaystyle \phantom{b_f=\frac{-C}{B}}\\ |
|\Rightarrow| fonctionnelle
  ​|\small \displaystyle a_f=\frac{\text{-}A}{B}\\ |
  |\small \displaystyle b_f=\frac{\text{-}C}{B}\\ |
​|\Rightarrow| générale

​Dénominateur commun et mettre tout du même côté
|\Rightarrow| générale

Dénominateur commun et mettre tout du même côté
|\Rightarrow| symétrique
​  |\small \displaystyle a_s=\displaystyle \frac{\text{-}C}{A}\\ |
  |\small \displaystyle b_s=\displaystyle \frac{\text{-}C}{B}\\ |
Degré |2|
​|\small y=x^2| ​
Forme
générale
Forme
​canonique
​|\small y=ax^2+bx+c|
|\small y=a(b(x-h))^2+k|
|\small y=ab^2(x-h)^2+k\:|
|\small y=a(x-h)^2+k\phantom{(b)}|
​Nombre de zéros
​Nombre de zéros
​|\small \sqrt{b^2-4ac}|
​|\small \sqrt{\displaystyle \frac{\text{-}k}{a}}|
​Valeur de zéros
​Valeur des zéros
​|\small \displaystyle \frac{\text{-}b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}|
​|\small h\pm\displaystyle\sqrt{\frac{\text{-}k}{a}}|
​ ​Générale |\Rightarrow| Canonique
​ ​|\small \displaystyle h=\frac{\text{-}b}{2a}\phantom{espace}k=\frac{4ac-b^2}{4a}|
​Valeur absolue
​|\small y= \mid x\ \mid|
Forme canonique​
|\small y=a\mid b(x-h)\mid +k\phantom{k}\:\:\:|
|\small y=a\mid b\mid \cdot \mid x-h\mid +k|
|\small y=a\mid x-h\mid +k\phantom{+k}\:\:\:|​ ​ ​​
​Racine
carrée
​|\small y=\sqrt x|
​Forme canonique
​|\small y=a\sqrt{b(x-h)}+k\phantom{+}|
|\small y=a\sqrt b\cdot\sqrt{x-h}+k|​
|\small y=a\sqrt{x-h}+k|

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Les fonctions exponentielles et logarithmiques

FONCTIONS ​BASESTRANSFORMÉESDÉFINITIONS et LOIS
​Exponentielle​|\small f(x)=c^x|​|\small f(x)=ac^{b(x-h)}+k|​  |\small a^0=1\\
\small a^1=a\\
\displaystyle \small a^{-m}=\frac{1}{a^m}\\
\small a^{\normalsize{ \frac{m}{n}}}=\sqrt[\normalsize{n}]{a^m}\\
\small \text{Si } a^m=a^n\text{,alors }m=n\\ \phantom{000}\\
\small a^m\cdot a^n=a^{m+n}\\
\small \displaystyle \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\\
\small (a\cdot b)^m=a^m\cdot b^m\\
\small (a^m)^n=a^{mn}\\
\small \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}\\
\small \sqrt[\normalsize{n}]{a\cdot b}=\sqrt[\normalsize{n}]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\\
\small \displaystyle \sqrt[\normalsize{n}]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[\normalsize{n}]{a}}{\sqrt[\normalsize{n}]{b}}|
​Logarithme​|\small f(x)=\log_cx|​|\small f(x)=alog_c(b(x-h))+k|​  |\small log_c1=0\\
\small log_cc=1\\
\small c^{log_{\normalsize{c}}m}=m\\
\small log_cc^m=m\\
\small \text{Si }m=n\text{, alors }log_cm=log_cn\\ \phantom{0000}\\
\small log_c(mn)=log_cm+log_cn\\
\small \displaystyle log_c\left(\frac{m}{n}\right)=log_cm-log_cn\\
\small log_c(m^n)=nlog_cm\\
\displaystyle \small log_cm=\frac{log_sm}{log_sc}|
L'une est la réciproque de l'autre

|\small x=c^y\Leftrightarrow y=log_cx|

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Les fonctions trigonométriques

​FONCTIONS​BASES​TRANSFORMÉES​PARTICULARITÉS
​Sinus​|\small f(x)=\sin(x)|​|\small f(x)=a\sin(b(x-h))+k|
​|\small \displaystyle \mid\ a\mid\:=\frac{max_f-min_f}{2}|
|\small\displaystyle \mid\ b\mid\ =\small{\frac{2\pi}{\text{période}}}|​
​|\small Ima\ f=\small\left[k-a,k+a\right]|
|\small Zéros| : ​Infinité de la forme
|\small(x_1+nP)| et |\small(x_2+nP)|
où |\small x_1| et |\small x_2| sont des zéros consécutifs, |\small n\in \mathbb{Z}| et |\small P| est la période.
​Cosinus​|\small f(x)=\cos(x)|​|\small f(x)=acos(b(x-h))+k|
​Tangeante​|\small f(x)=\tan(x)|
​|\small f(x)=a\tan(b(x-h))+k|
|\small\displaystyle \mid\ b\mid\ =\small{\frac{\pi}{\text{période}}}|​
|\small Dom\ f= \mathbb{R}\backslash\left\{\left(h+\displaystyle \frac{P}{2}\right)+nP\right\}|
où |\small n\in\mathbb{Z}| et |\small P| est la période
​|\small Zéros| : Infinité de la forme
|\small x_1+nP|
où |\small x_1| est un zéro, |\small n\in \mathbb{Z}| et |\small P| est la période.
​Arc sinus
​|\small f(x)=\arcsin(x)|
ou
|\small f(x)=\sin^{-1}(x)|
​|\small f(x)=a\arcsin(b(x-h))+k|
​Arc cosinus
​​|\small f(x)=\arccos(x)|
ou
|\small f(x)=\cos^{-1}(x)|
|\small f(x)=a\arccos(b(x-h))+k|​ ​
​Arc tangeante
​|\small f(x)=\arctan(x)|
ou
|\small f(x)=\tan^{-1}(x)|
​|\small f(x)=a\arctan(b(x-h))+k|​

 |\large\Uparrow|

Les identités trigonométriques

​ ​ ​IDENTITÉS DE BASE
|\small \sin^2\theta+cos^2\theta=1|
​|\small 1+\tan^2\theta=sec^2\theta|
​|\small 1+\text{cotan}^2\theta=\text{cosec}^2\theta|
​ ​ ​AUTRES IDENTITÉS
||\small \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b\\ \\ \small \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b\\ \\ \small \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\\ \\ \small \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\\ \\ \small \tan(a+b)=\displaystyle \frac{\tan a +\tan b}{1-\tan a\tan b}\:\\ \\ \small \tan(a-b)=\displaystyle \frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}||

|\small \sin 2x=2\sin x\cos x\ \ |
|\small \cos2x=1-2\sin^2x\ \ \:|
|\small \tan2x=\displaystyle{ \frac{2}{\text{cotan}x-\tan x}}|
​|\small \sin(-\theta)=-\sin\theta\\|
|\small \cos(-\theta)=\cos\theta\ \ \:|
|\small \sin(\theta+\frac{\pi}{2})=+\cos\theta\\|
|\small \cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta|

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Géométrie

Transformation des unités de longueur, d’aire et de volume

​|\small\text{km}|​|\small\text{hm}|​|\small\text{dam}|​|\small\text{m}|​|\small\text{dm}||\small\text{cm}|​​|\small\text{mm}|
Dans ce sens |\small \Rightarrow \times 10\qquad \qquad\qquad| Dans ce sens |\small \Leftarrow \div 10|
​|\small\text{km}^2|​|\small\text{hm}^2|​|\small\text{dam}^2||\small\text{m}^2|​​|\small\text{dm}^2|​|\small\text{cm}^2|​|\small\text{mm}^2|
Dans ce sens |\small \Rightarrow \times 100\qquad \qquad\qquad| Dans ce sens |\small \Leftarrow \div 100|
​|\small\text{km}^3|​|\small\text{hm}^3|​|\small\text{dam}^3|​|\small\text{m}^3|​|\small\text{dm}^3|​|\small\text{cm}^3|​|\small\text{mm}^3|
Dans ce sens |\small \Rightarrow \times 1000\qquad \qquad\qquad| Dans ce sens |\small \Leftarrow \div 1000|

 |\large\Uparrow|

Périmètre et aire des figures planes

​FIGURESPÉRIMÈTRE
​AIRE
​Triangle  La somme de tous les côtés
​  |\small \bullet\ A=\displaystyle \frac{b\cdot h}{2}\\ |
  |\small \bullet\ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}|
     où |\small p=| demi-périmètre
​Carré​  |\small \bullet\ P=4\cdot c|
​  |\small \bullet\ A=c\cdot c\\|
  |\small \bullet\ A=c^2|
​Rectangle​  |\small \bullet\ P=b+h+b+h\\|
  |\small \bullet\ P=2\cdot(b+h)|
​  |\small \bullet\ A=b\cdot h|
​Losange
  ​|\small \bullet\ P=4\cdot c|
​  |\small \bullet\ A=\displaystyle \frac{D\cdot d}{2}|
​Parallélogramme​  La somme de tous les côtés
​  |\small \bullet\  A=\displaystyle b\cdot h\phantom{\frac{D}{2}}|
​Trapèze​  La somme de tous les côtés​  |\small \bullet\ A=\displaystyle \frac{(B+ b)\cdot h}{2}|
​Polygones
réguliers
  ​|\small \bullet\ P=n\cdot c|
​  |\small \bullet\ A=\displaystyle \frac{c\cdot a\cdot n}{2}|
La somme des aires de tous les triangles composant le polygone
​Polygones quelconques
​La somme de tous les côtés
​Décomposer le polygone en plusieurs polygones connus et additionner les aires de ces polygones.
​Disque
et
cercle
  |\small \bullet\ d=2r\\ |
  |\small\bullet\ r=\displaystyle \frac{d}{2}|
​  |\small \bullet\ Circ=\pi d\\|
  |\small \bullet\ Circ=2\pi r\phantom{\displaystyle \frac{d}{2}}|
​  |\small \bullet\ A=\pi r^2|
​Arc de cercle
et
secteur
​|\small \displaystyle \frac{\text{Angle au centre}}{360^o}=\frac{\text{Mesure d'arc}}{2\pi r}|
​|\small \displaystyle \frac{\text{Angle au centre}}{360^o}=\frac{\text{Aire du secteur}}{\pi r^2}|

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Les mesures dans le cercle

Les théorèmes dans le cercle

  • Les rayons d’un cercle sont congrus.
  • Le diamètre est la plus longue corde d’un cercle.
  • En reliant tout point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, on forme un angle droit.
  • Dans un cercle, tout rayon aboutissant au point de tangence est perpendiculaire à la tangente en ce point.
  • Dans un cercle, le diamètre est perpendiculaire à une corde autre qu’un diamètre si et seulement si il partage cette corde en deux segments congrus.
  • Dans un cercle, deux cordes sont congrues si et seulement si elles sont également distantes du centre du cercle.
  • Dans un cercle, deux arcs sont congrus si et seulement si ils sont sous-tendus par des cordes congrues.
  • Dans un cercle, deux droites parallèles (tangentes, sécantes) au cercle interceptent des arcs congrus.
  • Dans un cercle, deux cordes sont congrues si et seulement si elles sont également distantes du centre du cercle.

Les mesures dans les polygones

Nombre total de diagonales Nombre de diagonales à chaque sommet Somme des mesures des angles intérieurs Mesure d'un angle intérieur
|\small\displaystyle\frac{n(n-2)}{2}||\small n-3|
|\small 180(n-2)||\small \displaystyle \frac{180(n-2)}{n}|

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Aire et volume des solides

​SOLIDES​AIRE LATÉRALE
​AIRE TOTALE
​VOLUME
​Prismes
et
cylindres
Somme des aires des faces latérales du solide

|\small A_L=P_b\cdot h|


​Somme des aires de toutes les faces du solide

|\small A_T=A_L+2A_b\\ \\\small A_T=(P_b\cdot h)+2A_b|

​|\small V=A_b\cdot h|
​Pyramides
et
cônes
​Somme des aires des faces latérales du solide.

|\small A_L=\displaystyle \frac{P_b\cdot a}{2}|


​Somme des aires de toutes les faces du solide

|\small A_T=A_L+A_b\\ \\\small A_T=\displaystyle \left(\frac{P_b\cdot a}{2}\right)+A_b|

​|\small V=\displaystyle \frac{A_b\cdot h}{3}|
​Sphères
et
boules
|\small A=4\pi r^2|​|\small V=\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}|

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Les mesures dans les triangles rectangles

LES THÉORÈMES
  ​|\small \bullet| Dans tout triangle, la mesure d'un côté quelconque est plus petite que la somme des mesures des deux autres côtés.
  |\small \bullet| Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés isométriques sont congrus.
  |\small \bullet| Dans les triangles rectangles, les angles aigus sont complémentaires. ||\small \sum \text{angles aigus}=90^o||
  |\small \bullet| Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle de |\small 30^o| vaut la moitié de l'hypoténuse. ||\small \text{mesure du côté opposé à l'angle de }30^o=\displaystyle \frac{\text{mesure de l'hypoténuse}}{2}||  |\small \bullet| La relation de Pythagore: Dans un triangle rectangle, la somme du carré des cathètes est égal au |\phantom{\small \bullet}|  carré de l'hypoténuse. ||\small (\text{cathète})^2+(\text{cathète})^2=(\text{hypoténuse})^2||

LES RELATIONS MÉTRIQUES
Théorème de la hauteur relative à l'hypoténuse
Dans un triangle rectangle, la hauteur |\small (h)| issue du sommet de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments |\small (m| et |\small n)| qu'elle détermine sur l'hypoténuse. ||\small \displaystyle \frac{m}{h}=\frac{h}{n}\quad \text{ou}\quad h^2=m\cdot n||
Théoreme du produit des cathètes
Dans tout triangle rectangle, le produit des cathètes |\small(a| et |\small b)| est égal au produit de l'hypothénuse |\small (c)| et de sa hauteur relative |\small (h)|. ||\small c\cdot h=a\cdot b\quad \text{ou}\quad h=\displaystyle \frac{ab}{c}||
Théorème des projections orthogonales
Dans tout triangle rectangle, chaque cathète |\small (a| ou |\small b)| est moyenne proportionnelle entre la longueur de sa projection sur l'hypothénuse |\small (|respectivement |\small m| et |\small n)| et l'hypothénuse entière |\small (c)|. ||\small \displaystyle \frac{m}{a}=\frac{a}{c}\quad \text{ou}\quad  a^2=m\cdot c\qquad \qquad \frac{n}{c}=\frac{b}{c}\quad \text{ou}\quad b^2=n\cdot c||

 

​RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES
Triangles rectangles
​LOIS TRIGONOMÉTRIQUES
Triangles quelquonques
​|\\ \small \sin A=\displaystyle \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}}\\ |
​|\small \displaystyle \frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}|
​|\small \cos A=\displaystyle \frac{\text{Adjacent}}{\text{Hypoténuse}}|
​|\small a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ \\\small b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\\ \\\small c^2=a^2+b^2-2bc\cos C|
​|\\ \small tan A=\displaystyle \frac{\text{Opposé}}{\text{Adjacent}}\phantom{\text{se}}\\ |
​|\\ \small \text{cosec}A=\displaystyle \frac{1}{\sin A}=\frac{\text{Hypoténuse}}{\text{Opposé}}\\ |
​|\\ \small \phantom{\text{co}}\text{sec}A=\displaystyle \frac{1}{\cos A}=\frac{\text{Hypoténuse}}{\text{Adjacent}}\\ |
​|\\ \small \text{cotan}A=\displaystyle \frac{1}{\tan A}=\frac{\text{Adjacent}}{\text{Opposé}}\phantom{\text{se}}\:\\ |

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Les figures et les solides semblables

​RAPPORT DE SIMILITUDE
​RAPPORT D'AIRES
​RAPPORT DE VOLUMES
​|\small k=\displaystyle \frac{\text{longueur figure image}}{\text{longueur figure initiale}}|
​|\small k^2=\displaystyle \frac{\text{Aire figure image}}{\text{Aire figure initiale}}|
​​|\small k^3=\displaystyle \frac{\text{Volume solide image}}{\text{Volume solide initiale}}|   

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Les vecteurs

​Composantes |\small (a,b)| d'un vecteur
​  Vecteur |\small \overrightarrow{AB}|
​  |\small a=x_2-x_1|
  |\small b=y_2-y_1|
  ​À l'aide de la norme et de l'orientation
​  |\small a=\Vert \overrightarrow{u}\Vert\cdot \cos \theta|
  |\small b=\Vert \overrightarrow{u}\Vert\cdot \sin \theta|
​Norme d'un vecteur
​  Vecteur |\small \overrightarrow{AB}|  ​|\small \Vert\overrightarrow{AB}\Vert=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}|
​  Vecteur |\small\overrightarrow{u}=(a,b)\phantom{\overrightarrow{AB}}|
  ​|\small \Vert\overrightarrow{v}\Vert=\sqrt{a^2+b^2}|
​Orientation d'un vecteur

  ​|\small \theta=\tan^{-1}\left(\displaystyle\frac{b}{a}\right)|
​|\small \cdot| Si​ |\small a>0,b>0: \theta| est valide.
|\small \cdot| Si​ |\small a<0,b>0: \theta+180^o|.
|\small \cdot| Si​ |\small a<0,b<0: \theta+180^o|.
|\small \cdot| Si​ |\small a>0,b<0: \theta+360^o|.
​Somme de deux vecteurs
​  Soit |\small \overrightarrow{u}=(a,b)| et |\small \overrightarrow{v}=(c,d)|, alors |\small \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(a+c,b+d)|
​Soustraction de deux vecteurs
  Soit |\small \overrightarrow{u}=(a,b)| et |\small \overrightarrow{v}=(c,d)|, alors |\small \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(a-c,b-d)|​ ​
​Règle
des cosinus
  |\small \Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert=\Vert \overrightarrow{u}\Vert+\Vert \overrightarrow{v}\Vert-2\Vert \overrightarrow{u}\Vert\cdot\Vert \overrightarrow{v}\Vert\cdot \cos\theta|
​Multiplication par un scalaire
​  Soit |\small k| un scalaire et |\small \overrightarrow{u}=(a,b)|,
  alors |\small k\overrightarrow{u}=(ka,kb)|.
​Produit scalaire

(Si le produit scalaire est de |\small 0|, alors les vecteurs sont perpendiculaires. )
​  À l'aide des composantes
  Soit |\small \overrightarrow{u}=(a,b)| et |\small \overrightarrow{v}=(c,d)|,
  alors |\small \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=ac+bd|.
​  À l'aide de la norme et de l'orientation
​  |\small \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\Vert\overrightarrow{u}\Vert\cdot\Vert\overrightarrow{v}\Vert\cdot \cos\theta|
PROPRIÉTÉS DE L'ADDITION DE DEUX VECTEURS​ ​ ​
​1) La somme de deux vecteurs est un vecteur
​2) Commutativité
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V: \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}|
​3) Associativité
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V:(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})|
​4) Existence d'un élément neutre
​|\small \forall \overrightarrow{u}\in V: \overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}|
​5) Existence d'opposés
​|\small \forall \overrightarrow{u}\in V:\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u})=-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}|
​ ​ ​PROPRIÉTÉS DE LA MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE
1) Le produit d'un vecteur par un scalaire est toujours un vecteur
​2) Associativité
​|\small \forall \overrightarrow{u}\in V| et |\small k_1,k_2\in\mathbb{R}:k_1(k_2\overrightarrow{u})=(k_1k_2)\overrightarrow{u}|
​3) Existence d'un élément neutre​|\small \forall \overrightarrow{u}\in V: 1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}\cdot 1=\overrightarrow{u}|
​4) Distributivité sur l'addition de vecteurs
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V| et |\small \forall k\in \mathbb{R}:k(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}+k\overrightarrow{v}|
​5) Distributivité sur l'addition de scalaires
​|\small \forall \overrightarrow{u}\in V| et |\small \forall k_1,k_2\in \mathbb{R}:(k_1+k_2)\overrightarrow{u}=k_1\overrightarrow{u}+k_2\overrightarrow{v}|
​ ​PROPRIÉTÉS DU PRODUIT SCALAIRE
1) Commutativité
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V:\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{u}|
​2) Associativité des scalaires
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\in V| et |\small \forall k_1,k_2\in \mathbb{R}: k_1\overrightarrow{u}\cdot k_2\overrightarrow{v}=k_1k_2(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})|
​3) Distributivité sur une somme vectorielle
​|\small \forall \overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\in V:\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})+(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w})|

 |\large\Uparrow|

Géométrie analytique

Les droites dans le plan cartésien

​CONCEPTS​FORMULES
​Accroissements
  ​|\small \Delta x=x_2-x_1|
  |\small \Delta y=y_2-y_1|
​Distance entre deux points
​  |\small d(A,B)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}|
​Coordonnées du point de partage
Rapport partie
au tout
​​Rapport partie
à partie
|\small x_p=x_1+\frac{a}{b}(x_2-x_1)|
|\small y_p=y_1+\frac{a}{b}(y_2-y_1)|
​|\small x_p=x_1+\frac{a}{a+b}(x_2-x_1)|
|\small y_p=y_1+\frac{a}{a+b}(y_2-y_1)|
​Coordonnées du point milieu
​  |\small (x_m,y_m)=\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)|
​Pente
d'une droite
​  |\small \displaystyle m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}|
​Comparaison de deux droites d'équations |\small y=mx+b|
Parallèles
confondues
​Parallèles
disjointes
Perpendiculaires​
​|\small m_1=m_2|
|\small b_1=b_2|
​|\small m_1=m_2|
|\small b_1\neq b_2|
​​|\small m_1\cdot m_2=-1|

 |\large\Uparrow|

Les règles des transformations géométriques et leur réciproque dans le plan cartésien

​Transformations​RÈGLES​RÉCIPROQUES
​Translation​|\small t_{(a,b)}:(x,y)\stackrel{t}{\mapsto}(x+a,y+b)|​|\small t^{-1}_{(a,b)}=t_{(-a,-b)}:(x,y)\stackrel{t}{\mapsto}(x-a,y-b)|
​Rotation​|\small r_{(O,90^o)}:(x,y)\stackrel{r}{\mapsto}(-y,x)\\ \\|
|\small r_{(O,-270^o)}:(x,y)\stackrel{r}{\mapsto}(-y,x)\\ \\|
|\small r_{(O,180^o)}:(x,y)\stackrel{r}{\mapsto}(-x,-y)\\ \\|
|\small r_{(O,-90^o)}:(x,y)\stackrel{r}{\mapsto}(y,-x)\\ \\|
|\small r_{(O,270^o)}:(x,y)\stackrel{r}{\mapsto}(y,-x)\\ \\|
​|\small r^{-1}_{(O,90^o)}=r_{(O,-90^o)}\phantom{\stackrel{r}{\mapsto}}\\ \\|
|\small r^{-1}_{(O,-270^o)}=r_{(O,270^o)}\phantom{\stackrel{r}{\mapsto}}\\ \\|
|\small r^{-1}_{(O,180^o)}=r_{(O,180^o)}\phantom{\stackrel{r}{\mapsto}}\\ \\|
|\small r^{-1}_{(O,-90^o)}=r_{(O,90^o)}\phantom{\stackrel{r}{\mapsto}}\\ \\|
|\small r^{-1}_{(O,270^o)}=r_{(O,-270^o)}\phantom{\stackrel{r}{\mapsto}}\\ \\|
​Réflexion
(Symétrie)
​|\small s_x:(x,y)\stackrel{s}{\mapsto}(x,-y)\phantom{^-1}\\ \\|
|\small s_y:(x,y)\stackrel{s}{\mapsto}(-x,y)\phantom{^-1}\\ \\|
|\small s_{/}:(x,y)\stackrel{s}{\mapsto}(y,x)\phantom{^-1}\\ \\|
|\small s_{\backslash}:(x,y)\stackrel{s}{\mapsto}(-y,-x)\phantom{^-1}\\ \\|
​|\small s^{-1}_x=s_x\phantom{\stackrel{s}{\mapsto}}\\ \\|
|\small s^{-1}_y=s_y\phantom{\stackrel{s}{\mapsto}}\\ \\|
|\small s^{-1}_{/}=s_{/}\phantom{\stackrel{s}{\mapsto}}\\ \\|
|\small s^{-1}_{\backslash}=s_{\backslash}\phantom{\stackrel{s}{\mapsto}}\\ \\|
​Homothétie​|\small h_{(O,k)}:(x,y)\stackrel{h}{\mapsto}(kx,ky)\phantom{^{-1}}|
​|\small h^{-1}_{(O,k)}=h_{(\frac{1}{k},\frac{1}{k})}:(x,y)\stackrel{h}{\mapsto}\left(\frac{x}{k},\frac{y}{k}\right)|

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Les coniques

​CONIQUES ​ÉQUATIONS CANONIQUES
PARAMÈTRES
Cercle
Lieu géométrique de tous les points situés à égale distance du centre.

​|\small x^2+y^2=r^2|

|\small (x-h)^2+(y-k)^2=r^2|
  |\small r:| rayon

  |\small (h,k):| Centre du cercle
​Ellipse
Lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances aux deux foyers est constante.


​|\small \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1|

|\small \displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1|
​  |\small a=\displaystyle \frac{\text{axe horizontale}}{2}|
  |\small b=\displaystyle \frac{\text{axe verticale}}{2}|

  |\small (h,k):| Centre de l'ellipse
​Hyperbole
Lieu géométrique de tous les points dont la valeur absolue de la différence de la distance aux foyers est constante.

​|\small \displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1|

|\small \displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=\pm 1|
​  Asymptôtes:
  |\small y=\frac{b}{a}(x-h)+k|
  |\small y=-\frac{b}{a}(x-h)+k|

  |\small (h,k):| Centre de l'hyperbole
Parabole
Lieu géométrique de tous les points situés à égale distance de la directrice et du foyer

​|\small (x-h)^2=4c(y-k)|

|\small (y-k)^2=4c(x-h)|
  |\small \mid\:c\mid\: :\displaystyle \frac{\text{distance foyer-directrice}}{2}|

  |\small (h,k):| Sommet de la parabole

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Le cercle trigonométrique

||P(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)||

m1009i1.png

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Statistiques et probabilités

Probabilités d’événements

​Probabilité​  |\small \text{Probabilité}=\displaystyle \frac{\text{Nbr de cas favorables}}{\text{Nbr de cas possibles}}|
​Probabilité complémentaire
​  |\small \mathbb{P}(A')=1-P(A)|
​Probabilité d'événements mutuellement exclusifs
​  |\small \mathbb{P}(A\bigcup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)|
​Probabilité d'événements non mutuellement exclusifs
  ​|\small \mathbb{P}(A\bigcup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-\mathbb{P}(A\bigcap B)|
​Probabilité conditionnelle
​  |\small \mathbb{P}(B\mid A)=\mathbb{P}_A(B)=\displaystyle \frac{\mathbb{P}(B\bigcap A)}{\mathbb{P}(A)}|
​Espérance de gain
​  |\small \mathbb{E}[Gain]=(\text{prob de gagner})\cdot(\text{gain net})+(\text{prob de perdre})\cdot(\text{perte nette})|
​Espérance mathématique
  ​|\small \mathbb{E}=x_1p(x_1)+x_2p(x_2)+...+x_np(x_n)|

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Mesures de tendance centrale

​MESURES​DONNÉES NON REGROUPÉES
​DONNÉES
CONDENSÉES
​DONNÉES
REGROUPÉES
​Moyenne​|\small \overline{x}=\displaystyle \frac{\sum x_i}{n}|
​|\small \overline{x}=\displaystyle \frac{\sum x_i\cdot n_i}{n}|​|\small \overline{x}=\displaystyle \frac{\sum m_i\cdot n_i}{n}|
​Médiane
​|\small \text{Rang}_\text{médiane}=\left(\displaystyle \frac{n+1}{2}\right)|

Si |\small n| est impair, on obtient directement la médiane.

Si |\small n| est pair, on obtient la médiane en faisant la moyenne des deux données centrales.
​​|\small \text{Rang}_\text{médiane}=\left(\displaystyle \frac{n+1}{2}\right)|

Si |\small n| est impair, on obtient directement la médiane.

Si |\small n| est pair, on obtient la médiane en faisant la moyenne des deux données centrales.   
Classe médiane:
La classe contenant la médiane.

On estime souvent la médiane d'une distribution à données regroupées en calculant le milieu de la classe médiane.

​Mode​La donnée la plus fréquente
​La valeur avec le plus grand effectif
Classe modale:
La classe ayant le plus grand effectif

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Mesures de dispersion

MESURES​​DONNÉES NON REGROUPÉES
​DONNÉES
CONDENSÉES
​DONNÉES
 REGROUPÉES
​Étendue​|\small E=x_\text{max}-x_\text{min}|​|\small E=\text{Valeur}_\text{Max}-\text{Valeur}_\text{Min}|​|\small E=\text{Borne}_\text{sup}-\text{Borne}_\text{inf}|
​Étendue Interquartile
​|\small EI=Q_3-Q_1|​|\small EI=Q_3-Q_1|​|\small EI=Q_3-Q_1|
​Intervalle semi-interquartile
​|\small Q=\displaystyle \frac{EI}{2}=\frac{Q_3-Q-1}{2}|
​|\small Q=\displaystyle \frac{EI}{2}=\frac{Q_3-Q-1}{2}|​|\small Q=\displaystyle \frac{EI}{2}=\frac{Q_3-Q-1}{2}|
​Écart moyen
​|\small EM=\displaystyle \frac{\sum \mid x_i-\overline{x}\mid }{n}|
​|\small EM=\displaystyle \frac{\sum n_i\cdot \mid X_i-\overline{x}\mid}{n}|​|\small EM=\displaystyle \frac{\sum n_i\cdot \mid m_i-\overline{x}\mid}{n}|
​Écart type
​|\small \displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\overline{x})^2}{n}}|​|\small \displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{\sum n_i\cdot (X_i-\overline{x})^2}{n}}|​|\small \displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{\sum n_i\cdot (m_i-\overline{x})^2}{n}}|

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Mesures de position

​MESURES​FORMULES
​Rang cinquième
​|\small R_5(x)\approx\left(\displaystyle \frac{\text{Nbr de données supérieures à } x+\frac{\text{Nbr total de données égales à }x}{2}}{\text{Nbr total de données}}\right) \times 5|

Si le résultat n'est pas un nombre entier, on arrondit à l'entier supérieur.
​Rang centile
​​|\small R_{100}(x)\approx\left(\displaystyle \frac{\text{Nbr de données inférieur à } x+\frac{\text{Nbr de données égales à }x}{2}}{\text{Nbr total de données}}\right) \times 100|

Si le résultat n'est pas un nombre entier, on arrondit à l'entier supérieur, sauf si celui-ci est |\small 99|.

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Coefficient de corrélation

CALCUL DU COEFFICIENT DE CORRÉLATION
DANS LE PLAN CARTÉSIEN
​|\small r\approx \pm\left(\displaystyle 1-\frac{l}{L}\right)|
|\small L| représente la longueur et |\small l| la largeur du rectangle englobant le nuage de points.

Le signe de |\small r| dépend du sens du nuage de points
​ ​INTERPRÉTATION DU COEFFICIENT DE CORRÉLATION
​près de |\small 0| 
​  Lien nul entre les variables
​près de |\small \text{-}0,5| ou de |\small 0,5| 
​  Lien faible entre les variables
​près de |\small \text{-}0,75| ou de |\small 0,75| 
​  Lien moyen entre les variables
​près de |\small \text{-}0,87| ou de |\small 0,87|  ​  Lien fort entre les variables
​Égal à |\small \text{-}1| ou à |\small 1|  ​  Lien parfait entre les variables

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Les vidéos
Les exercices
Les références