Mathématique m1012

Les nombres réels (R)

​​​​​​​​​​​Les nombres réels, représentés par |\mathbb{R}|, sont tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble des nombres rationnels ou à l'ensemble des nombres irrationnels. 
||\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q}'||

L'ensemble des nombres réels correspond à l'union des ensembles rationnels |(\mathbb Q)| et irrationnels |(\mathbb {Q'})|. Ainsi, tout ce qui est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels ou dans l'ensemble des nombres irrationnels fait aussi partie de l'ensemble des nombres réels.

L'opposé d'un nombre

​​​​​Pour tous les nombres étant inclus dans | \mathbb{R}^*|, l'opposé d'un nombre se note
||\text{l'opposé de} \ a = \ \text{-}a||

En d'autres mots​, il suffit de changer le signe de la quantité initiale avec laquelle on travaille.

Ainsi, l'opposé de |\text{-}13 = \ \text{-} \ (\text{-}13) = 13|​Par ailleurs, on peut déterminer l'opposé d'un nombre en utilisant les différentes formes d'écriture.

Exemple 1
L'opposé de |\frac{1}{3} = \ \text{-}\frac{1}{3}|

Exemple 2
L'opposé de |1,\overline{3} = \ \text{-}1,\overline{3}|

Exemple 3
L'opposé de |\text{-}\sqrt{2} = \ \text{-} (\text{-}\sqrt{2}) = \sqrt{2}|
De plus, l'opposé d'un nombre possède certaines propriétés en lien avec les opérations

L'inverse d'un nombre

​Pour tous nombres inclus dans |\mathbb{R}^*|, il existe un inverse tel que
||\text{l'inverse de} \ \frac{a}{b} = \frac{b}{a}|| 

En d'autres mots​, il suffit généralement d'inverser le numérateur et le dénominateur.

Il est important que |\{a,b\} \neq 0| puisqu'on obtiendrait une fraction dont le dénominateur serait |0|. Dans ce cas, on dit que cette valeur est indéfinie. Pour déterminer l'inverse d'un nombre, il est idéal d'écrire ce nombre en notation fractionnaire d'abord pour ensuite inverser le numérateur et le dénominateur. Au besoin, il faudra rationaliser la fraction​ ainsi obtenue. 

Exemple 1
L'inverse de |\frac{1}{3} = \frac{3}{1}=3|

Exemple 2
Quel est l'inverse de |\text{-}0,1|?
||\small\begin{align} \text{l'inverse de -}0,1 &= \frac{\text{-}1}{10}\\\\
&=\frac{10}{\text{-}1}\\\\
&= \text{-}10\end{align}||
Exemple 3
Quel est l'inverse de |\frac{\sqrt{3}}{2}|?
||\small\begin{align}\text{l'inverse de}\frac{\sqrt{3}}{2} &= \frac{2}{\sqrt{3}} \\\\
&= \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\\
&= \frac{2\sqrt{3}}{3}\end{align}||
De plus, l'inverse d'un nombre possède également certaines propriétés en lien avec les opérations. 

Les nombres réels et la droite numérique

La droite numérique est en fait une représentation de l'ensemble des nombres réels. En d'autres mots, les nombres représentés par chacun des points de la droite numérique appartiennent à l'ensemble des nombres réels. C'est pourquoi la droite numérique porte parfois le nom de droite réelle.

Tous ces nombres sont des nombres réels.
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Les nombres réels et les ensembles de nombres

L'ensemble des nombres réels |(\mathbb R)| contient les ensembles des nombres entiers naturels |(\mathbb N)|, entiers |(\mathbb Z)|, rationnels |(\mathbb Q)| et irrationnels |(\mathbb Q')|. En utilisant les notations associés aux ensembles de nombres, ceci s'écrit
||\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R||

Voici un schéma qui démontre l'ensemble des réels comme étant l'union des rationnels et des irrationnels.

 

On note |\mathbb {R}^*| l'ensemble des nombres réels dont on a enlevé le nombre |\small 0|.

On note |\mathbb {R}_+| l'ensemble des nombres réels positifs.

On note |\mathbb {R}_-| l'ensemble des nombres réels négatifs.

En utilisant la notion d'intervalle, l'ensemble des nombres réels peut être représenté comme ceci:
||x \in \mathbb R \ \text{si} \ x \in​ ]\text{-}\infty,+\infty[||

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