Mathématique m1017

Les positions et les valeurs des nombres

​​​​​​​​​​​​Quand on écrit un nombre, chaque chiffre possède une place ou une position bien précise qui est reliée à une valeur. On appelle cette valeur la valeur de position. Comme on écrit les nombres en base |\small 10|, chaque valeur associée aux positions est, en fait, une puissance de |\small 10|.

Les positions et les valeurs dans les nombres naturels et entiers

Pour bien comprendre les positions et les valeurs des nombres naturels et entiers, voici un tableau représentant les principales valeurs associées à la position des chiffres.

​Nom de la position
​Valeur​Ordre de grandeur
Centaine de milliard
​|\small 100\:000\:000\:000|
Dizaine de milliard​|\small 10\:000\:000\:000| Ordre des milliards
​​Unité de milliard​|\small 1\:000\:000\:000| 
​​Centaine de million​|\small 100\:000\:000| 
​ ​
​​Dizaine de million​|\small 10\:000\:000| 
​Ordre des millions
​​Unité de million ​|\small 1\:000\:000|
Centaine de mille
​|\small 100\:000| ​ ​ ​
Dizaine de mille
​|\small 10\:000| Ordre des milliers
​Unité de mille
​|\small 1\:000| 
​Centaine​|\small 100| 
​Dizaine​|\small 10| Ordre des unités
Unité ​|\small 1| 


Voici maintenant un exemple. Le tableau ci-dessous décrit les différentes positions et valeurs de position dans le nombre naturel suivant: ||42\:567\:123||

​Chiffre​​|4|​|2|​|5|​|6|​|7|​|1|​|2|​|3|
​Position Dizaine
de million
Unité de million
Centaine de mille
​Dizaine de mille
​Unité de mille
CentaineDizaine ​Unité
​Valeur de position |\small 4 \times 10\:000\:000 \\ \small =\\ \small 40\:000\:000| |\small 2 \times 1\:000\:000 \\ \small =\\ \small 2\:000\:000|​ |\small 5 \times 100\:000\\ \small =\\ \small 500\:000| ​|\small 6 \times 10\:000 \\ \small =\\ \small 60\:000| |\small 2 \times 1\:000 \\ \small =\\ \small 2\:000| |\small 1 \times 100 \\ \small = \\ \small 100| ​|\small 2\times 10 \\ \small = \\ \small 20| |\small 3\times 1 \\ ​\small = \\ \small ​3|​

Dans le cas des nombres entiers et naturels, la plus petite valeur de position est toujours l'unité. ​

À chaque fois qu'on se déplace d’une position (case) vers la gauche, la valeur de position est |\small 10| fois plus grande que la précédente. Donc, on multiplie la valeur de position par |\small 10| à chaque bond vers la gauche.

À l'inverse, chaque déplacement d’une position (case) vers la droite rait en sorte que la valeur de position est |\small 10| fois plus petite que la précédente. Ainsi, on divise la valeur de position par |\small 10| à chaque bond vers la droite. 

​En appliquant une succession de mutiplication par une même quantité, on peut utiliser la notation exponentielle​ pour simplifier l'écriture.

​Dans le nombre |75 \: 489|, la valeur de position du chiffre ||7 = 7 \times 10 \: 000 = 70 \: 000||
En utilisant la notation exponentielle, on obtient cette écriture équivalente:
||\begin{align} 70 \: 000 &= 7 \times 10 \: 000 \\
&= 7 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \\
&= 7 \times \underbrace{\color{blue}{10 \times 10 \times 10 \times 10}}_{\color{red}{4 \ \text{fois}}} \\
&= 7 \times \color{blue}{10}^\color{red}{4} \end{align}||
Ainsi, on peut utiliser la notation exponentielle pour n'importe quelle valeur de position. 

Les positions et les valeurs dans les nombres décimaux

Les positions et les valeurs dans les nombres décimaux sont très similaires à ceux des nombres entiers. La seule différence est l'ajout de positions à droite d'une virgule. La virgule vient ainsi séparer la partie entière et la partie décimale.

Le tableau suivant représente les principales valeurs associées aux positions des chiffres dans les nombres décimaux.

​Nom de la position
​Valeur​Ordre de grandeur
Centaine de milliard
​|\small 100\:000\:000\:000|
​Dizaine de milliard​|\small 10\:000\:000\:000| Ordre des milliards
​​Unité de milliard​|\small 1\:000\:000\:000| 
​​Centaine de million​|\small 100\:000\:000|
​ ​
​​Dizaine de million​|\small 10\:000\:000| 
​Ordre des millions
​​Unité de million ​|\small 1\:000\:000|
​Centaine de mille
​|\small 100\:000| ​ ​ ​
Dizaine de mille
​|\small 10\:000| Ordre des milliers
​Unité de mille
​|\small 1\:000|
Centaine​|\small 100|
​Dizaine​|\small 10|  Ordre des unités
Unité ​|\small 1| 
​Virgule​|\Large ,|
Séparateur
​Dixièmes|\small 0,1| ou |\small \frac{1}{10}​|
Pour la partie décimale, chaque position correspond à un ordre.

Ex: Ordre des dixièmes, ordre des centièmes, etc. ​ ​ ​ ​ ​ ​
​Centièmes​|\small 0,01| ou |\small \frac{1}{100}​|
Millièmes​|\small 0,001| ou |\small \frac{1}{1 \:000}​|​
​Dizaine de millièmes
​|\small 0,0001| ou |\small \frac{1}{10 \: 000}|
Centaine de millièmes
|\small 0,00001| ou |\small \frac{1}{100 \: 000}|​
Millionième​|\small 0,000001| ou |\small \frac{1}{1 \: 000 \: 000}​|


Voici maintenant un exemple. Le tableau ci-dessous décrit les différentes positions et valeurs de positions dans le nombre décimal suivant: ||54\:782,913||

​Chiffre​|5|​|4|​|7|​|8|​|2|​|\large ,||​9|​|1|​|3|
​Position
​Dizaine
de mille
Unité de milleCentaineDizaine ​UnitéDixième ​Centième ​Millième
​Valeur
de
position
​​|\small 5 \times 10\:000 \\ \small = \\ \small 50 \: 000|
​​|\small 4 \times 1\:000 \\ \small = \\ \small 4 \: 000|
​​|\small 7 \times 100 \\ \small = \\ \small 700|
​​|\small 8 \times 10 \\ \small = \\ \small 80|
​|\small 2 \times 1 \\ \small = \\ \small 2|
|\small 9 \times 0,1 \\ \small = \\ \small 0,9|​
​|\small 1 \times 0,01 \\ \small = \\ \small 0,01|​
​|\small 3 \times 0,001 \\ \small = \\ \small 0,003|

Comme il a été présenté au début de la section, chaque valeur de position décimale peut être associée à une fraction décimale.​

Pour la position des centièmes, par exemple, la valeur associée correspond à un centième. ||0,01=\displaystyle \frac{1}{100}||Tout comme les nombres entiers et naturels, on peut également utiliser la notation exponentielle​ pour simplifier l'écriture de la valeur des positions de la portion décimale. 

​Dans le nombre |75 , 489|, la valeur de position du chiffre ||9 = 9 \times 0,001 = 0,009||
En utilisant la notation exponentielle, on obtient cette écriture équivalente:
||\begin{align} 0,009 &= 9 \times 0,001 \\
&=9 \times \frac{1}{1000} \\
&= 9 \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}\\
&= 9 \times \underbrace{\color{blue}{\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10}}}_{\color{red}{3 \ \text{fois}}} \\
&= 9 \times \frac{\color{blue}{1}}{\color{blue}{10}^\color{red}{3}} \\
&= 9 \times \color{blue}{10}^\color{red}{\text{-}3}\end{align}||
Ainsi, on peut utiliser la notation exponentielle pour n'importe quelle valeur de position. 

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